2020-2024五年高考数学真题分类汇编专题16 统计与概率（真题12个考点精准练+模拟练）解析版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题16统计与概率（真题12个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考8、13、19题2024年春考15、19题全概率公式；数据相关分析；用样本估计总体、由频率分布表求平均数及独立性检验。互斥事件的定义；分层抽样的平均数及方差公式的应用2023秋考9、14、19题2023春考5、7、10、14题中位数和平均数的定义；线性相关的概念；离散型随机变量的分布和期望的计算。对立事件概率计算公式；频率分布直方图；古典概型概率；统计图的识别。2022秋考9题古典概型概率及其计算公式2021年秋考10题古典概型概率及其计算公式2020年秋考7题样本的数据特征：中位数、平均数一．随机事件（共1小题）1．（2024•上海）某校举办科学竞技比赛，有、、种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．〖祥解〗根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．【解答】解：由题可知，题库占比为，题库占比为，题库占比为，故．故答案为：．【点评】本题主要考查全概率公式的应用，属于基础题．二．互斥事件与对立事件（共1小题）2．（2024•上海）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立〖祥解〗根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．【解答】解：选项，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，错误；选项，（A），（B），，（A）（B），正确；选项，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，错误；选项，（A），，，（A），与不独立，故错误．故选：．【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，考查互斥事件的定义，属于基础题．三．对立事件的概率关系及计算（共1小题）3．（2023•上海）已知事件的对立事件为，若（A），则0.5．〖祥解〗利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：事件的对立事件为，若（A），则．故答案为：0.5．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四．古典概型及其概率计算公式（共3小题）4．（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为0.5．〖祥解〗根据古典概型求解即可．【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为，恰有1名男生2名女生的事件个数为，则恰有1名男生2名女生的概率为．故答案为：0.5．【点评】略5．（2022•上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为．〖祥解〗由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果．【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，而所有的抽取方法共有种，故每一类都被抽到的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题．6．（2021•上海）已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为．〖祥解〗根据古典概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：甲选2个去参观，有种，乙选2个去参观，有种，共有种，若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有种，然后从剩余3个馆中选2个进行排列，有种，共有种，则对应概率，故答案为：．【点评】本题主要考查概率的计算，利用古典概型的概率公式是解决本题的关键，是基础题．五．离散型随机变量的均值（数学期望）（共1小题）7．（2023•上海）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求（B）和，并判断事件和事件是否独立；（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．〖祥解〗（1）根据概率公式分别进行计算即可．（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可．【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率（A），若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率（B）．取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即，则．（A）（B），（A）（B），即事件和事件不独立．（2）由题意知，300，150，则外观和内饰均为同色的概率，外观和内饰都异色的概率，仅外观或仅内饰同色的概率，，，，，则的分布列为：150300600则（元．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率公式求出对应的概率是解决本题的关键，是中档题．六．根据统计数据确定极差组距和组数（共1小题）8．（2023•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为7．〖祥解〗计算极差，根据组距求解组数即可．【解答】解：极差为，组距为5，且第一组下限为153.5，，故组数为7组，故答案为：7．【点评】本题考查频率分布直方图，属于基础题．七．散点图（共1小题）9．（2023•上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小 C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关〖祥解〗根据散点图的分布情况，即可得解．【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．故选：．【点评】本题考查线性相关的概念，属基础题．八．条形统计图（共1小题）10．（2023•上海）如图为年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大 B．从2018年开始，进出口总额逐年增大 C．从2018年开始，进口总额逐年增大 D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小〖祥解〗结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，正确．故选：．【点评】本题考查统计图的识图问题，以及增长率的计算，属于中档题．九．用样本估计总体的集中趋势参数（共2小题）11．（2020•上海）已知有四个数1，2，，，这四个数的中位数是3，平均数是4，则36．〖祥解〗分别由题意结合中位数，平均数计算方法得，，解得，，再算出答案即可．【解答】解：因为四个数的平均数为4，所以，因为中位数是3，所以，解得，代入上式得，所以，故答案为：36．【点评】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题．12．