专题06三角形中的最值问题（第一篇）（原卷版）

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题06三角形中的最值问题类型对应典例求三角形中角相关的最值问题典例1求三角形中边相关的最值问题典例2求三角形中面积相关的最值问题典例3求三角形中周长相关的最值问题典例4平面图形中三角形面积的最值问题典例5求三角形中相关的混合型的最值问题典例6求三角形中线段的最值问题典例7【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形中，内角的对边分别为，且（1）求角的大小．（2）求函数的值域．【思路引导】（1）由利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得，可求出的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在中，角，，所对的边分别是，，，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，进而求得和，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将表示为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为，根据正弦型函数值域的求解方法，结合的范围可求得结果.【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】已知△ABC的内角A，B，C满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；（2）由正弦定理，可得，由基本不等式利用余弦定理可得，从而由可得解.【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知的三个内角，，所对的边分别为，设，.（1）若，求与的夹角；（2）若，求周长的最大值.【思路引导】（1）将代入可求得.根据平面向量数量积的坐标运算求得,由数量积的定义即可求得,进而得夹角.（2）根据及向量模的坐标表示,可求得.再由余弦定理可得.结合基本不等式即可求得的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得的取值范围,进而求得周长的最大值.【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，，..（1）求，（用表示）；（2）求的面积的最小值.【思路引导】（1）根据，，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和即可；（2）由条件知，然后根据的范围，利用正弦函数的图象和性质求出的最小值.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）设，的面积为S，求的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角；（2）用正弦定理把边用角表示，即，，这样，又，就表示为的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．【典例7】【福建省宁德市20192020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】的内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求；（2）若为锐角三角形，为中点，求的取值范围．【思路引导】（1）由正弦定理，将式子中的边化成角得到，从而求得的值；（2）由（1）知，可得的范围，再将表示成关于的函数，从而求得的取值范围.【针对训练】1.【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在中，、、分别是角、、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.2.【辽宁省葫芦岛市六校协作体20192020学年高三上学期11月月考】分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.3.【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角的大小；（2）若为的中点，且，求的最大值.4.【2020届湖南省常德市高三上学期期末】的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的最大值.5.【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在中，，，分别是角，，的对边，已知向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.6.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD中，A为锐角，.（1）求；（2）设、的外接圆半径分别为，若恒成立，求实数m的最小值.7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．8.【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在中，内角的对边分别为，已知．(1)求角；(2)若，求的最小值．9.【吉林省吉林市普通中学20192020学年度高三第二次调研测】已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足.（1）求的面积；（2）若，求的最大值.10.【湖南省长沙市浏阳市第一中学20192020学年高三上学期第六次月考】已知△ABC的内角