数学高二-直线与圆的最值问题专练（原卷版）-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考）

专题2-3直线与圆的16类最值问题全归纳求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化，今天我们一起来学习一下直线与圆相关最值问题的所有题型！总览总览题型解读【题型1】点到含参直线距离最值 2【题型2】过定点的弦长最短 3【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围 5【题型4】点圆型最值问题 7【题型5】斜率型最值问题 9【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数（教材原题改编） 12【题型7】与基本不等式结合求最值 19【题型8】隐圆型最值问题 24【题型9】阿氏圆 28【题型10】与切点弦有关的最值问题 35【题型11】过定点的弦与圆心所围成的三角形面积最值 41【题型12】半圆与直线交点问题 47【题型13】三角换元求最值 51【题型14】圆的轨迹类问题 52【题型15】点到直线距离公式为背景的最值问题 57【题型16】张角最大问题 64题型题型汇编知识梳理与常考题型【题型1】点到含参直线距离最值点P到含参直线l距离最大值即P点到定点A的距离如图，直线l绕定点A旋转，易知点到直线距离的最大值为A．1 B． C． D．2【巩固练习】已知直线l方程为，那m为时，点到直线l的距离最大，最大值为【题型2】过定点的弦长最短设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为已知直线和圆交于两点，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【巩固练习1】过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是．【巩固练习2】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度最小值为.【巩固练习3】（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（

）A． B． C． D．【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系已知点和圆的一般式方程：（），则点与圆的位置关系：①点在外②点在上③点在内注意：做题时不要漏掉这个不等式若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．【巩固练习1】若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】若点在圆外，则实数的取值范围为.【巩固练习3】过点可以向圆引两条切线，则的范围.【题型4】点圆型最值问题圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线距离的最小值减去半径若实数满足，则的最大值是．【巩固练习1】若点在圆上，则的最小值为.【巩固练习2】若点是圆:上一点,则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【巩固练习3】已知圆，点与，为圆上动点，当取最大值时点坐标是．【题型5】斜率型最值问题形如的最值问题，可转化为点与定点的动直线斜率的最值问题已知实数，满足方程，求的最大值和最小值（24-25高二上·江西上饶·开学考试）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（

）A．B． C． D．若点在曲线：上运动，则的最大值为.【巩固练习1】（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（

）A．B．C． D．【巩固练习2】如果实数，满足，则的范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习3】已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是，的范围是.【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数（教材原题改编）教材原题改编：选择性必修第一册第99页圆心C到直线1的距离为d，圆C上的动点P到直线的距离为d'，则(1)直线与圆有公共点时，此时d≤r①当d'＞d＋r(d≤r)时，点P个数为0②当d'＝d＋r(d≤r)时，点P个数为1③当r－d＜d'＜r＋d(d≤r)时，点P个数为2④当d'＝r－d(d≤r)时，点P个数为3⑤当0＜d'＜r－d(dsr)时，点P个数为4(2)当直线与圆无公共点时，此时d＞r①当d'＜d－r(d＞r)时，点P个数为0②当d'＝d－r(d＞r)时，点P个数为1③当d－r＜d'＜d＋r(d＞r)时，点P个数为2已知点在圆上，点，．求点到直线距离的最大值（多选）在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则实数的取值可能是（

）A． B． C． D．若圆上有且仅有两个点到直线的距离为5，则的取值范围是.已知圆C：，直线l：，若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1，则m的取值范围是．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是【巩固练习1】（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（

）A．6 B． C． D．【巩固练习2】已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为.【巩固练习3】在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为．【巩固练习4】若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径R的取值范围是．【巩固练习5】设圆：上有且仅有两个点到直线的距离等于,则圆半径的取值范围是.【巩固练习6】已知直线，圆，圆上恰有4个点到直线的距离为1，则b的取值范围为．【题型7】与基本不等式结合求最值基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积）常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和）若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为______.设直线的方程为，若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为，此时直线方程为．（2024·安徽·模拟预测）已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（

）A． B． C． D．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【巩固练习1】过点的动直线和过点的动直线交于点（点异于、，且，则的最大值是A． B．5 C． D．【巩固练习2】过点的直线，求与x,y正半轴相交，交点分别是A、B,当△AOB面积最小时的直线方程.【巩固练习3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）若圆被直线平分，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．【巩固练习4】已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线，，切点分别为，若，则的最大值为（

）A． B．3 C． D．6【巩固练习5】（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知直线，圆，当圆心到直线的距离最小时，圆的周长为（

）A． B． C． D．【巩固练习6】（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为.【题型8】隐圆型最值问题一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类) 设点，，直线，于点，则的最大值为.已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（

）A． B． C． D．（23-24高二上·湖南·期中）设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，的最小值为．【巩固练习1】已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为.【巩固练习2】已知直线：，：，，若和交于点，则的最大值是.【巩固练习3】已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型9】阿氏圆借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值.【模型解读】如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知R＝OB，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使，则可说明△BPO与△PCO相似，则有。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA＋PC”值最小。（23-24高二上·福建龙岩·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．3（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知点、，直线上存在点，使得，则实数的取值范围是．（23-24高三上·河北沧州·期末）已知，Q为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为.已知圆：和点，点，为圆上动点，则的最小值为．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【巩固练习1】（23-24高二上·山东泰安·期中）已知O为坐标原点，A，B均在直线上，，动点P满足，则的最小值为．【巩固练习2】在平面直角坐标系中，已知点，.若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【巩固练习3】已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为.【巩固练习4】已知半径为的圆C的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．(1)求圆的标准方程．(2)已知，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，若点，试求的最小值.