（2023•上海）现有某地一年四个季度的（亿元），第一季度为232（亿元），第四季度为241（亿元），四个季度的逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的为946（亿元）．〖祥解〗设第二季度为亿元，第三季度为亿元，则，由题意可得，可求出的值，从而求出该地一年的．【解答】解：设第二季度为亿元，第三季度为亿元，则，中位数与平均数相同，，，该地一年的为（亿元）．故答案为：946（亿元）．【点评】本题主要考查了中位数和平均数的定义，属于基础题．一十．用样本估计总体的离散程度参数（共1小题）13．（2024•上海）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．〖祥解〗（1）由排列组合公式可得样本空间的样本点的个数及所求的事件的样本点的个数，由古典概型的概率公式可得所求的概率；（2）由两个级别的箱数之比，可得样本中两个级别的箱数；（3）由分层抽样的平均数及方差的计算公式，可得168个水果的方差和平均数，进而估计136箱单果的质量．【解答】解：（1）古典概型：设事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数，事件的样本点的公式，所以（A）；（2）因为一级果箱数：二级果箱数，所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；（3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，总体样本平均质量为平均值，方差为，因为，，，，所以克，克．预估：平均质量为克．【点评】本题考查分层抽样的平均数公式及方差公式的应用，属于基础题．一十一．样本相关系数（共1小题）14．（2024•上海）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势〖祥解〗利用变量的性关系，判断选项即可．【解答】解：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当的值由小变大，的值具有由小变大的变化趋势，所以、、选项错误．故选：．【点评】本题考查数据相关分析，是基础题．一十二．独立性检验（共1小题）15．（2024•上海）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围，，，，，学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到．（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？〖祥解〗（1）由已知结合频率与概率关系即可求解；（2）先求出样本平均数，然后用样本平均数估计总体平均数即可；（3）结合独立性检验即可判断．【解答】解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比，该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为；（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为；（3）由题意可得列联表，，其他总数优秀455095不优秀177308485①提出零假设：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，②确定显著性水平，，③，④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．【点评】本题主要考查了用样本估计总体，由频率分布表求平均数及独立性检验的应用，属于中档题．一．选择题（共16小题）1．（2024•浦东新区校级三模）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件〖祥解〗根据题意，由对立事件的定义分析，由互斥事件的定义分析，由相互独立事件的定义分析、，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，由对立事件的定义，和不是对立事件，错误；对于，表示“两个点数都是偶数”，则有，错误；对于，（B），（D），，事件、不是相互独立事件，错误；对于，为必然事件，则必有（B）（B），与是相互独立事件，正确．故选：．【点评】本题考查随机事件的定义，涉及相互独立事件、互斥事件的定义，属于基础题．2．（2024•虹口区二模）给出下列4个命题：①若事件和事件互斥，则（A）（B）；②数据2，3，6，7，8，10，11，13的第70百分位数为10；③已知关于的回归方程为，则样本点的离差为；④随机变量的分布为，则其数学期望．其中正确命题的序号为A．①② B．①③ C．②③ D．②④〖祥解〗由互斥事件的定义分析①，由百分位数的计算公式分析②，由残差的计算公式分析③，根据离散型随机变量的期望公式分析④，综合可得答案．【解答】解：对于①，若事件和事件互斥，，①错误；对于②，共有8个数据，，根据百分位数的定义直接取第六位即可，②正确；对于③，若关于的回归方程为，则样本点的残差为，③正确；对于④，，④错误．故选：．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及互斥事件、百分位数、残差的计算，期望的计算，属于基础题．3．（2024•宝山区校级四模）已知随机变量，和，，如图为对应的正态密度函数图像，则下列结论正确的是A．， B．， C．， D．，〖祥解〗根据已知条件，结合正态分布的图象，即可求解．【解答】解：由图可知，，随机变量，对应的图象“瘦高“，，对应的图象“矮胖“，故．故选：．【点评】本题主要考查正态分布的图象，是基础题．4．（2024•杨浦区二模）某区高三年级3200名学生参加了区统一考试．已知考试成绩服从正态分布．统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为A．350 B．400 C．450 D．500〖祥解〗根据题意，由正态分布的性质可得，即可得到结果．【解答】解：因为数学考试成绩服从正态分布，又，所以，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为．故选：．【点评】本题考查正态分布，属于基础题．5．（2024•普陀区模拟）从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是A．， B．，， C．，，， D．，，，，〖祥解〗根据已知条件，结合样本空间的定义，即可求解．【解答】解：两个红球分别标记为、，白球标记为，则抽取两个球的情况为，，，即它的一个样本空间可以是，，．故选：．【点评】本题主要考查样本空间的定义，属于基础题．6．（2024•浦东新区校级模拟）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有①：“所取3件中至多2件次品”，：“所取3件中至少2件为次品”；②：“所取3件中有一件为次品”，：“所取3件中有二件为次品”；③：“所取3件中全是正品”，：“所取3件中至少有一件为次品”；④：“所取3件中至多有2件次品”，：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④〖祥解〗所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的．【解答】解：在10件产品中有3件次品，从中选3件，所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，①中的两个事件不是互斥事件．所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，②中的两个事件是互斥事件．所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，③中的两个事件是互斥事件故选：．【点评】本题考查互斥事件的意义，判断两个事件是否是互斥事件，是解题的关键，可以把事件中所包含的所有事件列出来进行比较．