2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的数乘运算限时规范训练含解析新人教A版选修2-1

PAGE第三章3.13.1.2基础练习1．若a，b是平面α内的两个向量，则()A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)【答案】D【解析】当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内随意向量可以用a，b表示，对空间向量则不肯定，故C项不正确，D项正确．2．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c【答案】A【解析】eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.3．在下列条件中，使点M与点A，B，C肯定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)) B．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C．eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0【答案】C4．已知正方体ABCDA′B′C′D′，E是底面A′B′C′D′的中心，a＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))，b＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，c＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，则()A．x＝2，y＝1，z＝eq\f(3,2) B．x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1 D．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(2,3)【答案】A5.在四面体OABC中，eq\x\to(OA)＝a，eq\x\to(OB)＝b，eq\x\to(OC)＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\x\to(OE)＝(用a，b，c表示).【答案】eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c【解析】如图，eq\x\to(OE)＝eq\f(1,2)(eq\x\to(OA)＋eq\x\to(OD)).又因为eq\x\to(OD)＝eq\f(1,2)(eq\x\to(OB)＋eq\x\to(OC))，所以eq\x\to(OE)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.6．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满意任三点均不共线，但四点共面且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2xeq\o(BO,\s\up6(→))＋3yeq\o(CO,\s\up6(→))＋4zeq\o(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z＝________.【答案】－1【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))＝－2xeq\o(OB,\s\up6(→))－3yeq\o(OC,\s\up6(→))－4zeq\o(OD,\s\up6(→)).∵A，B，C，D共面，∴－2x－3y－4z＝1.∴2x＋3y＋4z＝－1.7.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若M，N分别为AD1，BD的中点，用向量法证明eq\x\to(MN)与eq\x\to(D1C)共线.证明：连接AC，则N∈AC且N为AC的中点，所以eq\x\to(AN)＝eq\f(1,2)eq\x\to(AC).由已知得eq\x\to(AM)＝eq\f(1,2)eq\x\to(AD1)，所以eq\x\to(MN)＝eq\x\to(AN)－eq\x\to(AM)＝eq\f(1,2)eq\x\to(AC)－eq\f(1,2)eq\x\to(AD1)＝eq\f(1,2)eq\x\to(D1C).所以eq\x\to(MN)与eq\x\to(D1C)共线.8．求证：向量e1，e2，e3共面的充要条件是存在三个不全为零的实数λ，μ，v使得λe1＋μe2＋ve3＝0.证明：必要性：由共面对量定理，知当e1，e2，e3共面时，存在实数μ′，v′使得e1＝μ′e2＋v′e3，即－e1＋μ′e2＋v′e3＝0.取λ＝－1，μ＝μ′，v＝v′，则有λe1＋μe2＋ve3＝0.充分性：假设存在不全为零的三个实数λ，μ，v，使λe1＋μe2＋ve3＝0，不妨设λ≠0.于是可得e1＝－eq\f(μ,λ)e2－eq\f(v,λ)e3.故由共面对量定理可知e1，e2，e3共面．实力提升9．已知O，A，B，C为空间不共面四点且向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，则与a，b共面的向量是()A．eq\o(OA,\s\up6(→)) B．eq\o(OB,\s\up6(→))C．eq\o(OC,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))或eq\o(OB,\s\up6(→))【答案】C【解析】由a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，∴eq\o(OC,\s\up6(→))与a，b共面．故选C．10.(多选题)有下列命题中是真命题的是()A.若eq\x\to(AB)∥eq\x\to(CD)，则A，B，C，D四点共线B.若eq\x\to(AB)∥eq\x\to(AC)，则A，B，C三点共线C.若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝－e1＋eq\f(1,10)e2，则a∥bD.若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满意等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0【答案】BCD【解析】依据共线向量的定义，若eq\x\to(AB)∥eq\x\to(CD)，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错误；因为eq\x\to(AB)∥eq\x\to(AC)且eq\x\to(AB)，eq\x\to(AC)有公共点A，所以B正确；由于a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e1＋\f(1,10)e2))＝－4b，所以a∥b，故C正确；易知D也正确.11．已知a，b，c是不共面的三个向量，且实数x，y，z使xa＋yb＋zc＝0，则x2＋y2＋z2＝________.【答案】0【解析】由共面对量基本定理可知a，b，c不共面时，要使xa＋yb＋zc＝0，必有x＝y＝z＝0，∴x2＋y2＋z2＝0.12．已知三棱柱ABCA′B′C′，如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c.在对角线AC′和棱BC上分别取点M，N，使eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，0≤k≤1，求证：eq\o(MN,\s\up6(→))与向量a和c共面．解：eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC′,\s\up6(→))＝kb＋kc，eq\o(AN,\s\up6(