专题01 集合与常用逻辑用语-5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）（解析版）

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题01集合与常用逻辑用语考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点1集合（5年几考）2020-2024一年一考：集合的交并补运算1.集合作为高中数学的预备知识内容,每年都是高考中的必考题，题型为选择题,以集合的运算为主,多与解不等式等内容交汇,新定义运算也有较小的可能出现,属于基础性题目，主要考查考生的运算求解能力,提升考生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。2.常用逻辑用语是数学学习和思维的工具，主要考查充分条件与必要条件,容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何内容交汇,基础性和综合性题目居多.本部分的出错原因主要是与其他知识交汇部分的信息在提取、加工上出现理解错误,主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养。考点2常用逻辑用语（5年几考）2020-2024一年一考：充分必要条件的综合判断考点01集合1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗直接根据并集含义即可得到答案.【详析】由题意得.故选：C.2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗先化简集合，然后根据交集的定义计算.【详析】由题意，，，根据交集的运算可知，.故选：A3．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗利用补集的定义可得正确的选项．【详析】由补集定义可知：或，即，故选：D．4．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗结合题意利用并集的定义计算即可.【详析】由题意可得：.故选：B.5．（2020·北京·高考真题）已知集合，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根据交集定义直接得结果.【详析】，故选：D.【『点石成金』】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.考点02常用逻辑用语6．（2024·北京·高考真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B〖祥解〗根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详析】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.7．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C〖祥解〗解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【详析】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C8．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C〖祥解〗设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.9．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A〖祥解〗利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.10．（2020·北京·高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（

）．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C〖祥解〗根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详析】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【『点石成金』】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.1．（2024·北京西城·三模）设集合，，则集合（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗先解不等式求集合，再求并集即可.【详析】由得到，故，又，所以.故选：A.2．（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D〖祥解〗由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可.【详析】为递增数列时，有，不能得到为递增数列，充分性不成立；为递增数列时，不一定有，即不能得到为递增数列，必要性不成立.所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D.3．（2024·北京顺义·三模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗化简集合，根据交集运算法则求.【详析】不等式的解集为，所以，又，所以，故选：B.4．（2022·山东淄博·模拟预测）“角与的终边关于直线对称”是“”的（

）A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A〖祥解〗根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解.【详析】角与的终边关于直线对称,则,,则，“角与的终边关于直线对称”是“”的充分必要条件.故选:A5．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B〖祥解〗举出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立.【详析】不妨设，此时满足，但不满足，充分性不成立，两边平方得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故，解得，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B6．（2024·北京通州·三模）已知为整数集，，则（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗根据条件，利用集合的运算，即可求出结果.【详析】因为，所以，故选：A.7．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（

）A．2 B．0 C． D．-2【答案】C〖祥解〗根据集合的包含关系可得求解.【详析】由于，所以，故的最大值为，故选：C8．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，.则“”是“存在最小值”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A〖祥解〗根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前项和公式判断即可【详析】若且公比，则，所以单调递增，存在最小值，故充分条件成立.若且时，，当为奇数时，，单调递减，故最大值为时，，而,当为偶数时，，单调递增，故最小值为，，所以的最小值为，即由，存在最小值得不到公比,故必要性不成立.故公比“”是“存在最小值”的充分不必要条件.故选：A9．（2024·北京朝阳·二模）已知集合则（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗由题意可得，结合交集的定义与运算即可求解.【详析】由题意知，，又，所以.故选：B10．（2024·北京朝阳·二模）已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B〖祥解〗根据面面垂直的性质与线面垂直的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详析】由题意知，，若，当时，有；当时，与可能相交、平行、垂直.若，由，得.故“”是“”是必要不充分条件.故选：B11．（2024·北京通州·二模）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗先求，再求即可.【详析】由题意知，，则.故选：B.12．（2024·北京通州·二模）已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C〖祥解〗利用等差数列通项和求和公式可推导得到充分性成立；将代入，可得，进而得到必要性成立，从而得到结论.【详析】设等差数列的公差为，由得：，，，，即，充分性成立；由得：，，即，，即，必要性成立；“”是“”的充分必要条件.故选：C.13．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A〖祥解〗先求出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详析】由可得：，解得：，所以“”能推出“”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.14．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根据补集的定义即可得解.【详析】因为全集，集合，所以.故选：B.15．（2024·北京海淀·一模）设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A〖祥解〗通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详析】，且，所以，又，所以，充分性满足，如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.

