专题28平面向量的数量积及其应用（原卷版）

2023高考一轮复习讲与练专题28平面向量数量积及其应用平面向量数量积的有关概念平面向量数量积的有关概念向量夹角平面向量数量积及其应用数量积的性质平面向量数量积的性质及运算律数量积的坐标表示数量积运算律投影向量数量积定义定义法求数量积几何法求数量积坐标法求数量积练高考明方向1.（2022·全国乙（理）T3）已知向量满足，则（）A. B. C.1 D.22.（2022·全国甲（文））已知向量．若，则______________．3.（2022·全国甲（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．4.（2022·新高考Ⅱ卷T4）已知，若，则（）A. B. C.5 D.6(2021·新高考Ⅰ卷)(多选)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则()A．|eq\o(OP1,\s\up7(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up7(→))|B．|eq\o(AP1,\s\up7(→))|＝|eq\o(AP2,\s\up7(→))|C．eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OP3,\s\up7(→))＝eq\o(OP1,\s\up7(→))·eq\o(OP2,\s\up7(→))D．eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OP1,\s\up7(→))＝eq\o(OP2,\s\up7(→))·eq\o(OP3,\s\up7(→))6．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量，若，则__________．7．(2021年高考全国甲卷理科)已知向量．若，则________．8．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.9．(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.(2021·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F，则|2eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))|的值为________；(eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→)))·eq\o(DA,\s\up7(→))的最小值为________．11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．12．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则 ()A． B． C． D．13．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设为单位向量，且，则______________．14、(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2bB．2a＋bC．a－2bD．2a－b15．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ()A． B． C． D．16．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知，为单位向量，且，若，则_____．17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则．18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知向量，满足，，则 ()A．4 B．3 C．2 D．019．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ()A． B． C． D．20．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则______．21．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知向量，且，则 ()A． B． C． D．22．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量,,则 ()A． B． C． D．23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设向量，，且，则．24．(2014高考数学课标1理科)已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为______．25．(2014高考数学课标2理科)设向量a,b满足|a+b|=，|ab|=，则ab= ()A．1 B．2 C．3 D．526．(2013高考数学新课标2理科)已知正方形的边长为2，为的中点，则＝________．27．(2013高考数学新课标1理科)已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t=_____．讲典例备高考类型一、求平面向量的数量积基础知识：向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角。2、数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ。3、平面向量数量积的运算律：交换律：a·b＝b·a结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c4、平面向量数量积运算的常用公式：①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.5、极化恒等式a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(a－b,2)))2.三角形模型：在△ABC中，D为BC的中点，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－|eq\o(BD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－|eq\o(CD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up7(→))|2.平行四边形模型：在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(|eq\o(AC,\s\up7(→))|2－|eq\o(BD,\s\up7(→))|2)＝eq\o(AO,\s\up7(→))2－eq\o(DO,\s\up7(→))2.基本题型：1．已知，，，则 ()A． B． C． D．2．在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（）．A．6 B．12 C．24 D．483、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))的取值范围是()A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)4．已知菱形的边长为4，，是的中点，则（）A．24 B． C． D．5．在中，为的三等分点，则()A． B． C． D．基本方法：1、计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解(3)几何法：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解2、解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．类型三、求两平面向量的夹角基础知识：1、向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角。2、有关向量夹角的两个结论①两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；②两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．(3)a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然a·b＝0，但不能说a⊥b.基本题型：1．若向量，，则与的夹角等于（）A． B． C． D．2、已知平面向量a，b的夹角为eq\f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝2，则2a＋b与b的夹角是()A.eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,6)3．已知向量，，，则（）4．已知平面向量，满足，记与夹角为，则的最小值是（）A． B． C． D．5．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，|a＋b|＝eq\r(3)|b|，则向量a，b的夹角为________．6．设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____.基本方法：求向量夹角的3种方法(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．类型三、求平面向量的模基础知识：1、平面向量的模：向量的大小叫做向量的长度(或称模)，记作|a|或|eq\o(AB,\s\up7(→))|。2、已知非零向量a＝(x1，y1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))|a|＝eq\r(a·a)，3、已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)。基本题型：1．若单位向量满足，则等于（）A． B． C． D．2．已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（

）A．2 B． C． D．33．若，且，，则的取值范围是()A． B．C． D．4.在直角梯形中，（），，，为中点，若，则的值为.5．已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求；（2）若，求.6．已知向量，的夹角为，且.（1）若，求的坐标；（2）若，，求的最小值.基本方法：求平面向量模的3种方法(1)坐标法：若a＝(x，y)，利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．类型四、平面向量垂直问题基础知识：基本题型：1．已知向量与的夹角为，，，当时，实数为（）A．1 B．2 C． D．2、已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（）A．B．C．6D．43．（多选题）已知在△ABC中，，，，若，则（

）A． B．C． D．4．已知向量，，且与垂直，则______．5．已知，在同一平面内，.，且，则与的夹角的余弦值为______．.基本方法：平面向量垂直问题的2个类型(1)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．(2)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．类型五、平面向量数量积中的最值与范围问题基础知识：基本题型：1．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是（）A． B． C． D．2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗户的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是(

)图一图二A． B． C． D．3．如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_____已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，点P在线段AD(包括端点)上运动，则eq\o(PA,\s\up7(→))·(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))的取值范围是________．基本方法：解平面向量中有关最值问题的思路形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断‘2、数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决新预测破高考1．已知，是两个夹角为的单位向量，，，则（）A．7 B．9 C．11 D．132．设的夹角为（

）A． B． C． D．3．在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（）．A．6 B．12 C．24 D．484．设，均为单位向量，且，则（）A．3 B． C．6 D．95．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（）A．－ B．0C．4 D．－16．已知向量，，若向量满足，，则（）A． B． C． D．7．（多选题）已知在边长为2的等边中，向量满足，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．8．在直角梯形中，，，，为边上中点，的值为（）A． B． C． D．9、（多选题）关于平面向量，下列说法中不正确的是（）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．10．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（）（1）若，则；（2）若，则（3）若，则（4）若，则或