专题5.3 诱导公式（解析版）

专题5.3诱导公式1．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α（k∈Z）π+α−απ−α−α+α正弦sinα−sinα−sinαsinαcosαcosα余弦cosα−cosαcosα−cosαsinα−sinα正切tanαtanα−tanα−tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限2．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．3．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．4．利用诱导公式化简三角函数式的思路（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式．5．利用诱导公式化简三角函数式的2个要求（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．6．巧用相关角的关系、简化解题过程常见的互余关系：与，与，与等；常见的互补关系：与，与等.7．与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：,，等，于是可得，等．一、单选题1．已知，则的值是A． B．C． D．【试题来源】山西省朔州市怀仁一中云东校区2019-2020学年高一下学期期中【答案】A【分析】结合诱导公式五化简求值即可．【解析】因为sin，所以cos=cos=．故选A．2．的值为A． B．C． D．【试题来源】河南省商开大联考2020-2021学年高一下学期期末考试【答案】D【分析】利用诱导公式求得正确结论．【解析】结合题意得到．故选D3．计算的值为A． B．C． D．【试题来源】广西桂林市普通2021-2022学年高二10月月考数学测试题【答案】A【分析】由诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解．【解析】，故选A．4．的值为A． B．C． D．【试题来源】人教B版（2019）必修第三册学习帮手第七章【答案】C【分析】直接用诱导公式可求解．【解析】，故选C5．已知，则A．a B．-aC． D．不确定【试题来源】2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）【答案】B【分析】用诱导公式求解即可．【解析】因为，所以，故选B6．已知，则A． B．C． D．【试题来源】重庆市第一中学2022届高三上学期第二次月考【答案】D【分析】直接利用诱导公式计算得到答案．【解析】．故选D．7．的值是A． B．C． D．【试题来源】四川省广安市广安代市中学校2021-2022学年高一上学期11月月考【答案】C【分析】根据诱导公式即可求出．【解析】．故选C．8．已知，则A．0 B．mC．-m D．不确定【试题来源】上海市西南高级中学2020-2021学年高一下学期3月月考【答案】C【分析】利用诱导公式求解即可．【解析】．故选C9．若，则A． B．C． D．【试题来源】河北省省级联测2022届高三上学期第一次考试【答案】D【分析】对角进行整体配凑，利用诱导公式转化为已知条件求解．【解析】．故选．10．已知，则A． B．C． D．【试题来源】北师大版（2019）必修第二册金榜题名第一章【答案】B【分析】根据，利用诱导公式得到，再利用平方关系和商数关系求解．【解析】因为，所以，，所以，故选B11．A． B．C． D．【试题来源】江西省九江第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试【答案】C【分析】利用余弦函数的诱导公式，结合特殊角的余弦函数值进行求解即可．【解析】．故选C12．已知，则A． B．C． D．【试题来源】江西省九江第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试【答案】B【分析】首先求出与之间的关系，然后利用诱导公式求解即可．【解析】因为，，所以由诱导公式可得，，故选B．13．若，则A． B．C． D．【试题来源】江苏省南通市海安高级中学2021-2022学年高二上学期期中模拟【答案】C【分析】根据诱导公式可求出，即可求出，再利用诱导公式和商数关系即可求出．【解析】若，则，所以．故选C．14．已知4sin3cos＝0，（，π），则A． B．C． D．【试题来源】广西普通高中2022届高三10月大联考【答案】D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得，结合诱导公式求得正确结论．【解析】依题意，为钝角，，所以．故选D15．sin600°＋tan240°的值为A． B．C． D．【试题来源】黑龙江省八校2021-2022学年高三上学期期中联合考试【答案】C【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得答案．【解析】sin600°＋tan240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin120°＋tan60°＝－＋＝．故选C．16．sin

