2020-2024五年高考数学真题分类汇编专题09 复数（真题3个考点精准练+模拟练）解析版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题09复数（真题3个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考9题2024年春考3题复数概念及四则运算共轭复数2023秋考6题2023春考11题复数的基本运算复数的三角形式以及三角恒等变换2022秋考1题2022春考1题共轭复数共轭复数2021年秋考1题2021年春考2题复数的加减运算共轭复数、复数的模2020年秋考3题2020年春考4题复数模的求法共轭复数、复数的运算一．共轭复数（共5小题）1．（2023•上海）已知，且为虚数单位），满足，则的取值范围为，．〖祥解〗引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．【解答】解：设，则，因为，所以，所以，显然当时，原式取最小值0，当时，原式取最大值，故的取值范围为，．故答案为：，．【点评】本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题．2．（2022•上海）已知（其中为虚数单位），则．〖祥解〗直接利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：，则，所以．故答案为：．【点评】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．3．（2022•上海）已知（其中为虚数单位），则．〖祥解〗根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．4．（2021•上海）已知，则．〖祥解〗由已知求得，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：，，则．故答案为：．【点评】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．5．（2020•上海）已知复数满足，则的实部为2．〖祥解〗设，．根据复数满足，利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设，．复数满足，，可得：，，解得，．则的实部为2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二．复数的运算（共4小题）6．（2024•上海）已知虚数，其实部为1，且，则实数为2．〖祥解〗根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：虚数，其实部为1，则可设，所以，因为，所以，解得，所以．故答案为：2．【点评】本题主要考查复数的概念，以及复数的四则运算，属于基础题．7．（2024•上海）已知，则．〖祥解〗利用复数的运算性质以及共轭复数的定义化简即可求解．【解答】解：由题意可得，所以．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数的求解，属于基础题．8．（2023•上海）已知复数为虚数单位），则．〖祥解〗根据复数的基本运算，即可求解．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题．9．（2020•上海）已知复数为虚数单位），则．〖祥解〗由已知直接利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由，得．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．三．复数的加、减运算及其几何意义（共1小题）10．（2021•上海）已知，，求．〖祥解〗直接根据复数的运算性质，求出即可．【解答】解：因为，，所以．故答案为：．【点评】本题考查了复数的加法运算，属基础题．一．选择题（共2小题）1．（2024•长宁区二模）设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖祥解〗结合复数的基本概念，分别检验充分及必要性即可．【解答】解：设，，，由可得，即，此时，充分性成立，当时，即，则，满足，即必要性成立．故选：．【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了复数的基本概念，属于基础题．2．（2024•浦东新区校级模拟）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖祥解〗根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的必要不充分条件．故选：．【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．二．填空题（共29小题）3．（2024•松江区二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则．〖祥解〗根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：由题意得：，故，故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算，是基础题．4．（2024•杨浦区校级三模）对于复数是虚数单位），2．〖祥解〗由已知直接利用虚部的概念得答案．【解答】解：复数，．故答案为：2．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．5．（2024•宝山区校级四模）设复数满足是虚数单位），则的模为．〖祥解〗直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．【解答】解：复数满足，可得，．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．6．（2024•闵行区校级模拟）若复数为虚数单位）为纯虚数，则实数．〖祥解〗复数为纯虚数，则它的实部为零，虚部不为零，可求的值．【解答】解：复数为虚数单位）为纯虚数，所以，，解得．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式表示法及其几何意义，复数的分类，是基础题，常考题．7．（2024•普陀区校级模拟）设复数满足，则5．〖祥解〗设，根据复数的共轭复数、复数相等列方程组解得，，再根据模长公式求解即可得答案．【解答】解：设，则，于是，解得，则．故答案为：5．【点评】本题考查复数的共轭复数、复数相等，属于基础题．8．（2024•闵行区三模）已知为虚数单位，复数，则．〖祥解〗根据复数的乘法运算求得，可得，根据复数模的计算即得答案．【解答】解：由可得，故，．故答案为：．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．9．（2024•普陀区校级三模）设复数的共轭复数为，若，则．〖祥解〗结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：设，则．因为，所以．