【题型10】与切点弦有关的最值问题1、切点弦方程（二级结论）：圆外一点向圆作切线，两个切点A,B的连线方程为（类似的其余圆锥曲线都有此类方程）2、双切线性质：OP⊥l时候①切线长最小②切点四边形面积最小③切点弦AB最短④切线夹角最大⑤AB平行l3、切点弦的方程的常规求法：如图，易知PAOB四点共圆，且PO为圆的直径，而AB为两圆的公共弦古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，，则满足的动点的轨迹记为圆.(1)求圆的方程；(2)过点向圆作切线，，切点分别是，，求直线的方程.（高二下·浙江温州·期末）已知圆：，点P为直线上一动点，过点P向圆引两条切线，，A，B为切点，则线段长度的最小值为（

）A． B． C．4 D．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为.【巩固练习1】（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（高二上·湖北黄石·期末）已知点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点分别为、，则直线恒过定点，四边形面积的最小值.【巩固练习3】（23-24高二上·辽宁·期末）已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为，直线的方程为.【题型11】过定点的弦与圆心所围成的三角形面积最值当圆心角为90°时，面积有最大值，此时圆心到直线的距离为，注意验证圆心到直线的距离是否可以取已知直线与圆交于两点M，N，当面积最大时，斜率k值为（

）A． B． C． D．已知圆关于直线对称，且在圆上.(1)求圆C的标准方程；(2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.【巩固练习1】已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】已知直线与圆，，交于，两点，若的面积的最大值为，求此时．【巩固练习3】已知圆，直线.(1)求证：直线l与圆C恒有两个交点；(2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.【巩固练习4】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，且直线过定点.（1）求点的轨迹方程，并说明它是什么图形；（2）记（I）中求得的图形的圆心为：（i）若直线与圆相切，求直线的方程；（ii）若直线与圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．【题型12】半圆与直线交点问题一、半圆方程例：化简曲线移项后两边平方得，通过方程看曲线是整圆，但要满足的条件所以曲线其实是右半圆.

这就提醒我们,比如：“两边平方”、“分式化整”、“实际问题情境”等，要留意是否恒等变形.二、观察交点个数观察动直线是斜率为定值还是直线过定点.当直线斜率为定值时，此直线在平移的过程中，利用图形，抓关键点，什么时候是有一个和两个公共点，相交相切位置要清楚，然后利用点到直线的距离与半径的不等关系得出参数的范围.当直线恒过定点时，直线在旋转，方法和平移类似，抓关键点和位置直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．若曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是.【巩固练习1】直线与半圆有两个交点，则的值是．【巩固练习2】若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是.【巩固练习3】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是.【题型13】三角换元求最值圆的参数方程已知实数，满足，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【巩固练习1】若x，y满足，则的最大值为________【巩固练习2】已知实数，满足方程．（1）求的最大值和最小值（2）求的最大值和最小值．【题型14】圆的轨迹类最值问题求与圆有关轨迹方程的常用方法1．定义法当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．2．直译法直接将题目条件翻译成代数方程，求解轨迹方程．3．直接法当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．4．几何法利用图形的几何性质，确定等量关系，设点、列式，求解轨迹方程．5．代入法(或相关点法)当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是．已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为已知与相交于点线段是圆的一条动弦，且则的范围为【巩固练习1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．【巩固练习2】已知定点，圆，M，N为上的动点，满足，则的取值范围为.【巩固练习3】已知直线l：与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，则直线CD恒过定点坐标为；记M是CD的中点，则的最小值为.【题型15】点到直线距离公式为背景的最值问题对于这类式子，可以利用点到直线距离的几何意义，把问题转化为为到直线距离（23-24·浙江宁波·期末）实数满足，则的最小值为（

）A．3 B．7 C． D．（2024·湖南岳阳·二模）已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（

）A．16 B．12 C．8 D．4已知实数满足，，，则的最大值是.（22-23高二上·四川南充·期中）对于圆上任意一点，的值与，无关，则的范围为（

）A． B．C． D．【巩固练习1】（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）已知满足，则的最小值为.【巩固练习2】点在曲线上，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【巩固练习3】已知圆上两点，，O为坐标原点，若，则的最大值是（

）A．8 B． C． D．12【