2025版高考数学一轮复习练案26第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第一讲平面向量的概念及其线性运算含解析新人教版

第四章平面对量、数系的扩充与复数的引入第一讲平面对量的概念及其线性运算A组基础巩固一、单选题1．(2024·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上A，B，C三点满意eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，则这三点在线段上的位置关系是(A)[解析]依据题意得到eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))是共线同向的，且BC＝2AB，故选A.2．如图，在正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))等于(D)A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))[解析]由题图知eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(D)A．eq\o(OH,\s\up6(→)) B．eq\o(OG,\s\up6(→))C．eq\o(EO,\s\up6(→)) D．eq\o(FO,\s\up6(→))[解析]在方格纸上作出eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，如图所示，则简单看出eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))，故选D.4．(2024·课标全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝(A)A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))[解析]eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故选A.5．(2024·辽宁丹东模拟)设平面对量a，b不共线，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，则(A)A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))共线，即A，B，D三点共线，故选A.6．(此题为更换后新题)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，eq\o(DA,\s\up6(→))＝d，则向量eq\o(EF,\s\up6(→))＝(C)A．eq\f(1,2)(a＋b)B．a＋eq\f(1,2)(b＋c)C.eq\f(1,2)(a＋c)D．a＋eq\f(1,2)b[解析]∵eq\o(DB,\s\up6(→))＝d＋a，∴eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(d＋a)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(d＋a)－d＝eq\f(1,2)(a－d)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－d)－eq\f(1,2)(a＋b)＝－eq\f(1,2)(b＋d)．又∵a＋b＋c＋d＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋c)．6．(此题为发觉的重题，更换新题见上题)如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(D)A．a－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b[解析]连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.二、多选题7．(2024·湖北枣阳白水中学期中改编)下列说法正确的是(BC)A．单位向量都相等B．模为0的向量与随意向量共线C．平行向量肯定是共线向量D．任一向量与它的相反向量不相等[解析]对于A，单位向量的模相等，方向不肯定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和随意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C正确；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误，故选B、C正确．8．(2024·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(AC)A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|肯定成立B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))肯定成立C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))肯定成立D.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))肯定成立[解析]在平行四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))肯定成立，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))肯定不成立，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))肯定成立，但|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|不肯定成立，故选A、C.三、填空题9．如图所示，下列结论不正确的是②④．①eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b；③eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋b.[解析]由a＋b＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))，知eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b，①正确；由eq\o(PT,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b，从而②错误；eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\o(PT,\s\up6(→))＋b，故eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b，③正确；eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\o(PT,\s\up6(→))＋2b＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b，④错误．故正确的为①③.10．设a和b是两个不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于－4．[解析]∵A，B，D三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴k＝－4.故填－4.11．(2024·河南三市联考)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(λ＋1)eq\o(BP,\s\up6(→))，则λ＝－eq\f(5,2)．[解析]由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))可知，点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，所以λ＋1＝－eq\f(3,2)，解得λ＝－eq\f(5,2).12．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))来表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))．[解析]易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→)).四、解答题13．(1)设e1，e2是两个不共线向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2.①求证：A，B，D三点共线；②若eq\o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值；(2)已知a、b不共线，若向量ka＋b与a＋kb共线反向，求实数k的值．[解析](1)①证明：由已知得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))有公共点B，∴A，B，D三点共线．②由①可知eq\o(BD,\s\up6(→))＝e1－4e2，又eq\o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，由B，D，F三点共线，得eq\o(BF,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ，))解得k＝12，(2)∵ka＋b与a＋kb共线反向，∴存在实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,kλ＝1.))∴k＝±1.又λ<0，∴k＝－1.B组实力提升1．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形态是(C)A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．菱形[解析]∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))不平行，∴四边形ABCD是梯形．2．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量eq\o(OA,\s\up6(→))相等的向量有几个(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]依据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量eq\o(OA,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，共3个．3．(2024·广西玉林中学模拟)设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(DA,\s\up6(→))＋2eq\o(EB,\s\up6(→))＋3eq\o(FC,\s\up6(→))＝(D)A．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))[解析]∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＋2eq\o(EB,\s\up6(→))＋3eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋2×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋3×eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).4.(2024·四川成都七中一诊)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，则(B)A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上[解析]∵2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，∴2eq\o(OP,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，即2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选B.5．(2024·甘肃诊断)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4eq\o(CD,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(B)A．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋e