《应用举例》知识清单

《应用举例》知识清单北京版九年级上册数学第十八章相似形之相似三角形18.7应用举例知识清单一、相似三角形应用的基本原理1、相似三角形的性质相似三角形对应边成比例，对应角相等。这是我们解决相似三角形应用问题的关键依据。比如说，如果有两个相似三角形$＼triangleABC$和$＼triangleA'B'C'＄，那么$＼frac{AB}｛A'B'｝＝＼frac{BC}｛B'C'｝＝＼frac{AC}｛A'C'｝＄，并且$＼angleA=＼angleA'＄，＄＼angleB＝＼angleB'＄，＄＼angleC=＼angleC'＄。2、利用相似三角形解决实际问题的一般步骤确定相似关系：首先要在实际问题的图形中找出相似三角形。这可能需要我们根据已知条件，比如平行关系（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）或者角相等的关系来判断。例如在测量旗杆高度的问题中，如果有一个人和旗杆都垂直于地面，并且在同一时刻，太阳光照射下，人和旗杆的影子以及人和旗杆分别构成相似三角形。列出比例关系：一旦确定了相似三角形，就根据相似三角形对应边成比例的性质列出比例式。比如在上面测量旗杆高度的例子中，如果人的身高是$h_1$，人的影子长是$l_1$，旗杆影子长是$l_2$，设旗杆高度为$h_2$，那么就可以列出比例式$＼frac{h_1}｛h_2}＝＼frac{l_1}｛l_2}＄。求解未知量：通过已知的数值代入比例式，就可以求解出未知量了。在这个例子中，＄h_2=＼frac{h_1\timesl_2}｛l_1}＄。二、常见的相似三角形应用题型1、测量高度利用影子测量：像前面提到的测量旗杆高度的例子，就是利用在同一时刻，物体的高度和影子长度成比例的原理。只要知道一个物体的高度和它的影子长度，以及另一个物体的影子长度，就可以求出另一个物体的高度。利用镜子反射测量：例如，要测量一个建筑物的高度$AB$，在建筑物前面放一面镜子$C$，人站在镜子前一定位置$D$，使得能从镜子里看到建筑物的顶端$A$。此时，＄＼triangleABC$和$＼triangleDEC$相似（因为入射角等于反射角，所以$＼angleACB=＼angleDCE$，又因为人和建筑物都垂直于地面，所以$＼angleB=＼angleE＝90^｛＼circ}＄）。如果人的身高$DE＝h$，人到镜子的距离$CD＝l_1$，镜子到建筑物的距离$BC＝l_2$，根据相似三角形对应边成比例$＼frac{AB}｛DE}＝＼frac{BC}｛CD}＄，就可以求出建筑物的高度$AB=＼frac{h\timesl_2}｛l_1}＄。2、测量距离间接测量不可到达的两点间的距离：比如要测量河对岸两点$A$、＄B$之间的距离。我们可以在河这边找一个点$C$，再找一个点$D$，使得$＼triangleABC$和$＼triangleEDC$相似（可以通过测量角度使角相等来保证相似）。如果测量出$CD$的长度、＄DE$的长度以及$BC$的长度，根据相似三角形对应边成比例$＼frac{AB}｛DE}＝＼frac{BC}｛CD}＄，就可以求出$AB$的长度。三、相似三角形应用中的注意事项1、准确判断相似关系在实际问题中，要仔细分析图形中的几何关系，不能误判相似三角形。比如在一些复杂的图形中，可能存在多个三角形，要根据已知条件准确找出与所求量相关的相似三角形。2、单位统一在列出比例式时，要保证各个量的单位是统一的。如果长度单位不统一，计算出来的结果就会是错误的。四、习题1、小明身高1.6米，他在阳光下的影子长为2米，同时，一棵树的影子长为5米，这棵树有多高？2、为了测量池塘两端$A$、＄B$的距离，在池塘外选一点$C$，连接$AC$、＄BC$并分别延长，使$CD=＼frac{1}｛3}AC$，＄CE=＼frac{1}｛3}BC$，连接$DE$，如果测量出$DE＝20$米，那么$AB$的距离是多少？习题答案1、设树高为$x$米，根据相似三角形对应边成比例可得$＼frac{1.6}｛x}＝＼frac{2}｛5}＄，解得$x＝4$米。2、因为$＼frac{CD}｛AC}＝＼frac{CE}｛BC}＝＼frac{1}｛3}＄，且$＼angleACB=＼angleDCE