7．（2024•奉贤区三模）如果、分别是、的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是A．（A）（B） B．（A）（B） C．（A） D．（B）〖祥解〗根据题意，依次分析选项，验证（A）（B）是否成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，（A）（B），则事件、相互独立，符合题意；对于，（A），（A）（B）（A）（A）（B），若（A）（B），即（A）（A）（A）（B），则（A）（B），必有事件、相互独立，符合题意；对于，，若（A），即（A），则有（A），事件不一定相互独立，不符合题意．对于，，若（B），即（B），变形可得（A）（B），必有事件、相互独立，符合题意．故选：．【点评】本题考查相互独立事件的判断，涉及条件概率的计算，属于基础题．8．（2024•嘉定区校级模拟）已知、分别为随机事件、的对立事件，（A），（B），则下列等式错误的是A． B．（A） C．若、独立，则（A） D．若、互斥，则〖祥解〗结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断．【解答】解：由，故选项错误；（A），故选项正确；若、独立，则（A）（B），，故选项正确；若、互斥，则，，，故选项正确．故选：．【点评】本题考查概率的应用，属于基础题．9．（2024•浦东新区校级模拟）全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用．例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止学生有所顾忌而不如实作答，可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球，6个白球的盒子中任取3个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数？”，未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”．由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案．已知某学校800名学生参加了该调查，且有250人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约为A． B． C． D．〖祥解〗利用全概率公式可求答案．【解答】解：设学生对食堂的实际满意度为，事件“回答问题一”，事件“回答的结果为是”，由题意可知，则，又因为，由全概率公式可得，即，解得．故选：．【点评】本题主要考查了全概率公式，属于基础题．10．（2024•闵行区校级三模）设，，是不全相等的实数，随机变量取值为，，的概率都是，随机变量取值为，，的概率也都是，则A．， B．， C．， D．，〖祥解〗利用离散型随机变量的分布列、数学期望、方差公式能求出结果．【解答】解：，，是不全相等的实数，随机变量取值为，，的概率都是，，设，则，随机变量取值为，，的概率都是，，，由，，是不全相等的实数，则，，综上，，．故选：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（2024•浦东新区校级模拟）从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：，所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是A．甲乙两班同学身高的极差相等 B．甲乙两班同学身高的平均值相等 C．甲乙两班同学身高的中位数相等 D．乙班同学身高在以上的人数较多〖祥解〗根据茎叶图和极差、平均数、中位数等概念逐一计算，即可判断选项是否正确．【解答】解：由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为，乙班同学身高的极差为，两班身高极差不相等，故错误；甲班同学身高的平均值为，乙班同学身高的平均值为，显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即错误；根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为，乙班同学身高的中位数为：，所以甲乙两班同学身高的中位数不相等，即错误；由茎叶图可知，甲班同学身高在以上的人数为3人，乙班同学身高在以上的人数为4人，故正确．故选：．【点评】本题主要考查了茎叶图的应用，考查了极差、平均数、中位数的计算，属于基础题．12．（2024•闵行区校级三模）上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为A． B． C． D．〖祥解〗根据相关系数的性质判断．【解答】解：由散点图可以看出，图①是正相关，相关系数，图②和图③是负相关，相关系数，相关系数，图①和图②的点相对更加集中，所以线性相关程度要强，所以接近于1，接近于，所以．故选：．【点评】本题主要考查了散点图的应用，考查了相关系数的性质，属于基础题．13．（2024•浦东新区二模）通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关 B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变 C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小〖祥解〗根据相关系数的概念逐一判断．【解答】解：对于：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关，故错误；对于：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高，但因为是负相关，相关系数会更接近，线性相关系数会变小，故正确，错误．故选：．【点评】本题主要考查了散点图的应用，考查了相关系数的性质，属于基础题．14．（2024•崇明区二模）某单位共有、两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下．设、两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则A． B． C． D．〖祥解〗根据百分位数和方差的定义求解．【解答】解：对于部门，因为，所以，对于部门，因为，所以，所以，由频率分布条形图可知，部门满意度更集中，所以．故选：．【点评】本题主要考查了百分位数和方差的定义，属于基础题．15．（2024•普陀区校级模拟）已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为A．20 B．60 C．40 D．80〖祥解〗由正态分布对称性及已知得，又质量在的单果的个数，应用二项分布的期望公式求期望．【解答】解：因为（单位服从正态分布，且，所以，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数，所以．故选：．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了二项分布的期望公式，属于中档题．16．（2024•浦东新区三模）有一袋子中装有大小、质地相同的白球个，黑球．甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是①，且；②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992．A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题〖祥解〗写出一局中不同情况下甲赢的概率寻找规律，写出通项公式，解答本题．