江苏省南京市鼓楼区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（含答案解析）

2024-2025学年九年级（上）期中试卷数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是（

）A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆2．一元二次方程x2+2x-3=0的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定3．若点P在⊙O内，且OP=6，则⊙O的半径可能为（

）A．4 B．5 C．6 D．74．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=20°，则该正多边形的边数为（

）A．8 B．9 C．10 D．125．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜06．已知二次函数y=-x2+2x+3，当-2＜x＜2时，y的取值范围是（

）A．-5＜y＜3 B．-5＜y＜4 C．-5＜y≤4 D．3＜y≤4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．一元二次方程x2=2024x的解是_____．8．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是．9．某景区六月份游客接待量为300万人次，八月份游客接待量为363万人次．设游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为_____．10．已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为_____．11．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为40°，则∠B+∠D的度数是_____．12．若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是．（用“＜”连接）．13．如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于，则的半径等于．14．在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边AB有两个公共点，则的取值范围是．15．如图，在AB为直径的半圆中，，，则弦DE，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于．16．如图，的半径为5，，若将沿某条弦所在的直线翻折，翻折后的弧恰好经过点P，则这条弦的长度a的范围是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解下列一元二次方程．（1）；（2）．18．已知关于x的一元二次方程（k为常数）．（1）求证：不论k为何值，该方程总有实数根；（2）不论k为何值，方程总有一个确定的实数根为______．19．如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E．（1）求证：；（2）求证：．20．如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？21．已知，的图象由的图象平移得到，为了探究如何平移，小明列出了下表：x…012345……188202818……18m202818……20n424p20…（1）直接写出m的值和的函数表达式；（2）将二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求得到的抛物线顶点坐标．22．如图，为的直径，射线交于C点，的平分线交于D点，过点D作交于E点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．23．小韦在解方程时突发奇想，按照如下步骤进行：①将原方程中一次项系数除以10，常数项除以100，得到新方程；②解得新方程的两个根分别是m和n；③将m和n分别乘以10，得到原方程的两个根，．（1）直接写出m和n的值；（2）请你说明其中的道理．24．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的边衬（图中阴影部分）所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽度约为多少？（，结果保留整数）25．已知二次函数（h是常数），且．（1）当时，求函数的最大值；（2）若函数的最大值为，求h的值．26．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．学习再现：设一元二次方程的两个根分别为和，那么，比较系数得，．类比推广：（）设的三个根分别为，，，求的值．问题解决：（）若的三个根分别为，，，则的值是______．拓展提升：（）已知实数满足，且，求正数的最小值．27．尺规作图已知线段和，将线段沿某条直线翻折后，A、B两点恰好落在上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段．（①保留作图痕迹；②写出必要的文字说明）．（1）如图1，的长度等于的直径；（2）如图2，的长度小于的直径．参考答案1．D【分析】本题考查了文学常识，战国时期墨家所著的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也．”据此解答即可．【详解】解：战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是圆，故选：D．2．C【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式△=b2-4ac来判断即可，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．【详解】解：∵一元二次方程，，，，∴，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：C．3．D【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点在圆内即可判断求解，掌握点和圆的位置关系是解题的关键．【详解】解：∵点在内，且，∴的半径大于，∴的半径可能为，故选：．4．B【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论．【详解】解：连接，，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，，，这个正多边形的边数．故选：B．5．C【分析】根据抛物线的开口方向以及与轴的交点位置进行判断即可．【详解】∵抛物线开口方向向下，∴a＜0.∵抛物线与y轴交点坐标为（0，c）点，由图知，该点在x轴上方，∴c＞0.故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图象与各项系数之间的关系，数形结合是解题的关键．6．C【分析】本题主要考查二次函数的性质．由二次函数解析式可求得对称轴及开口方向，再利用二次函数的增减性可分别求得y的最大值和最小值即可求得答案．【详解】解：，∵，对称轴为，∴当时，y有最大值，最大值为4，∵，∴当时，y有最小值，∴当时，y的取值范围是，故选：C．7．【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解决问题的关键．移项，提公因式x，化成两个一元一次方程解答即可．【详解】∵，∴移项得，，分解因式得，，∴，∴．故答案为：．8．相交【分析】由题意得d<r，根据直线与圆的位置关系的判定方法判定即可．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，∴d<r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故答案为相交．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系．已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交．9．【分析】本题考查了与增长率有关的一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系并正确列出方程是关键；根据等量关系：，列出方程即可．【详解】解：由题意得：；故答案为：．10．【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据（r为底面圆半径，l为母线长）进行求解即可．【详解】解：，∴该圆锥的侧面积为，故答案为：．11．160°．