高等数学（第二版）课件：函数的极值与最值

高等数学（第二版）一、函数的极值二、最值问题函数的极值和最值微分中值定理及导数的应用一、函数的极值定义1设函数在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任意一点(

)恒有或，则称点为的极大值点（或极小值点），而为函数的极大值（或极小值）。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。显然，极值是局部性概念，它只是在局部范围内（即在该点的邻域内）达到最大或最小，未必是区间上的最大（或最小）值。从图象中还可看到，函数取得极值处，曲线的切线是水平的，但曲线上有水平切线处却未必取得极值。注意：是为极值点的必要条件而非充分条件。我们称使的点为函数的驻点。即对可导函数而言，极值点一定是驻点，但驻点未必是极值点。定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，则。另外，函数在不可导的点处也可能取得极值，例如在处不可导，但函数在该点取极小值。定义2如果函数在定义域的某一点处满足或该点处一阶导数不存在，则我们称该点为函数的临界点。由此，我们可以得到如下结论：函数的极值点必定是函数的临界点；但临界点却不一定是函数的极值点。（2）当时，，而当时，，则函数在点处取得极小值；（3）当，或时不变号，则在点处无极值。（1）当时，，而当时，，则函数在点处取得极大值；定理2（一阶充分性条件）设函数在点的某去心邻域内连续并可导，（1） 如果在处从负变到正，则为的极小值点，为的极小值。（2） 如果在处从正变到负，则为的极大值点，为的极大值。当为函数的临界点时，有（3） 如果在处两边正负号相同，则在处没有极值。例1

求函数的单调增减区间和极值。解：函数的定义域为，其一阶导数为令，得，不存在的点，临界点为：，。其把定义域划分成若干个区间，其结果列表定理3（二阶充分性条件）设函数在点处，，则（1） 当时，函数在点处取得极大值；（2） 当时，函数在点处取得极小值。例2

求的极值。解：由于令得驻点为，，而得故是极大值，是极小值。例3

求函数的极值。由于解：令,得驻点为，，，而得所以在处取得极小值。当时，，当时，，由定理2得出在处无极值。同理，在处也无极值。此外，由于，综上所述，我们可以把求函数极值的步骤归纳如下：（1）由导数求出在定义域内的临界点；（2）通过应用极值存在的一阶充分条件或二阶充分条件，确定上述点是否为极值点。若是的话，确定是极大还是极小值点；(3)求出各极值点处的函数值，从而求得的全部极值。二、最值问题在工农业生产，工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，如何使“投入最少，产出最多，成本最低，收益最高，利润最大”等等。这些问题反映在数学上就是求某一函数（目标函数）的最大值或最小值问题（这里简称为求最值问题）。

最值是个全局性的概念，它有别于极值，最值是函数在所考虑的区间上全部函数值中的最大值或最小值。而极值是函数某点邻域内的最值。一般说来，闭区间上的连续函数的最值，可以由以下两个方面取得：它们可以在闭区间内部取得，此时这个最大值或最小值同时是极大值或极小值，也就是在内的驻点或不可导点；另外它们有可能在区间的端点处取得。由此，我们把求函数在闭区间上的最值的方法归纳如下：(1)求出在闭区间上的所有驻点和导数不存在的点；(3)对上述函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。(2)求出上述诸点及端点的函数值；(2)如果连续函数在区间内有且仅有一个极大值，则此极大值就是在上的最大值。同样，如在内有且仅有一个极小值，则该极小值就是在上的最小值。特殊地，(1)如果函数在上单调增加（或单调减少）则是在上的最小值（或最大值），是在上的最大值（或最小值）。(3)实际问题的应用中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数确有最大值或最小值，而且一定在区间内部取得，这时如果在定义区间内部只有惟一驻点，则立即可断定就是最大或最小值。解：令，解得，，比较三个函数值，得出在