【解答】解：对于第一局，甲获胜的概率为：摸1次：（甲，摸3次：（甲乙甲，前两次甲乙均摸到黑球，第3次甲摸到白球，下同理），摸5次：（甲乙甲乙甲），摸7次：（甲乙甲乙甲乙甲），根据上述，寻找规律，发现甲获胜的概率是以，公比的等比数列．对等比数列的前项和取极限运算，有：．设第局甲赢的概率为，根据马尔科夫链有：整理得：；构造数列求出通项公式：，整理得到：，不难发现：，则：，进一步有：，根据题意有：，即：，即：，即：，即，解得，故，故①②都正确．故选：．【点评】本题考查概率的综合运用，属于难题．二．填空题（共27小题）17．（2024•杨浦区校级三模）设随机变量服从成功概率为的二项分布，若，，则．〖祥解〗根据二项分布的数学期望和方差的公式，直接计算．【解答】解：因为服从成功概率为的二项分布，且，，所以，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了二项分布的期望和方差的应用，属于基础题．18．（2024•宝山区三模）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是．〖祥解〗根据给定条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可计算作答．【解答】解：小明购买4个盲盒的试验有个基本事件，它们等可能，能集齐3种玩偶的事件含有的基本事件数为：，所以能集齐3种玩偶的概率是．故答案为：．【点评】本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．19．（2024•嘉定区二模）小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率．〖祥解〗根据题意，由古典概型公式求出（A）、，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，有种情况，若两家至少有一家选择古猗园，有种情况，则（A），若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，则，则．故答案为：．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及古典概型的计算，属于基础题．20．（2024•长宁区校级三模）已知工厂库房中的某种零件来自甲公司，正品率为；来自乙公司，正品率为，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为0.92．〖祥解〗根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．【解答】解：工厂库房中的某种零件来自甲公司，正品率为；来自乙公司，正品率为，故从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为：．故答案为：0.92．【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．21．（2024•宝山区校级四模）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则0.6．〖祥解〗说明使用移动支付的人数服从二项分布，利用，求出概率，通过，列出不等式，判断概率即可．【解答】解：由题意，使用移动支付的人数服从二项分布，则，解得或，又，即，化简得，解得，所以．故答案为：0.6．【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．22．（2024•黄浦区校级三模）已知一个随机变量的分布列为，若是，的等差中项，则．〖祥解〗根据题意，分析可得，结合等差数列的性质可得，变形可得答案．【解答】解：根据题意，随机变量的分布列为，则有，又由是，的等差中项，则，则．故答案为：．【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及分布列的性质，属于基础题．23．（2024•浦东新区校级模拟）设随机变量，且，，则．〖祥解〗根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解．【解答】解：随机变量，且，，，解得．故答案为：．【点评】本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题．24．（2024•黄浦区二模）随机变量服从正态分布，若，则0.28．〖祥解〗根据正态分布的对称性即可得．【解答】解：服从正态分布，则，，或，则．故答案为：0.28．【点评】本题考查正态曲线的性质，属于基础题．25．（2024•浦东新区校级模拟）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为0.35．〖祥解〗根据已知条件，结合概率分布密度函数，结合正态分布曲线的对称性，即可求解．【解答】解：随机变量的概率分布密度函数，则，故，故图中阴影部分的面积为0.35．故答案为：0.35．【点评】本题主要考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．26．（2024•杨浦区校级三模）某次数学练习中，学生成绩服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是．〖祥解〗根据已知条件，结合正态分布的对称性，求出，再结合二项分布的概率公式，即可求解．【解答】解：学生成绩服从正态分布．，则，故，从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，设选中的学生的成绩高于125的人数为，由题意可知，，故至少有2名学生的成绩高于125的概率是：．故答案为：．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及二项分布的概率公式，属于基础题．27．（2024•浦东新区二模）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为、和，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为0.18．〖祥解〗设这三门体育类选修课的选修人数分别为，，，分别求出三门体育类选修课考核优秀的人数，再利用古典概型的概率公式求解，【解答】解：设这三门体育类选修课的选修人数分别为，，，则所求概率为．故答案为：0.18．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．28．（2024•普陀区校级模拟）某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第1天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为．〖祥解〗根据全概率公式可得出，可得出，由此可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式．【解答】解：当且时，若甲在第天选择了餐厅，那么在第天有的可能性选择餐厅，若甲在第天选择了餐厅，那么在第天有的可能性选择餐厅，所以第天选择餐厅的概率，即，所以．又由题意得，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查古典概率模型，属于基础题．29．（2024•闵行区校级三模）3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法的概率为．〖祥解〗先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有种排法，符合条件的共有种排法，由此能求出女生互不相邻的排法的概率．【解答】解：先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有种排法，所以符合条件的共有种排法，故女生互不相邻的排法的概率为．故答案为：．