高等数学 试卷及答案 共7套

第2页试卷一一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.____________________________________.2.若曲线的垂直渐近线为__________________________.3.已知，则________________________.4.已知是的一个原函数，则_______.5.曲线上相应于的一段弧长为________________.6.函数，则______________________________.7.函数的拐点为__________________________________.8.________________________________________________.9.双曲线在点处的曲率为________________________________.10._______________________________________.二、计算题：（本大题共6小题，每小题10分，共60分）11.设，求(1),；(2)带皮亚诺型余项的阶麦克劳林公式.解：(1)，，,，所以.(2)因为，，，，，，，其中.所以12.设由参数方程确定，求.解：,13.计算.解：令，则,，当时；当时，原式=14．求的单调区间与极值.解：函数定义域为，，令，解得驻点为，单减极小值单增极大值单减故函数单调减少区间为，；单调减少区间为.极小值为，极大值为.15．设,(1)求函数在内的表达式；(2)若，试确定的值.解：(1)当时，，当时，，当时，，所以.(2)，所以.16.从原点向抛物线引两条切线，记由抛物线与所引两切线所围成的图形为D，(1)求图形D的面积A；(2)求图形D绕轴旋转一周而成的旋转体的体积V.解：求得切点为和，所求图形D的面积.所求体积.三、证明题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）17.已知在内二阶可导，且，，证明当时，恒有.证明：设，则.令，则，所以，即，所以在单调递减，所以，原命题成立.18.设在上连续，在内可导，且，证明：至少存在一点,使得.证明：令，则在上连续，在内可导，且.由罗尔定理，存在,使得,于是，即.试卷二一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.___________________________________________________.2.曲线的渐近线为_______________________________.3.设函数在处连续，则____________.4.设，则______________________________.5.函数，则_________________________________.6.曲线在点处的切线方程为__________________.7.设由方程确定，则______________.8.曲线的拐点为_______________________________________.9.___________________________________________.10.________________________________________________.二、计算题：（本大题共6小题，每小题10分，共60分）11.设，求(1),；(2)带皮亚诺型余项的阶麦克劳林公式.解：(1)，,,,,.(2),,,,,.12.求由参数方程所确定的函数的二阶导数.解：，，，，.13.计算.解：为瑕点，令，则，，当；.原式=14．求函数的极值.解：定义域，，驻点为，，单增极大值单减极小值单增故函数的极大值为，极小值为15．求由抛物线与所围图形在第一象限部分的面积；并求该图形第一象限部分绕轴旋转一周而成的旋转体的体积.解：交点为，所围图形面积为..所以旋转体体积为.16.设,求函数在的表达式.解：当时，.当时，故三、证明题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）17.证明:.证明：设，，，当时，，所以单调减少，则，所以单调增加，所以时,，即.18.设在上连续，在内可导，且，证明：至少存在一点,使得.证明：设，则在在上连续，在内可导，且，而，由罗尔定理可知，至少存在一点,使得，即.试卷三一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1._____________________________________________.2.设在连续，则____________________.3.设和分别是曲线的水平渐近线和垂直渐近线，则__________1____________.4.设，则____________-1___________________.5.设，则__0.3__________________________________________.6.设参数方程确定了函数，则____________.7.设由方程确定，则____________________.8.曲线的拐点的个数为_________2____________________________.9.___________________________________________.10.若，则______________-1_____________________________.二、计算题：（本大题共6小题，每小题10分，共60分）11.