·cos

·tan的值为A． B．C． D．【试题来源】备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【答案】A【分析】根据三角函数的诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得答案．【解析】原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－．故选A．17．化简：的值为A． B．C． D．【试题来源】备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【答案】B【分析】运用同角三角函数间的基本关系和三角函数的诱导公式化简可得答案．【解析】原式＝＝＝＝－1．故选B．18．已知角的终边与单位圆的交点，则A． B．C． D．【试题来源】新疆新和县实验中学2020-2021学年高二下学期期末考试【答案】C【分析】首先根据三角函数的定义求得，然后根据诱导公式求得正确结果．【解析】依题意，．故选C19．若，则A． B．C． D．【试题来源】辽宁省渤海大学附属高级中学2021-2022学年高三上学期期中【答案】D【分析】依题意根据利用诱导公式计算可得；【解析】由题意得．故选D．20．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于一点，则A． B．C． D．【试题来源】北京市对外经济贸易大学附属中学2022届高三10月月考【答案】A【分析】根据点在单位圆上，可求得的值，进而可求得角，再根据诱导公式即可求解．【解析】因为点在单位圆上，所以，解得，所以为单位圆与轴非负半轴的交点，所以，所以，故选A．21．定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”已知，下列角中，不可能与角“广义互余”的是A． B．C． D．【试题来源】安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高三上学期段一测试【答案】B【分析】首先利用诱导公式求出，进而根据“广义互余”的概念求出，然后结合同角的基本关系求出和的值，然后逐项分析判断即可．【解析】因为，则，即，若与“广义互余”，则，即，故，即，若在第一象限，则，；若在第四象限，则，；AC选项显然正确；B选项，即，故B错误；D选项，故D正确；故选B22．若，则的值为A．或 B．C． D．或【试题来源】北京市玉渊潭中学2022届高三10月月考【答案】A【分析】利用诱导公式得到，再根据余弦函数计算可得；【解析】，，，或，，，或故选A．23．下列四个选项，错误的是A．点P(tanα，cosα)在第三象限，则α是第二象限角．B．若三角形的两内角A，B，满足sinAcosB＜0，则此三角形必为钝角三角形C．sin145°cos(－210°)＞0．D．sin3·cos4·tan5＞0．【试题来源】2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）【答案】C【分析】根据三角函数的相关知识，对每个选项逐一分析即可．【解析】对于A选项，点P(tanα，cosα)在第三象限，即，所以是第二象限角，故A正确；对于B选项，当时，，由sinAcosB＜0得cosB＜0，因为，所以为钝角，故B正确；对于C选项，，故C错误；对于D选项，，，，所以sin3·cos4·tan5＞0，故D正确．故选C24．若为角终边上一点，则A． B．C． D．【试题来源】北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2022届高三10月阶段检测【答案】A【分析】先通过三角函数的定义求出的余弦值，进而通过诱导公式得到答案．【解析】因为为角终边上一点，所以，所以．故选A．25．已知，则A． B．C． D．【试题来源】河南省中原名校2021-2022学年高三上学期第二次联考【答案】A【解析】因为，所以，故．故选A．26．已知的终边上有一点，则=A． B．C． D．【试题来源】浙江省杭州市桐庐中学2021-2022学年高一创新班上学期10月阶段性测【答案】C【分析】根据正弦函数定义求得，再由诱导公式求解．