【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．30．（2024•黄浦区二模）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加．若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为．〖祥解〗根据题意可先排除甲乙之外的三人，再用插空法就可计算出甲乙不相邻的排法，再结合古典概型可解．【解答】解：这5名选手上场顺序共有种，要使甲、乙两位选手上场顺序不相邻，则先排丙、丁、戊共有种，再利用插空法排甲乙，共有种排法，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻共有种排法，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为．故答案为：．【点评】本题考查排列组合以及古典概型相关知识，属于基础题．31．（2024•虹口区模拟）对于独立事件，，若，，则．〖祥解〗根据相互独立事件的概率乘法公式可解．【解答】解：因为，为相互独立事件，且，，则（A）（B）．故答案为：．【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．32．（2024•浦东新区校级模拟）某一批花生种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率是（用数字作答）．〖祥解〗根据次独立重复实验中恰好发生次的概率公式求得结果．【解答】解：如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是：故答案为：．【点评】本题主要考查次独立重复实验中恰好发生次的概率，等可能事件的概率，属于中档题．33．（2024•静安区二模）某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有，1，个次品的概率如下：一批产品中有次品的个数012概率0.30.50.2则各批产品通过检查的概率为0.91．（精确到〖祥解〗利用全概率公式求解．【解答】解：设事件表示一批产品中有个次品，1，，则，，，设事件表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则，，，所以（A）．故答案为：0.91．【点评】本题主要考查了全概率公式，属于基础题．34．（2024•徐汇区模拟）同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则．〖祥解〗先利用独立事件的概率乘法公式求出，，再利用期望和方差公式求解．【解答】解：由题意可知，，，所以，所以．故答案为：【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．35．（2024•松江区校级模拟）设随机变量服从二项分布，则2．〖祥解〗直接利用二项分布的方差公式求解．【解答】解：，．故答案为：2．【点评】本题主要考查了二项分布的方差公式，属于基础题．36．（2024•闵行区三模）已知随机变量服从正态分布，若，则0.94．〖祥解〗根据正态分布的对称性即可求出指定区间的概率．【解答】解：由正态分布的对称性得．故答案为：0.94．【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题．37．（2024•静安区二模）某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布，统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间，的学生人数约为1360．〖祥解〗根据正态分布的对称性即可得．【解答】解：数学成绩低于8（0分）的概率为，则数学分数属于闭区间，的概率为，其人数约为．故答案为：1360．【点评】本题考查正态分布的性质，属于基础题．38．（2024•浦东新区二模）已知随机变量服从正态分布，若，则0.3．〖祥解〗根据正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：随机变量服从正态分布，．故答案为：0.3．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．39．（2024•普陀区模拟）为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示．周次12345参与运动的人数3536403945若表中数据可用回归方程来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为57．（精确到整数）〖祥解〗由已知求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，再取求解．【解答】解：，，把代入，得．可得线性回归方程为．把代入，可得．故答案为：57．【点评】本题考查线性回归方程及其应用，考查运算求解能力，是基础题．40．（2024•嘉定区二模）数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则9〖祥解〗根据方差的计算公式求解．【解答】解：数据1、2、3、4、5的平均数为，所以，数据3、6、9、12、15的平均数为，所以，所以．故答案为：9．【点评】本题主要考查了方差的定义，属于基础题．41．（2024•浦东新区校级模拟）甲乙两人射击，每人射击一次．已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响．已知甲、乙两人至少命中一次，则甲命中的概率为．〖祥解〗根据条件概率公式计算即可．【解答】解：设事件为“两人至少命中一次”，事件为“甲命中”，，，所以．故答案为：．【点评】本题考查条件概率，属于中档题．42．（2024•宝山区二模）某公司为了了解某商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元件）之间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价（元件）1015202530月销售量（万件）1110865由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为40元件时，月销售量为1.6万件．〖祥解〗先求出样本中心点坐标，，代入回归方程求出的值，再进行预测即可．【解答】解：由题意可知，，，所以样本中心点坐标为，代入回归方程得，，解得，所以回归方程为，当时，，即当月销售单价为40元件时，月销售量约为1.6万件．故答案为：1.6．【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于中档题．43．（2024•黄浦区校级三模）已知，是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：123454911其回归方程为，则11．〖祥解〗利用线性回归方程经过样本中心即可求解．【解答】解：由题设，，又在回归直线上，所以，必有，故．【点评】本题考查线性回归方程，属于基础题．三．解答题（共17小题）44．（2024•长宁区校级三模）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉．某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年年年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值．60059243837.293.8（1）求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数；（2）根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望．