专题12函数与方程-2024年数学高频考点重点题型（原卷版）

专题12函数与方程一、核心体系函数与方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(零点的概念,零点存在性定理,一元二次方程根的分布))二、关键能力学生应掌握函数的零点、方程的解、图象交点（横坐标）三者之间的灵活转化，以实现快速解决问题．三、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.四、高频考点1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系（☆☆☆）Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210四、重点题型考点一、求解函数零点例11(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]所有零点之和为例12用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)≈0.200

f(1.5875)≈0.133

f(1.5750)≈0.067

f(1.5625)≈0.003

f(1.5562)≈－0.029

f(1.5500)≈－0.060

据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)例13．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．题组训练1.（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的所有零点之和为（）A．2 B．3 C．4 D．52.如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]3．用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0.1，需将区间等分__________次.考点二、判断函数零点个数例21设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.例22函数的零点一定位于区间（）A． B． C． D．例23已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6对点训练1.函数，的零点个数是（）.A．0 B．1 C．2 D．32.函数的零点所在的大致区间为（）A． B． C． D．3.【多选题】在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（）A． B． C． D．3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)考点三、已知零点求参例31.已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（）A．1 B．0 C．1 D．2例32.函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)题组训练1.已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C．－eq\f(7,8) D．－eq\f(3,8)2.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(－∞，1]3.(2022·苏州质检)函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1,2)内有零点，则实数k的取值范围是________．考点五、二次函数零点分布例4．若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）对点训练1.已知，有下列四个命题：：是的零点；：是的零点；：的两个零点之和为1：有两个异号零点若只有一个假命题，则该命题是（）A． B． C． D．2.已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为________．3.若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是________．考点五、零点应用例5.设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0B．x1x2＝0C．x1x2>1D．0<x1x2<1对点训练1.已知函数，若方程有四个不同的根，，，，则的取值范围是______.2.函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则．3.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x≤1,－x＋2，x＞1))，若实数a，b，c满足a＜b＜c且f(a)＝f(b)＝f(c)，则3a＋c＋3b＋c的取值范围为()A.(6，16) B.(6，18)C.(8，16) D.(8，18)巩固训练一、单项选择题1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)的零点为()A．2 B．－2,0C．eq\f(1,2) D．02．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0,1)上的零点，要求精确度为0．01时，所需二分区间的次数最少为()A．5 B．6C．7 D．83．(2022·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0 B．1C．2 D．34．(2022·西安模拟)函数y＝x3和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2存在公共点P(x0，y0)，则x0的范围为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)5．(2022·汕头质检)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))6．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－eq\r(x)－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A.x1＜x3＜x2B.x2＜x3＜x1C.x2＜x1＜x3D.x1＜x2＜x37．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.8．(2022·西安高三模拟)定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，方程g(f(x))＝0解的个数不可能是()A．1 B．2C．3 D．4二、多项选择题9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是()A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜110．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m可能的值有()A．2B．3C．4D．511．(2022·济宁模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x，0＜a＜b＜c，f(a)f(b)f(c)＜0，实数d是函数f(x)的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是()A．d＜a B．d＞bC．d＞c D．d＜c12．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2－x－3C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝|log2x|－1三、填空题13.已知函数则函数的所有零点之和为_________.14．若函数f(x)＝ax2－