【解析】由题意，所以．故选C．27．若，且，则A． B．C． D．【试题来源】江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期教学质量调研（一）【答案】D【分析】根据同角三角函数关系，结合的范围，可求得的值，根据诱导公式，即可得答案．【解析】因为，且，所以，所以．故选D28．若，则A． B．C．4 D．【试题来源】甘肃省静宁县第一中学2020-2021学年高一（实验班）下学期第一次月考【答案】D【分析】由运用诱导公式可选项．【解析】因为．所以，故选D．29．设，其中a，b，，若，则A．4 B．3C．－5 D．5【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第5章【答案】C【分析】利用诱导公式可得，再由诱导公式求出；【解析】因为，所以．所以．故选C30．若，则A． B．C．2 D．3【试题来源】重庆市2021-2022学年高二上学期期中【答案】B【分析】由诱导公式化简再结合同角三角函数基本关系即可求解．【解析】由，得，则，故选B．31．已知，则A． B．C． D．【试题来源】黑龙江省八校2021-2022学年高三上学期期中联合考试【答案】B【分析】利用诱导公式和商数关系即可求解．【解析】，故，故选B．32．已知，则A． B．C． D．【试题来源】河南名校联盟2021-2022学年高二上学期期中考试【答案】B【分析】由诱导公式和同角关系可化为，再由同角关系由求出，由此可得结果．【解析】因为，所以，则，故选B．33．已知，则A． B．C． D．【试题来源】广东省深圳市龙岗区2022届高三上学期期中质量监测【答案】A【分析】从整体角度出发，令，寻找与的关系，结合诱导公式化简即可．【解析】令，则，则，故．故选A34．A． B．C． D．【试题来源】河南名校联盟2021-2022学年高二上学期期中考试【答案】A【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系，即得解【解析】由题意，，故选A35．当，若，则的值为A． B．C． D．【试题来源】江西省赣州市十六县（市）十七校2022届高三上学期期中联考【答案】B【分析】利用诱导公式和平方关系求解．【解析】因为，所以，因为，所以，所以，故选B36．若，则的值为A．或 B．C． D．或【试题来源】黑龙江省龙东地区四校2021-2022学年高三上学期联考【答案】A【分析】利用诱导公式得到，再根据余弦函数性质可得的值；【解析】因为，，，或，，，或，故选A．37．若，，则A． B．C． D．【试题来源】浙江省杭州市淳安县汾口中学2020-2021学年高二下学期返校考试【答案】B【分析】由可判断出，求出，再利用诱导公式求解即可．【解析】，，故选B【名师点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的应用，熟练掌握基本关系式解题的关键，属于基础题．38．当时，若，则的值为A． B．C． D．【试题来源】江苏省南通市海安高级中学2021-2022学年高二上学期期中模拟【答案】B【分析】先确定的取值范围，再由同角三角函数的平方关系求得的值，然后根据诱导公式，得解．【解析】因为，所以，所以，所以．故选B39．若，则A． B．C． D．1【试题来源】湖北省荆门外语学校2019-2020学年高一下学期6月月考【答案】D【分析】先通过诱导公式求出，进而进行弦化切变形，代入的值，最后得到答案．【解析】由，则．故选D．40．已知，则＝A．-7 B．C． D．5【试题来源】内蒙古海拉尔第二中学2021-2022学年高三上学期第一次阶段考【答案】D【分析】先通过诱导公式对等式进行化简，进而弦化切求出正切值，然后对所求式子进行弦化切，最后得到答案．【解析】由题意，，则．故选D．二、多选题1．已知函数，则以下结论恒成立的是A． B．C． D．【试题来源】备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）【答案】ACD【分析】利用诱导公式逐个验证即可得答案【解析】对于A，B，，所以A正确，B错误；对于C，，所以C正确；对于D，因为，，所以，所以D正确，故选ACD2．已知，则下列等式恒成立的是A． B．C． D．【试题来源】2021-2022学年高一数学同步单元AB卷（人教A版2019必修第一册）【答案】AB【分析】利用诱导公式可判断各选项的正误．【解析】，，，，故选AB．3．下列选项中正确的是A． B．C． D．【试题来源】吉林省磐石一中、伊通一中、梅河口五中、四平一中等2020-2021学年高一上学期期末考试【答案】BCD【分析】利用诱导公式一一验证即可；【解析】，故A不正确；，故B正确；，故C正确；，故D正确．故选BCD4．