附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，〖祥解〗（1）应用最小二乘法求回归直线，再代入估算2024年顾客对火车站投诉的次数；（2）根据题意写出的可能取值，应用超几何概率公式求对应概率，即得分布列，进而求期望．【解答】解：（1）由题设，，则，所以，所以；当时，代入，得到，所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次．（2）由题意，服从超几何分布，可取0，1，2，，，，012所以．【点评】本题主要考查线性回归方程的求解，以及超几何分布的知识，属于基础题．45．（2024•松江区校级模拟）2024年1月5日起，第40届中国哈尔滨国际冰雪节在黑龙江省哈尔滨市举行．让大家对冰雪文化进一步了解，激发了大家对冰雪运动进一步的热爱．为了调查不同年龄层的人对“冰雪运动”的喜爱态度．某研究小组随机调查了哈尔滨市社区年龄在，的市民300人，所得结果统计如下频数分布表所示：年龄（单位：周岁），，，，，频数3081996030持喜爱态度2465753012（1）求该样本中市民年龄的平均数；（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）（2）从这300名市民中随机抽取1人，在此人喜爱冰雪运动的前提下，求其年龄小于50周岁的概率：（3）为鼓励市民积极参加这次调查，该研究小组决定给予参加调查的市民一定的奖励，奖励方案有两种：方案一：按年龄进行分类奖励，当时，奖励10元：当时，奖励30元：当时，奖励40元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中年龄低于样本中位数的可抽1次奖，年龄不低于样本中位数的可抽2次奖．每次抽中奖励30元，未抽中奖励10元，各次抽奖间相互独立，且每次抽奖中奖的概率均为，将频率视为概率，利用样本估计总体的思想，若该研究小组希望最终发出更多的奖金，则从期望角度出发．该研究小组应采取哪种方案．〖祥解〗（1）根据频率分布表，利用平均数公式求解；（2）设事件表示抽中的此人喜爱冰雪运动，事件表示抽中的此人年龄在50周岁以下，根据频数分布表，利用古典概型的概率求得（A），，再利用条件概率求解；（3）对于方案一，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为10，30，40，求得其对应的概率，再求期望；对于方案二，设每名参与调查市民可获得的奖金为元，则的所有可能值为10，20，30，40，60，求得其相应概率，再求期望，对比下结论．【解答】解：（1）样本中市民年龄的平均数为．（2）设事件表示抽中的此人喜爱冰雪运动，事件表示抽中的此人年龄在50周岁以下．则由频数分布表可知，所以在此人喜爱冰雪运动的前提下，其年龄小于50周岁的概率为．（3）对于方案一，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为10，30，40，其对应的概率分别为，故．对于方案二，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为10，20，30，40，60．可得，，，所以，因为，所以从数学期望的角度分析，该研究小组应采取方案二．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，属于中档题．46．（2024•松江区二模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．（1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率；（2）若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望；（3）已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出．〖祥解〗（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；（2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解；（3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可．【解答】解：（1）设事件表示“该小组比赛胜利”，则（A）；（2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，则，，，所以的分布为：，所以；（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为，由（2）可知，，若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为，则，所以，因为，所以，，所以，即，所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布和期望，属于中档题．47．（2024•黄浦区校级模拟）某学校共有1200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为，为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，全面推进素质教育，拟举行乒乓球比赛，从三个年级中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛都采取5局3胜制，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以或获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙，如果甲每局比赛的获胜概率为．（1）三个年级参赛人数各为多少？（2）在最后一场比赛甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率；（3）记最后一场比赛中甲所得积分为，求的概率分布及数学期望．〖祥解〗（1）利用分层抽样的等比例性质列式求解即可；（2）分别求得最后一场比赛甲获胜与其前2局获胜的概率，再利用条件概率公式即可得解；（3）依题意得到的所有可能取值，分别求其对应概率得到分布列，再计算数学期望即可得解．【解答】解：（1）三个年级的参赛人数分别为，，，故来自高一，高二，高三年级的参赛人数分别为3人，4人和5人．（2）记甲在最后一场获胜为事件，其前两局获胜为事件，则，，故．（3）依题意，的所有可能取值为3，2，1，0，；；；，所以的概率分布列为：3210所以数学期望．【点评】本题在考查分层抽样方法，条件概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．48．（2024•松江区校级模拟）新宁崀山景区是世界自然遗产、国家级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片．为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立．（1）从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望；（2）（ⅰ）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和；（ⅱ）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与的关系，并求数列的通项公式．〖祥解〗（1）先得到的所有取值，求出相对应的概率，代入期望公式中即可求解；（2）根据题意可得“总分恰为分”的概率为，再根据等比数列前项和公式求解即可；因为“已调查过的累计得分恰为分”的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得4分，概率为，则，再利用构造法求解即可．