《1.2空间两点间的距离公式》教学设计

《1.2空间两点间的距离公式》教学设计##一、学情分析高中学生已经具备了一定的平面向量和立体几何的基础知识，对于空间直角坐标系也有了初步的认识。但在将空间中的点的位置关系转化为数学计算，尤其是推导和运用空间两点间的距离公式时，可能会遇到困难。部分学生可能对空间想象力的运用不够熟练，在理解公式的几何意义和实际应用方面存在挑战。##二、教材分析北师大版（2019）选择性必修第一册第三章“空间向量与立体几何”中的“1.2空间两点间的距离公式”，是在学生学习了空间直角坐标系的基础上进一步探究空间两点间的距离计算方法。这部分内容是空间向量与立体几何知识体系中的重要组成部分，为后续学习空间向量的应用以及解决立体几何中的距离问题奠定了基础。教材通过类比平面两点间距离公式，引导学生推导空间两点间的距离公式，体现了数学知识之间的联系和发展。##三、教学目标###（一）核心素养教学目标1、**数学抽象**：能从空间两点的位置关系抽象出距离概念，建立空间两点间距离公式这一数学模型。2、**逻辑推理**：通过推导空间两点间距离公式，提高逻辑推理能力，理解推导过程中的逻辑关系。3、**数学建模**：学会运用空间两点间距离公式解决实际问题，建立数学模型解决空间距离相关的实际问题。4、**直观想象**：借助空间直角坐标系，培养空间想象能力，直观理解两点间的距离在空间中的几何意义。5、**数学运算**：熟练运用空间两点间距离公式进行计算，提高数学运算的准确性和速度。###（二）知识与技能目标1、学生能够理解空间两点间距离公式的推导过程。2、熟练掌握空间两点间距离公式，并能准确运用公式计算空间两点间的距离。###（三）过程与方法目标1、通过类比平面两点间距离公式推导空间两点间距离公式，培养学生类比推理和知识迁移的能力。2、在推导和应用公式的过程中，提高学生分析问题和解决问题的能力。###（四）情感态度与价值观目标1、感受数学知识之间的内在联系，激发学生学习数学的兴趣。2、培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神。##四、教学重难点###（一）教学重点1、空间两点间距离公式的推导过程。2、空间两点间距离公式的应用。###（二）教学难点1、空间两点间距离公式推导过程中的逻辑构建。2、如何引导学生将实际问题转化为利用空间两点间距离公式求解的数学问题。##五、教学方法1、**讲授法**：讲解空间两点间距离公式的概念、推导过程和应用要点。2、**探究法**：引导学生探究空间两点间距离公式的推导，培养学生的探究能力。3、**类比法**：通过类比平面两点间距离公式推导空间两点间距离公式，帮助学生理解新知识。4、**练习法**：通过课堂练习，让学生熟练掌握空间两点间距离公式的应用。##六、教学过程###（一）导入（5分钟）同学们，咱们之前学过平面直角坐标系里两点间的距离公式，就像咱们在地图上找两个地方的距离一样，平面上的事儿咱们好理解。那现在呢，咱们来到了三维空间，就像咱们生活的这个世界，东西可以上下、前后、左右地放，这时候怎么求两个点之间的距离呢？比如说，在一个大仓库里，一个货物在这个角落（随便指一个空间位置），另一个货物在另一个角落（再指一个不同的空间位置），咱们怎么算出它们之间的距离呢？今天咱们就来学习空间两点间的距离公式。###（二）新授（20分钟）####1、回顾平面两点间距离公式（3分钟）咱们先回忆一下平面直角坐标系里两点间的距离公式。如果有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，那么它们之间的距离d(A,B)=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。这个公式大家应该很熟悉了，那咱们怎么从这个平面的公式得到空间的公式呢？####2、推导空间两点间距离公式（12分钟）在空间直角坐标系中，有两点P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)。咱们可以把这个空间距离问题转化成平面距离问题来解决。