【分析】连接AB，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠ABE，根据圆内接四边形的性质计算即可．【详解】解：连接AB，∵的度数为40°，∴∠ABE＝20°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D＝180°，∴∠CBE+∠D＝180°﹣20°＝160°，故答案为160°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．12．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性；确定抛物线的对称轴，利用对称性把点C变为关于对称轴对称的另一点，利用函数的增减性即可求解．【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线，而点C关于对称轴对称的另一点，∵二次项系数为负，抛物线开口向下，∴当时，函数值随自变量的增大而增大，∵，∴；故答案为：．13．【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，设点为四边形与的切点，连接，由切线长定理可得，，，，由，可得，进而可得，设，最后根据面积可得，据此即可求解，掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．【详解】解：设点为四边形与的切点，连接，则，，，，由切线长定理得，，，，，∵，，∴，，∴，∴，∴，即，设，∵四边形的面积等于，∴，即，∴，∴，故答案为：．14．【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，先利用勾股定理求出AB，再根据三角形的面积求出斜边上的高CD，可知当时，所作的圆与斜边AB相切，进而即可求解，掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．【详解】解：∵，，，∴，过点作，则，即，解得，当时，所作的圆与斜边AB相切，∴当时，所作的圆与斜边AB有两个公共点，故答案为：．15．1【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，如图，连接、、，分别用表示出阴影面积和半圆面积，然后计算比值即可得解，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键．【详解】如图，连接、、，∵为直径，∴，∵，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，设圆的半径为r，过C点作于点F，∴，，，∴，∴，∴，，∴,故答案为：．16．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理知，当弦垂直平分时，弦最短，当弦垂直平分时，弦最长，利用垂径定理和勾股定理计算即可求解．【详解】解：过点作的直径，由垂径定理知，当弦垂直平分时，弦最短，当弦垂直平分时，弦最长，如图，连接，∵的半径为5，，∴，∴，在中，，∴；如图，连接，∵的半径为5，，∴，∴，在中，，∴；∴这条弦的长度a的范围是．故答案为：．17．（1），；（2），．【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法．（1）先求得的值，再利用公式法求解即可．（2）方程的左边可以利用平方差公式分解因式，则方程可以变形成左边是两个一次式的乘积，右边是0的形式，依据两个式子的乘积是0，则每个式子中至少有一个是0，即可转化成两个一元一次方程，从而求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，即，；（2）解：∵．∴∴，，∴方程的解是：，．18．（1）见解析（2）1【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程；（1）计算出判别式，根据判别式的符号即可证明；（2）方程左边可分解因式，因此用因式分解法即可求解，在解中有一个与k无关的解，即可求解．【详解】（1）证明：，∴不论k为何值，方程总有实数根；（2）解：原方程可化为，即或，解得：；∴方程有一个确定的实数根1．故答案为：1．19．（1）见解析（2）见解析【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质．（1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得；（2）由得到，推出，再得到，则．【详解】（1）解：，理由如下，证明：过点作直径，如图，，，是的半径，，，点D，E分别是，的中点，，，在和中，，，；（2）证明：∵，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∴．20．点P出发3秒后，【分析】本题是动态几何问题，考查了解一元二次方程，勾股定理，掌握勾股定理内容是关键；由题意得，在中，由勾股定理求得；再由，得到关于t的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：由题意得，在中，，，由勾股定理得；∵，即，∴，整理得：，解得：；∵，且，∴；即点P出发3秒后，．21．（1），（2）【分析】本题考查了二次函数图象的平移，仔细观察表格函数值的变化，找到平移的规律是解题的关键．（1）观察表格知，的图象向左平移了2个单位得到的图象，由此可确定m的值及的函数解析式；（2）由表格可得的解析式，即可确定二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位的解析式，从而确定顶点坐标．【详解】（1）解：由表格知，自变量取时函数的函数值，等于函数的自变量取时的函数值，因此相当于把函数的图象向左平移2个单位长度，得到函数的图象，∴，；（2）解：由表格知，函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到函数的图象，∴；∴二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位的解析式为，即．∴的顶点坐标为．22．（1）见解析（2）5【分析】（1）连接，若要证明为的切线，只要证明即可；（2）过点作于F，证明四边形是矩形，利用勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：连接，如图，∵，∴．∵平分，∴．∴．∴，，∵，∴，∴，∴，∵是的半径，∴为的切线；（2）解：过点作于F，∴又∴四边形是矩形，∴设则在中，，∴，解得，即的半径为5．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、平行线的判定与性质、矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，正确作出辅助线构造矩形和直角三角形是解答本题的关键．23．（1），；（2）见解析【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根与系数的关系．（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用根与系数的关系求解即可．【详解】（1）解：解方程，因式分解得，解得，，∴，；（2）解：设方程的两个根为，，由根与系数的关系得，，设，，∴，，解得，，∴m和n是方程的两个根．24．【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据矩形的面积公式建立方程是关键．由条件知道中间矩形的长宽比是，设中间的矩形的长为，宽为，根据封面的面积关系建立方程求出其解即可．【详解】封面长，宽，封面的长宽比为，设中间的矩形的长为，宽为，则有，解得，当不合题意舍去，，上下边衬为，上、下边衬的宽度约为25．（1）函数的最大值为0；（2）h的值是4或．【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；（1）根据顶点式可直接得出答案；（2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可．【详解】（1）解：当时，二次函数为，∴当时，函数有最大值为0；（2）解：∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，∴若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）；若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）；若，则最大值为0，与题意不符；综上，h的值是4或．26．（）；（）；（）【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解；（）结合（）的结果