【解答】解：（1）易知的所有取值为4，6，8，因为每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立，此时，，，所以；（2）易知“总分恰为分”的概率为，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，记该数列的前项和为，则；若“已调查过的累计得分恰为分”的概率为，此时得不到分的情况只有先得分，再得4分，概率为，所以，即，此时，则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故．【点评】本题考查离散型随机变量分布列的数学期望以及等比数列的性质，考查了逻辑推理和运算能力．49．（2024•浦东新区校级四模）第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在，内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”．（1）求的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数在，，，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．〖祥解〗（1）利用频率分布直方图的特征、百分位数、平均数的计算公式计算即可；（2）根据分层抽样的法则先确定两组抽取到的人数，再由离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，解得，设第70百分位数为，前两组所占频率为，前三组所占频率为，则位于第三组数据中，所以，平均数；（2）由（1）知分数在，，，内的两组学生分别有：人，人，所以各自抽取的人数分别为人，所以可取0，1，2，3，4，则，，所以分布列为：01234．【点评】本题考查了统计与概率的综合应用，属于中档题．50．（2024•闵行区三模）2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在，之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：（1）求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）县委宣传部从年龄在，和，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间，的人数是，求变量的分布列和数学期望．〖祥解〗（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式代入计算即可；（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在，内有2人，在，内有4人，利用古典概型的概率公式代入计算，列出分布列求出数学期望即可．【解答】解：（1）这200位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为，．（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在，内有2人，在，内有4人，故可能的取值为0，1，2，，，，所以的分布列为：012所以的数学期望为．【点评】本题主要考查频率分布直方图，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．51．（2024•静安区二模）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：，按照区间，，，，，，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图所示）．（1）求身高不低于的学生人数；（2）将身高在，，，，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率．〖祥解〗（1）先求出，的频率可得结果．（2）由分层抽样可得各组的人数，分别列举各种情况可得概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，所以．身高在以上的学生人数为（人．（2），，三组的人数分别为30人，20人，10人．因此应该从，，三组中每组各抽取（人，（人，（人．设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为，则从6名学生中抽取2人有15种可能：，，，，，．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：，，，，，，，，，，，，，，，，，．所以组中至少有1人被抽中的概率为．【点评】本题主要考查频率分布直方图和分层抽样，属于中档题．52．（2024•宝山区三模）由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多．为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图．（1）从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人．①若将频率视为概率，求至少有3人每周活动时间在，（单位：的概率；②若抽取的5人中每周活动时间在，（单位：的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在，（单位：的人数为，求的分布列和期望；（2）将某人的每周活动时间量与所有老人的每周平均活动时间量比较，当超出所有老人的每周平均活动量不少于时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到人为“活动爱好者”的可能性最大，试求的值．（每组数据以区间的中点值为代表）〖祥解〗（1）①记“至少有3人每周活动时间在，（单位：”为事件，求出（A）的值即可；②分别计算，，的值，求出的值即可；（2）求出，若人的可能性最大，则，，1，2，3，，得到，得到关于的不等式，求出的范围即可判断．【解答】解：（1）由图表的直方图可知，事件“到活动中心参加活动的老人中任意选取1人，每周活动时间在，内”的概率为，①记“至少有3人每周活动时间在，（单位：”为事件，则（A）；②随机变量所以可能的取值为0，1，2，则，，，的分布列如下：012故；（2）老人的周活动时间的平均值为：，则老人中“活动爱好者”的活动时间为，，参加活动的老人中为“活动爱好者”的概率为，若从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到人为“活动爱好者”，则，若人的可能性最大，则，，1，2，3，，由，即且，解得：，由于，故．【点评】本题考查了随机变量的分布列和期望，考查概率求值以及不等式问题，是中档题．53．（2024•浦东新区二模）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图．（1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；（2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；（3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案．方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响．中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折．若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理．〖祥解〗（1）由频率分布直方图得出消费额不少于800元的频率，由此可计算出结论；（2）由频率分布直方图提供的概率及分层抽样的定义得出抽取的6人在两个区间中人数，再结合对立事件概率公式计算概率；（3）根据两个方案求出其付款的期望值，比较后可得，其中方案1每300元减小50元，计算出付款额，方案2由超几何分布概率公式分别求得抽取3次得奖次数分别是0，1，2，3的概率，再根据折扣计算出付款期望值．