河北省衡水市阜城县2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题（含答案解析）

高二10月份月考数学试卷一、单选题（每题5分）1.已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据圆一般方程与标准方程的互化即可求解.【详解】由题意知，圆的标准方程为,所以圆心坐标为，半径.故选：C2.若直线的倾斜角为，则实数m值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将直线方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直线的斜率定义即可求得m值.【详解】由题知，，解得.故选：A.3.直线与直线的位置关系是A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合【答案】A【解析】【详解】试题分析：直线斜率,在轴上的截距为.直线的斜率,在轴上的截距为.由两斜率相等可知两直线平行,在轴上的截距不等可排除重合.故本题选A．考点：两直线的位置关系.4.经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆的圆心坐标，根据所求直线与垂直，求其斜率，根据点斜式写出直线方程.【详解】圆的圆心的坐标为，设所求直线斜率为，因为所求直线与直线垂直，所以，故，所以直线方程为，即故选：D.5.若点在圆外，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过方程表示圆及点在圆外，构造不等式求解即可.【详解】由，化为标准方程可得：，则，即，①又在圆外，可得：，解得：或，②由①②取交集可知，实数的取值范围是，故选：C.6.点，点在轴上，则的最小值为（）A. B.5 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】求得关于轴的对称点，根据三点共线时取到最小值，进一步计算即可求解【详解】如图所示，关于轴的对称点为,则,当三点共线时等号成立，又,故的最小值为5,故选：B.7.已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】选择为空间向量的基底，表示出，借助空间向量的数量积求的模.【详解】取为空间向量的基底，因为，，，所以，.因为，所以，所以.故选：B8.已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.【详解】直线的方程可得，所以，直线过定点，设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，因为直线的斜率为，直线的斜率为，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，即，因为，所以或，故直线的倾斜角的取值范围是．故选：D．二、多选题（每题6分）9.已知直线，则（）A.的倾斜角为B.与两坐标轴围成的三角形面积为C.原点到的距离为1D.原点关于的对称点为【答案】BCD【解析】【分析】对于A：根据直线方程直接可得斜率，即可得倾斜角；对于B：先求直线与两坐标轴的交点坐标，即可得结果；对于C：利用点到直线的距离公式运算求解；对于D：设原点关于的对称点为，根据垂直关系以及中点列式求解即可.【详解】对于选项A：因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，故A错误；对于选项B：因为直线与两坐标轴的交点分别为，所以与两坐标轴围成的三角形面积为；对于选项C：原点到的距离，故C正确；对于选项D：设原点关于的对称点为，则，解得，所以原点关于对称点为，故D正确；故选：BCD.10.已知直线（）A.若，则或2B.原点O到直线的最大距离为C若，则或D.不过第二象限则【答案】BC【解析】【分析】根据两直线一般式平行和垂直满足的系数关系，即可判断AC，根据直线过定点，即可根据点点距离求解B，根据直线无斜率时，可判断D.【详解】对于A，若，则且，解得，故A错误，对于B，由于变形为，故其恒过点，因此原点O到直线的最大距离为,B正确，对于C，若，则，解得或，C正确，对于D，若不过第二象限，当无斜率时，，此时直线为，满足不经过第二象限，故可以为0，故D错误，故选：BC11.下列说法正确的是（）A.若空间中的，满足，则三点共线B.空间中三个向量，若，则共面C.对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面D.设是空间的一组基底，若，则不能为空间的一组基底【答案】ABC【解析】【分析】根据向量的线性运算可判断；根据向量的共面定理可判断.【详解】若空间中的，满足，即，根据向量共线的推论，则三点共线，正确；，则共线，对于任意向量必与共面，正确；对空间任意一点和不共线的三点，若，又，则四点共面，正确；因为看作立方体中三条相邻的棱，易知与不共面，所以能作为空间的一组基底，错误；故选：.三、填空题（每题5分）12.若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为______．【答案】##【解析】【分析】由两线平行求得，再应用平行线的距离公式求两条直线间的距离.【详解】由两线平行知：，即直线与平行，所以它们的距离为.故答案为：13.直线l过点，其倾斜角是直线的倾斜角的，则直线l的方程为___________.【答案】【解析】【分析】先求出直线l的倾斜角和斜率，即可求出直线l的方程.【详解】直线的斜率为，其倾斜角为.所以直线l的倾斜角为，其斜率为：.又直线l过点，所以直线l:.即直线l:.故答案为：14.在空间直角坐标系中已知，，，为三角形边上的高，则__________．【答案】3【解析】【分析】应用空间向量法求点到直线距离.【详解】，，则，，所以，故答案为：3四、解答题（共77分）15.已知的顶点坐标分别是，，．（1）求的外接圆方程；（2）求的面积．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）设圆的一般方程为，代入求解,即可求解；（2）求出，直线方程，利用点到直线距离求解面积.【小问1详解】设圆的方程为，则将，，三点代入可得解得，，所以所求圆的方程为【小问2详解】由题意得，所以即，点到直线的距离为所以．16.求满足下列条件的直线方程.（1）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；（2）已知，，两直线，交点为，求过点且与距离相等的直线方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）依题意，考虑截距相等包括均为0和相等且不为0两种情况分类求解；（2）先求得两直线的交点坐标，由题意，分别求与直线平行的直线方程和经过的中点的直线方程即可.【小问1详解】当直线过原点时，可得所求直线为，即，满足题意；当直线不过原点时，依题意可设直线的方程为，其中，代入，可得，解得，所以所求直线的方程为，即，综上，直线的方程为或.【小问2详解】由题意，联立方程组，解得，即得，当直线过点且与平行，可得，即直线的斜率，故直线的方程，即；当直线过点和中点时，因为，，可得，则，所以直线的方程，即，综上，满足条件的直线方程为或.17.在棱长为4的正方体中，点在棱上，且.（1）求点到平面距离；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建系，由点到面距离的向量法求解即可；（2）求得两平面法向量，代入夹角公式即可求解.【小问1详解】在正方体中，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.由正方体棱长为4，且，得，，，，，则.设平面的法向量为，则所以取，则，则点到平面的距离.【小问2详解】设平面的法向量为，则所以取，则，所以，设二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为.18.已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上.（1）求圆C的标准方程；（2）设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设圆心C的坐标为，可得，结合条件可得，进而求得圆心的坐标，半径，即得；（2）设，，进而可得，然后代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.【小问1详解】设圆心C的坐标为，半径为r，∵圆心C在直线上，∴，∵圆C经过，两点，∴，即，化简得：，又，所以，∴圆心C的坐标为，，所以圆C的标准方程为：；【小问2详解】设，，∵M为OP的中点，∴，∴，∵P在圆C上，∴，即，∴OP的中点M的轨迹方程为.19.如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点.（1）求证：平面PBC；（2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，且【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面