数学达标训练：两角和与差的正弦、余弦、正切公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础•巩固1.tan10°·tan20°+（tan10°+tan20°)的值等于（)A。B.1C.D.思路分析：∵，∴tan10°+tan20°=（1-tan10°·tan20°).∴原式=tan10°·tan20°+1-tan10°·tan20°=1。答案:B2.若sin（α-β）cosα—cos（α-β)sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为(）A.B。C.D.思路分析:由条件，得sin［（α—β)—α]=sin（—β)=-sinβ=m，∴sinβ=—m。又∵β为第三象限角,∴cosβ=.答案：B3.若tanθ=，则cos2θ-sin2θ的值等于(）A.B。C。D。思路分析:∵sin2θ=sin(θ+θ)=2sinθcosθ，tanθ=，∴原式=。答案：C4.若tan（α+β）=,tan(β—)=，那么tan（α+)等于（)A。B.C。D。思路分析：tan（α+）=tan［(α+β)—（β—)］。答案:B5。函数y=2sin(—x)-cos(+x），(x∈R）的最小值是__________。思路分析：y=2sincosx—2cossinx-coscosx+sinsinx=cosx-sinxcosx+sinx=cosxsinx=cos（x-)。所以函数的最小值为—1。答案:-16。设tanα=，tanβ=，α、β均为锐角，则tan(α+2β）=_________。思路分析：∵tanβ=，∴tan2β=tan（β+β)=。又∵tanα=，∴tan（α+2β）=.答案：1综合•应用7.已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=,sin(A-B)=，（1)求证：tanA=2tanB;(2)设AB=3,求AB边上的高.（1)证明：∵sin(A+B)=,sin（A-B)=，∴.∴tanA=2tanB。(2）解:∵＜A+B＜π,sin（A+B）=，∴tan(A+B）=，即，将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B-4tanB—1=0.解之,得tanB=,舍去负值得tanB=。∴tanA=2tanB=.设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=。由AB=3，得CD=。所以AB边上的高等于。8.重量为G的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它（如图3-1-8），小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ等于多大时,用力最小？图3—1—8思路分析：作出小车的受力分析如右图,由平衡条件得关于各力的方程，消元求解即可。解:由小车的受力分析可得解得。要使F最小，分母应最大，即cos(α—φ）=1，α=φ.又tanα=μ，所以当φ=arctanμ时,F最小，最小值为Fmin==Gsinα=Gsinφ.9.tanα、tanβ是方程x2—3x—3=0的两个根,试求sin2(α+β)—3sin（α+β)cos(α+β）—3cos2（α+β）的值.思路分析:本题考查同角三角函数基本关系式和两角和与差的正切公式的应用。在解题过程中,要利用两角和的正切公式统一角，再用同角三角函数间的基本关系统一函数。在解决三角函数问题里,常需要遵循这样的原则：化简、计算、证明。解:由已知tanα、tanβ是方程x2-3x—3=0的两个根，根据韦达定理，有tanα+tanβ=3，tanα·tanβ=-3。所以tan(α+β)=.所以sin2（α+β)-3sin（α+β）cos(α+β)—3cos2(α+β）〔分子、分母同时除以cos2（α+β)可得此式〕.10.如图3-1—9，扇形薄铁板的半径是1m，中心角为60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，如何截取才能使得矩形PQRS的面积最大？图3—1-9思路分析：可以设∠POS=α,然后将矩形的两边用α的三角函数式来表示,经过适当变形转化成一个三角函数,进而求出最大面积。解:令∠POS=α，在Rt△POS中，PS=OP·sinα=sinα，OS=OP·cosα=cosα；在Rt△ROQ中,OR=QR·cot60°=QR=PS=sinα.RS=OS—OR=cosα—sinα.S矩形=PS·RS=（cosα—sinα）sinα=sinαcosα—sin2α。当α=30°时，上式有最大值，最大值为.回顾•展望11。(2006苏州统考)是否存在锐角α、β，使得①α+2β=，②tantanβ=2-同时成立?若存在,求出锐角α、β的值；若不存在，请说明理由.思路分析：对于探索存在性问题,通常先假设存在,然后求解，如果能求出结果，则说明存在,否则就说明不存在.解:假设存在锐角α、β使得①α+2β=，②tantanβ=同时成立.由①得+β=，所以tan（+β)=。又tantanβ=，所以tan+tanβ=。于是tan、tanβ可以看成是方程x2—(3—3）x+2-3=0的两个根.解得x1=1,x2=。若tan=1，则α=，这与α为锐角矛盾。所以tan=，tanβ=1.所以α=30°,β=45°.所以存在满足条件的α、β且α=30°