求函数的极值.解：定义域，，求得驻点为。00单减单减极小值单增函数的极小值为.12.计算不定积分.解：设，则，原式13.计算.解：设，则，原式14．设，求（1）；（2）带皮亚诺余项的阶麦克劳林公式；（3）解：(1)，，(2)，(3)。15．设(1)求函数在内的表达式；(2)设，试确定的值.解：(1)时，,时，,时，(6)(2),所以。16.过抛物线上点做切线，求该切线与及轴围成的平面图形的面积；并求该图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.解：过的切线方程是，求面积：选为积分变量，。(5)求体积：三、证明题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）17.设,证明:.证，，（时）所以当时单调减少，有。得证。18.设在上连续，在内可导，且，证明：至少存在一点,使得.证明：设，则在上连续，在上可导，且，而，由罗尔中值定理，至少存在一点,使得，即有，命题得证。测试一（答案）高等数学(管)-2二、计算题（每小题10分，共70分）解：故.解：所求图形面积为解：先求对应齐次方程的通解，分离变量得，两边积分，设是原方程的通解，代入方程得，解得,故原方程的通解为.解：令，则.解：，交换积分次序后，解：故收敛半径当时，级数为，级数发散，当时，级数为，级数收敛，所以原级数的收敛域为.记，则，两边积分，故，..解：因为，所以测试二（答案）高等数学(管)-1一、单项选择题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.当时，下列变量中的无穷小量为(A)A． B.C.D.2.设在处连续，，则(C)A. B.C. D.3.若在处连续，则(B)A.B.C. D.4.，则(C)A. B.C. D.5.方程在内(D)A．无实根 B.有三个实根C.有两个实根 D.有唯一实根二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6._______________________________________.7.计算不定积分_____________________________.8.设，则__________________________________.9.,则___________________.10.函数的定义域是__________________________.三、综合题：（本大题共7小题，每小题10分，共70分）11.计算不定积分.解：令，则，，原式=12.求函数的单调区间与极值.解：定义域为，，令，解得驻点为，单增极大值单减极小值单增故函数单调减少区间为；单调增加区间为，极小值为，极大值为.13.设，求.解：故14.设由方程确定，求.解：等式两边求导得，(1)故，时，，，(1)式两边同时求导得，故.15.求的渐近线.解：，所以是曲线的垂直渐近线.而，.故是曲线的斜渐近线.16.设，，证明：存在，并求.证明：显然，假设，则，故数列单调递增.又因为，设，有，故数列有界.由单调有界数列必有极限知数列极限存在.设，则有，，解得.故17.设在上连续，在内可导，证明：至少存在一点,使得，其中.证明：设，则有在上连续，在内可导,且，对和，由柯西中值定理，至少存在一点,使得，即.测试一（答案）高等数学(管)-1一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.求极限_____________________.2.计算不定积分________________________.3.设在连续，且存在，则________.4.设函数由方程所确定，则__________.5.设函数，则_______________.6.曲线的垂直渐近线为__________________.7.曲线过点的切线方程为_______________.8.函数的第一类间断点的个数为___________________.9.若曲线有拐点，则_________________.10.设的一个原函数为，则_________.二、计算题：（本大题共6小题，每小题10分，共60分）11.设，求(1)，；(2)写出函数带佩亚诺型余项的5阶麦克劳林公式.解:(1),，,，(2).12.求函数的单调区间与极值.解：函数的定义域为，则有，令，解得.单增极大值单减故函数在内单调递增，在内单调递减，在处取得极大值.13.计算不定积分.解：原式=14.确定常数和，使函数处处可导.解：由函数可导可知函数一定连续.由，得到，由，，故.15.求极限.解：原式16.计算不定积分.解：令，则，原式三、证明题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）17.证明当时，.证明：设，则，故当时，单调减少，故，即.设，则，，故当时，单调增加，有，故当时，单调增加，有即.原命题得证.18.设在上连续，在内可导，证明：至少存在一点,使得.证明：设，则在上连续，在内可导，且，而，故至少存在一点,使得，即注：也可用柯西中值定理证明，设.测试二（答案）高等数学(管)-2填空题（共10小题，每题3分，总分30分）1.因为cosx是[0,1]上的连续函数，所以在这个区间上可积。由此可知，和式limn→∞1n(cos12.设z=ex-2y，而x=sint,y=t3,求dz3.设级数n=1∞-1n-1an=2,4.设函数f(u,v)可微,且满足fx+y,x-y∂f(u,v)∂u+∂f(u,v)∂v5.级数n=2