16．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详析】全集，集合，所以.故选：D17．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A〖祥解〗分，，讨论函数的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案.【详析】对于函数当时，，为常数函数，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件.故选：A.18．（2024·北京朝阳·一模）已知全集，，则（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗求出集合A，再利用补集的定义求解即得.【详析】全集，则，所以.故选：D19．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：①若，则{思想政治，历史，生物}；②若，则{地理，物理，化学}；③若{思想政治，物理，生物}，则；④若，则{思想政治，地理，化学}.其中所有正确结论的序号是.【答案】①③〖祥解〗对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明.【详析】对于①：，所以，所以，又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确；对于②：，即，所以，所以必为偶数，又，当时，，不符合，所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误；对于③：若{思想政治，物理，生物}，则，所以，③正确；对于④：当{物理，地理，历史}时，，满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误.故选：①③【『点石成金』】方法『点石成金』：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.20．（2024·北京西城·三模）记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合.(1)当时，写出集合；对于，写出；(2)当时，如果，求的最小值；(3)求证：.（注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.）【答案】(1)；(2)5(3)证明见解析〖祥解〗（1）根据定义直接写出集合，再根据的定义写出；（2）设，则，则由题意可得，从而可求得结果；（3）设A中的所有元素为，，…，，其中，记（），先利用反证法证明这些互不相等，再根据定义证明即可.【详析】（1）；若，则.（2）的最小值为5.证明如下：设.因为，除外，其它7个元素需由两个不同的，计算得到，所以，解得.当时，有，符合题意.（3）证明：设A中的所有元素为，，…，，其中.记（），则这些互不相等.证明如下：如果存在，，则，的每一位都相等，所以，的每一位都相等，从而，与集合A中元素的互异性矛盾.定义集合，则.又，所以.【『点石成金』】关键点『点石成金』：此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确理解，考查理解能力，属于难题.21．（2024·北京海淀·二模）设正整数，，，这里.若，且，则称具有性质.(1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值；(2)若具有性质：①求证：；②求的值.【答案】(1)27或32(2)①证明见解析②〖祥解〗（1）对题目中所给的，我们先通过分析集合中的元素，证明，，以及，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果；（2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可.【详析】（1）对集合，记其元素个数为.先证明2个引理.引理1：若具有性质，则.引理1的证明：假设结论不成立.不妨设，则正整数，但，故一定属于某个，不妨设为.则由知存在正整数，使得.这意味着对正整数，有，，但，矛盾.所以假设不成立，从而一定有，从而引理1获证.引理2：若具有性质，则，且.证明：取集合.注意到关于正整数的不等式等价于，而由引理1有，即.结合是正整数，知对于正整数，当且仅当，这意味着数列恰有项落入集合，即.而两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，故中的元素属于且仅属于某一个，故.所以，从而，这就证明了引理2的第一个结论；再考虑集合中全体元素的和.一方面，直接由知中全体元素的和为，即.另一方面，的全部个元素可以排成一个首项为，公差为的等差数列.所以的所有元素之和为.最后，再将这个集合的全部元素之和相加，得到中全体元素的和为.这就得到，所以有.即，从而，这就证明了引理2的第二个结论.综上，引理2获证.回到原题.将从小到大排列为，则，由引理2的第一个结论，有.若，则，所以每个不等号都取等，从而，故；情况1：若，则，矛盾；情况2：若，则，所以，得.此时如果，则，矛盾；如果，则，从而，故；如果，由于，设，，则，.故对于正整数对，有，从而，这与矛盾.综上，的取值只可能是或.当时，；当时，.所以的所有可能取值是和.（2）①由引理1的结论，即知；②由引理2的第二个结论，即知.【『点石成金』】关键点『点石成金』：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理.22．（2024·北京朝阳·二模）设为正整数，集合对于，设集合.(1)若，写出集合；(2)若，且满足令，求证：；(3)若，且，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.〖祥解〗（1）由题意，即可直接写出；（2）由可得，结合可得，即可证明；（3）若且则，进而，由（2）可知，分类讨论、时与的大小关系，即可证明.【详析】（1）；（2）因为，所以，当时，，所以，即，，又因为，所以，所以，所以；（3）对任意，令，若且，则，所以，因为，所以，所以，所以.对，因为，由（2）可知，令，则.若，因为，所以，即，又因为，所以.若，则，所以.综上，即.【『点石成金』】方法『点石成金』：学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..23．（2024·北京房山·一模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k