设角，，为的三个内角，则无论三角形的形状如何变化，下列各式的值为常数的有A． B．C． D．【试题来源】安徽省马鞍山市第二中学2020-2021学年高一上学期第二次阶段性测试【答案】BD【分析】根据，结合诱导公式，同角三角函数关系依次讨论各选项即可得答案．【解析】对于A选项，，易知当三角形的形状变化时，不为常数，故A选项错误；对于B选项，，故B选项正确；对于C选项，，显然当三角形的形状变化时，不为常数，故C选项错误；对于D选项，，故D选项正确．故选BD【名师点睛】本题考查诱导公式化简，解题的关键在于根据三角形内角和定理得，再依次讨论求解，考查运算求解能力，是基础题．5．在三角形中下列结论正确的是A． B．C． D．【试题来源】【新东方】在线数学37【答案】AC【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案．【解析】由题意知，在三角形中，，对A选项，，故A选项正确；对B选项，，故B选项错误；对C选项，，故C选项正确；对D选项，，故D选项错误．故选AC．6．已知，则A． B．C． D．1【试题来源】福建省厦门市2020-2021学年高一上学期期末考试【答案】ABD【分析】由诱导公式和商数关系可得．【解析】因为，所以，若，则或，若，则．故选ABD．7．下列说法中正确的是A．若，则 B．C．若，则 D．若，则【试题来源】海南省三亚华侨学校2020-2021学年高一下学期返校考试【答案】AB【分析】根据角所在象限判断A，由诱导公式判断B，C，根据正弦值相等分析角的终边来判定D．【解析】因为是第二象限角，所以，故A正确；由，故B正确；，当为奇数时，可得，故C不正确；时，终边可能相同，满足，也可能关于轴对称，不满足，故D错误．8．在平面直角坐标系中，若角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为，则下列结论正确的为A． B．C． D．【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高一下学期期初【答案】ABD【分析】根据三角函数定义求得，由同角间的三角函数关系得、，再由诱导公式得，可判断各选项．【解析】由题意，在第一象限，则，，，，，可得ABD正确，C错误．故选ABD．9．已知角，满足，则下列结论正确的是A． B．C． D．【试题来源】广东省深圳市南头中学2020-2021学年高一下学期期末【答案】AD【分析】由诱导公式判断．【解析】因为，所以，，，，．BC错，AD正确．故选AD．10．已知，则下列式子恒成立的是A． B．C． D．【试题来源】重庆市杨家坪中学2020-2021学年高一上学期1月月考【答案】AC【分析】根据三角函数的诱导公式，逐项判定，即可求解．【解析】由，所以A正确；由，所以B不正确；由，所以C正确；由，所以D不正确．故选AC．11．在中，下列关系式恒成立的有A． B．C． D．【试题来源】2021年高考数学三轮冲刺过关【答案】AD【解析】对A：，故A正确；对B：，故B错误；对C：，故C错误；对D：，故D正确．故选AD12．已知，下列结论正确的是A． B．C． D．【试题来源】辽宁省朝阳市建平县实验中学2020-2021学年高一下学期期末【答案】BD【分析】利用平方关系式可得，利用诱导公式计算可得，，．【解析】由，可得，，，．故选BD13．下列选项正确的是A．B．C．若终边上有一点，则D．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为【试题来源】河北省部分学校2022届高三上学期第一次月考【答案】AB【分析】根据诱导公式，弧度制与角度制的转化公式，以及三角函数的定义，扇形面积公式，即可判断选项．【解析】，故A正确；，故B正确；若终边上有一点，则，故C不正确；若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径为，面积为，故D不正确．故选AB14．下列等式成立的是A． B．C． D．【试题来源】浙江省名校协作体2021-2022学年高二上学期开学考试【答案】CD【分析】结合特殊角的三角函数值以及诱导公式逐项分析即可求出结果．【解析】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D正确，故选CD．15．如果，那么下列等式中不成立的是A． B．C． D．【试题来源】北师大版（2019）必修第二册金榜题名进阶篇【答案】ACD【分析】根据诱导公式依次讨论各选项即可得答案．【解析】因为，所以对于A选项，，故A选项错误，B选项正确；对于C选项，，故C选项错误，对于D选项，由于，所以，显然不一定成立，故D选项错误．故选ACD16．已知，则的可能取值为A． B．C． D．