【解答】解：（1）由频率分布直方图估计消费额不少于800元的客户人数约为，即约有405人；（2）由频率分布直方图抽取的6人中，有4人消费金额在区间800，上，有2人不少于1000元，因此再从这6人中随机抽取2人做进一步调直，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率为；（3）按方案1，小王实付款；按方案2，小王抽奖3次，中1次奖的概率为，中2次奖的概率为，中3次奖的概率为，一次都不中的概率为，因此本次购物小王付款的期望值为，又，因此选取方案2较合适．【点评】本题考查了概率统计的综合应用，属于中档题．54．（2024•嘉定区校级模拟）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．（1）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中的所有可能取值；（2）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设，从20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率．（3）记甲组阅读量的方差为．在甲组中增加一名学生得到新的甲组，若的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小．（结论不要求证明）〖祥解〗（1）根据平均数公式列不等式解得，即可求解；（2）利用缩小样本空间法求解条件概率即可；（3）根据方差表示数据稳定性，即可作出大小判断．【解答】解：（1）甲组10名学生阅读量的平均值为，乙组10名学生阅读量的平均值为，由题意，得，又，所以．故图中的取值为1或2．（2）记事件“从20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，该生为甲组学生”为．由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为，，乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为，，，从所有的“阅读达人”里任取1人，所有可能结果有5种，即，，，，，事件的结果有2种，它们是，，所以，即该生为甲组学生的概率；（3）通过茎叶图观察，当增加一名阅读量为10学生后，甲的茎叶图峰变瘦变尖，说明数据更集中，即更稳定，所以，当增加一名阅读量为20学生后，甲的茎叶图峰变胖变矮，说明数据更分散，所以，所以．【点评】本题考查了概率与统计的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．55．（2024•浦东新区校级模拟）环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：．调研人员采集了50天的数据，制作了关于，，2，3，，的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8．（1）完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆”有关；汽车日流量汽车日流量合计的平均浓度的平均浓度合计（2）经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差．①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值；②若这50天的汽车日流量满足，试推算这50天的日均浓度的平均数．（精确到参考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回归方程，其中．相关系数．若，则认为与有较强的线性相关性．〖祥解〗（1）根据题意，完成列联表，再计算，结合表格即可求得结果．（2）代入公式计算可判断与的相关性强弱，由可得，结合回归直线必过样本中心可求得的值．【解答】解：（1）列联表如下：汽车日流量汽车日流量合计的平均浓度16824的平均浓度62026合计222850零假设：“平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆”无关，因为，所以至少有的把握（但还不能有的把握）认为“平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆有关”．（2）①因为回归方程为，所以，又因为，，所以．，与有较强的相关性，该回归方程有价值．②，解得而样本中心点位于回归直线上，因此可推算．【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，以及独立性检验公式，属于中档题．56．（2024•宝山区校级四模）某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离5663717990102110117损坏零件数（个617390105119136149163（1）建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数．精确到0.1，精确到1，精确到（2）该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？保养未保养合计报废20未报废合计60100附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828〖祥解〗（1）利用最小二乘法求出，，即可得出回归方程，再根据公式求出相关系数即可；（2）根据题意可将列联表补充完整，根公式求得，再对照临界值表即可得出结论．【解答】解：（1）由题意可得，，又由，，所以，，所以变量关于的线性回归方程为；，，；（2）设零假设为：是否报废与是否保养无关，由题意，报废推进器中保养过的共台，未保养的推进器共台，补充列联表如下：保养未保养合计报废61420未报废542680合计6040100则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关，此推断的错误概率不大于0.01．【点评】本题主要考查线性回归方程，独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题．57．（2024•闵行区二模）是研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确．某科技公司在使用对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战一下，小张和各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个．（1）求小张能全部回答正确的概率；（2）求一个问题能被回答正确的概率；（3）在这轮挑战中，分别求出小张和答对题数的期望与方差．〖祥解〗（1）由古典概型概率公式即可求解；（2）由全概率公式求解即可；（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是8、9，求出对应的概率，可得小张答对题数的期望和方差，设答对的题数为，则服从二项分布，由二项分布的期望和方差公式求解即可．【解答】解：（1）设小张答对的题数为，则．（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被正确回答”，由题意知，，，则，．（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是8、9，且，，则，，设答对的题数为，则服从二项分布，则，．【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随