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《2、对称性》知识清单双曲线的对称性知识清单一、双曲线关于坐标轴和原点对称1、关于x轴和y轴对称对于双曲线方程$＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1$（这里$a\gt0$，＄b\gt0$），如果点$（x,y)＄在双曲线上，那么点$（x,y)＄和$（x,y)＄也在双曲线上。这就说明双曲线关于x轴和y轴对称。比如说，有双曲线方程$＼frac{x^｛2}｝｛4}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1$，当$x＝2$，＄y＝3$满足方程，那么$x＝2$，＄y=－3$以及$x=－2$，＄y＝3$也满足方程。2、关于原点对称如果点$（x,y)＄在双曲线上，那么点$（x,y)＄也在双曲线上。还是以双曲线方程$＼frac{x^｛2}｝｛4}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1$为例，当$x＝2$，＄y＝3$满足方程，那么$x=－2$，＄y＝3$也满足方程。这就表明双曲线关于原点对称。二、对称中心是原点1、定义双曲线的对称中心就是原点$（0,0)＄。因为双曲线关于x轴、y轴和原点都对称，所有的对称线和对称点都围绕着原点，所以原点就是双曲线的对称中心。2、在解题中的应用当我们知道双曲线的一部分性质或者点的坐标时，利用其关于原点对称的性质，可以快速得到双曲线另一部分的信息。例如，已知双曲线一支上一点的坐标，我们可以根据对称中心是原点，得到另一支上对称点的坐标。三、对称轴是坐标轴1、x轴和y轴为对称轴对于双曲线$＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1$，x轴和y轴就是它的对称轴。这意味着双曲线沿着x轴或者y轴对折后，双曲线的两部分能够完全重合。2、在研究双曲线性质中的作用在求双曲线的顶点、焦点等重要点的坐标时，对称轴起到了关键的定位作用。双曲线的顶点就在对称轴上，对于$＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1$，顶点坐标为$（±a,0)＄就在x轴上。四、习题1、已知双曲线方程为$＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1$，点$P(3,4)＄在双曲线上，那么点$P$关于x轴对称的点$P_1$的坐标是多少？这个点是否在双曲线上？解：点$P(3,4)＄关于x轴对称的点$P_1$的坐标为$（3,4)＄。把$x＝3$，＄y=－4$代入双曲线方程$＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1$中，左边$＝＼frac{3^｛2}｝｛9}＼frac{（－4)＾｛2}｝｛16}＝11＝0$，右边$＝1$，等式成立，所以点$P_1$在双曲线上。2、对于双曲线$＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛25}＝1$，如果点$A(m,n)＄在双曲线上，那么点$A$关于原点对称的点$A'＄的坐标是什么？解：点$A(m,n)＄关于原点对称的点$A'＄的坐标为

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