【试题来源】北师大版（2019）必修第二册金榜题名进阶篇【答案】AC【分析】利用诱导公式以及同角三角函数关系式即可【解析】，，则为第二或第三象限角，当为第二象限角时，，；当为第三象限角时，，；故选AC．17．已知角满足，则表达式的取值可能为A．-2 B．-1或1C．2 D．-2或2或0【试题来源】2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）【答案】AC【分析】讨论为奇数和为偶数两种情况利用诱导公式化简可求．【解析】当为奇数时，原式；当为偶数时，原式．所以原表达式的取值可能为或2．故选AC18．在平面直角坐标系中，若角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为A． B．C． D．Q的坐标为【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第5章【答案】ABD【分析】根据任意角的三角函数的定义可得，根据同角三角函数的基本关系求出，，再利用诱导公式计算可得；【解析】由题意知，角的终边在第一象限，则，所以，A正确．由题意知，所以，，，即Q点的坐标为，所以可得B，D正确，C错误．故选ABD．19．定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是A． B．C． D．【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第5章【答案】ACD【分析】利用诱导公式可得，即可得到，再结合定义及诱导公式一一判断即可；【解析】因为，所以，．若，则．对于A，可能成立，角可能与角“广义互余”，故A符合条件；对于B，，故B不符合条件；对于C，，即，又，故，即C符合条件；对于D，，所以，故D符合条件．故选ACD．20．已知角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”若，则下列角中，可能与角“广义互余”的有A． B．C． D．【试题来源】广东省阳春市第一中学2022届高三上学期10月月考【答案】AC【分析】由题可得，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可．【解析】若与广义互余，则，即．又由，可得．对于A，若与广义互余，则，由可得与可能广义互余，故A正确；对于B，若与广义互余，则，由可得

，故B错误；对于C，综上可得，，所以，由此可得C正确，D错误．故选AC．三、填空题1．已知，则___________．【试题来源】四川省遂宁市射洪中学2021-2022学年高三上学期第一次月考【答案】【分析】由于，所以利用诱导公式直接求解即可【解析】因为，所以，故答案为2．若角的终边经过点，则___________．【试题来源】上海市行知中学2022届高三上学期10月月考【答案】【分析】先由已知求出的值，再利用诱导公式对化简可得答案【解析】因为角的终边经过点，所以，所以，故答案为3．___________．【试题来源】人教B版（2019）必修第三册学习帮手模块检测【答案】1【分析】直接利用诱导公式化简计算．【解析】直接由诱导公式可得故答案为14．若，则___________．【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期高考适应性月考（三）【答案】【分析】利用诱导公式化简可得的值．【解析】利用诱导公式得．故答案为．5．若，则___________．【试题来源】上海市控江中学2021届高三上学期12月月考【答案】【分析】由诱导公式求解即可．【解析】故答案为6．已知角的终边上有一点，则___________．【试题来源】四川省资中县第二中学2021-2022学年高三上学期10月月考【答案】【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式可求得结果．【解析】由三角函数的定义可得，因此，．故答案为．7．已知，则___________．【试题来源】上海市洋泾中学2021-2022学年高二上学期期中【答案】【分析】直接利用诱导公式计算可得．【解析】因为，所以故答案为．8．的值为___________．【试题来源】北京市第十五中学2022届高三上学期期中考试【答案】【分析】利用诱导公式即得．【解析】因为所以的值为．故答案为．9．若角的终边过点，则___________．【试题来源】北京市房山区良乡中学2022届高三上学期期中考试【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解析】角的终边过点，，，，，则，故答案为．10．若函数，则的值为___________．【试题来源】河南省商开大联考2020-2021学年高一下学期期末