首先，咱们在xy平面上看，点P和Q在xy平面上的投影分别是P'(x1,y1,0)和Q'(x2,y2,0)，那在xy平面上，根据咱们刚才的平面两点间距离公式，P'和Q'之间的距离d(P',Q')=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。然后呢，咱们再看PP'和QQ'的长度，因为P的z坐标是z1，P'在xy平面上，所以PP'的长度就是z1的绝对值，同理QQ'的长度就是z2的绝对值。那现在咱们看三角形PQ'P'，这是个直角三角形，PQ'的长度就是d(P',Q')=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，PP'的长度是z1的绝对值，根据勾股定理，在直角三角形PQ'P'里，PQ的长度的平方就等于PQ'的长度的平方加上PP'的长度的平方。再看三角形PQP'，这也是个直角三角形，QQ'的长度是z2的绝对值，那PQ的长度的平方又等于PQ'的长度的平方加上QQ'的长度的平方。所以最后咱们得到空间两点P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)之间的距离公式：d(P,Q)=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。####3、空间两点间距离公式的几何意义（5分钟）这个公式有啥几何意义呢？其实就是以这两点为端点的线段的长度。就像咱们之前说的仓库里两个货物的距离，这个公式就能准确地算出来。###（三）巩固（15分钟）####1、简单计算练习（8分钟）给大家出几道简单的题目，来练练手。（1）已知点A(1,2,3)和点B(4,5,6)，求A和B两点间的距离。（2）点C(-1,0,2)和点D(3,-2,1)，求d(C,D)。答案：（1）d(A,B)=sqrt((4-1)^2+(5-2)^2+(6-3)^2)=sqrt(9+9+9)=3sqrt(3)（2）d(C,D)=sqrt((3-(-1))^2+((-2-0)^2+(1-2)^2))=sqrt(16+4+1)=sqrt(21)####2、实际应用练习（7分钟）一个正方体的棱长为3，一个顶点坐标为(0,0,0)，相对的顶点坐标为(3,3,3)，求这两个顶点间的距离。答案：根据空间两点间距离公式，d=sqrt((3-0)^2+(3-0)^2+(3-0)^2)=sqrt(9+9+9)=3sqrt(3)###（四）总结（5分钟）好啦，同学们，今天咱们学习了空间两点间的距离公式。咱们先回顾了平面两点间距离公式，然后通过类比和转化，推导出了空间两点间的距离公式。这个公式在解决空间里点与点之间的距离问题的时候非常有用，不管是简单的坐标计算，还是像正方体顶点距离这样的实际问题，都能解决。大家一定要记住这个公式，还有推导过程中的思路，这对咱们以后学习立体几何和空间向量都很有帮助。###（五）作业布置（课后完成）1、课本上相关习题。2、已知长方体的一个顶点坐标为(1,1,1)，与这个顶点相邻的三个顶点坐标分别为(1,2,1)、(2,1,1)、(1,1,2)，求长方体的对角线长度。答案：设长方体对角线的另一个端点坐标为(x,y,z)，因为长方体对角线连接相对的两个顶点，根据长方体的性质，x=2，y=2，z=2。所以对角线长度为d=sqrt((2-1)^2+(2-1)^2+(2-1)^2)=sqrt(3)##七、教学评价###（一）形成性评价1、在课堂提问环节，观察学生对平面两点间距离公式的回顾情况，以及在推导空间两点间距离公式过程中的参与度和理解程度，及时给予反馈和指导。2、通过课堂练习，查看学生对空间两点间距离公式的计算准确性和应用能力，对存在的问题进行个别辅导。###（二）终结性评价1、课后作业的完成情况将作为评价学生对本节课知识掌握程度的重要依据，检查学生是否能够熟练运用空间两点间距离公式解决各种类型的问题。2、在单元测试或阶段性考试中，设置与空间两点间距离公式相关的题目，全面考查学生对该知识点的掌握情况。##八、教学资源1、教材：北师大版（2019）选择性必修第一册教材。2、教具：黑板、粉笔