易得，解得，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查复数的运算，要求考生了解复数的概念，了解复数的模的概念，属于基础题．10．（2024•闵行区校级三模）已知复数为虚数单位），则的实部为．〖祥解〗先对化简，再结合实部的定义，即可求解．【解答】解：，其实部为．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题．11．（2024•闵行区校级三模）已知复数为虚数单位），则．〖祥解〗结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解．【解答】解：，则．故答案为：．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．12．（2024•浦东新区校级模拟）复数，则．〖祥解〗结合复数的性质，即可求解．【解答】解：，则，故．故答案为：．【点评】本题主要考查复数模的性质，属于基础题．13．（2024•青浦区校级模拟）为虚数单位，则．〖祥解〗根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．14．（2024•浦东新区校级模拟）已知复数满足为虚数单位），则的模为．〖祥解〗利用复数的运算法则及其性质即可得出．【解答】解：复数满足为虚数单位），，则．则．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（2024•普陀区模拟）已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为．〖祥解〗求出复数的共轭复数，进而可得点的坐标．【解答】解：由题意，复数，在复平面内所对应的点的坐标为．故答案为：．【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题．16．（2024•闵行区二模）已知复数满足为虚数单位），则．〖祥解〗根据复数的除法运算和模的定义求解．【解答】解：由得，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．17．（2024•浦东新区校级模拟）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数1．〖祥解〗先化简复数，再利用复数的相关概念求解．【解答】解：复数，因为复数是纯虚数，所以，解得．故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．18．（2024•嘉定区校级模拟）已知复数满足是虚数单位），则．〖祥解〗结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：，则．故答案为：．【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．19．（2024•浦东新区校级三模）是虚数单位，若复数满足，则．〖祥解〗直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．20．（2023•杨浦区二模）复数的虚部是．〖祥解〗根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．【解答】解：，其虚部为．故答案为：．【点评】本题主要考查合复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．21．（2024•松江区校级模拟）若复数满足，为虚数单位，则．〖祥解〗根据复数的除法运算求解．【解答】解：由题意，，则．故答案为：．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．22．（2024•金山区二模）已知复数满足，则的模为．〖祥解〗根据共轭复数和复数相等的概念求得，即可求解．【解答】解：设，，为实数，则，所以，所以，，所以，，则．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．23．（2024•徐汇区模拟）已知复数为虚数单位），则2．〖祥解〗首先求出复数的共轭复数，进一步求出结果．【解答】解：复数，故，所以．故答案为：2．【点评】本题考查的知识点：复数的运算，共轭复数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．24．（2024•嘉定区校级模拟）若复数是纯虚数，则．〖祥解〗直接利用复数的定义的应用求出结果．【解答】解：复数是纯虚数，则，解得．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：复数的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．25．（2024•浦东新区校级四模）已知方程的一个根是是虚数单位），则4．〖祥解〗由题意结合复数的性质可知，方程的另一个根为，然后结合方程的根与系数关系即可求解．【解答】解：因为方程的一个根是，所以另一个根为，根据方程的根与系数关系可得，．故答案为：4．【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题．26．（2024•杨浦区校级三模）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个式子：①；②；③；④．其中恒成立的是②③（写出所有恒成立式子的序号）〖祥解〗设，，则，，利用复数的乘法运算法则和复数的模判断①②；利用向量数量积公式和向量的模判断③④．【解答】解：设，，则，，对于①，，，，故错误；对于②，，，，，故②正确；对于③，，，，故③正确；对于④，，，，，，故错误．故答案为：②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查复数的乘法运算法则和复数的模、向量数量积公式和向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．27．（2024•宝山区三模）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则．〖祥解〗由图形得到复数，，代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由图可知，，，．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．28．（2024•浦东新区校级模拟）设关于的实系数方程的两个虚根为、，则．〖祥解〗结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解．【解答】解：由题可知，，设，，，，则，可得，则．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的应用，属于基础题．29．（2024•杨浦区二模）设复数与所对应的点为与，若，，则2．〖祥解〗根据复数的几何意义与平面向量的坐标运算求解．【解答】解：，则复数所对应的点为，，复数所对应的点为，则，．故答案为：2．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．30．（2024•宝山区二模）设实数、