2025年春华师版九年级数学下册 第27章综合测试卷

年春华师版九年级数学下册第27章综合测试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．[2024合肥第四十一中三模]已知点A在半径为3的⊙O上，如果点A到直线a的距离是6，那么⊙O与直线a的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．以上答案都不对2．在△ABC中，AB＝AC＝8，cosB＝eq\f(1,4)，以点C为圆心，半径为6的圆记作⊙C，那么下列说法正确的是()A．点A在⊙C外，点B在⊙C上B．点A在⊙C上，点B在⊙C内C．点A在⊙C外，点B在⊙C内D．点A、B都在⊙C外3．[2024聊城东昌府区模拟]如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连结AC，AD，BD，若∠ADC＝40°，∠BPC＝70°，则∠C＝()A．20°B．25°C．30°D．35°4．如图，以O为圆心的eq\o(MN,\s\up8(︵))，C、D三等分eq\o(MN,\s\up8(︵))，连结MN、CD，下列结论错误的是()A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN，则∠COD＝20°C．MN∥CDD．MN＝3CD5．[2024宿迁宿豫区三模]如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，若⊙O的半径为6，则四边形ACDF的周长是()A．6＋6eq\r(3)B．12＋6eq\r(3)C．12＋12eq\r(3)D．6＋12eq\r(3)6.如图①是小明制作的弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图②所示的圆弧AB(eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圆的圆心为O)，弓弦部分AB的长为4dm，点D是弓臂eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，OD交AB于点C，D、C两点之间的距离为1dm，则弓臂eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圆的半径为()A．2dmB．2.5dmC．3dmD．4dm7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，以边BC为直径作⊙O，与线段CA、BA的延长线分别交于点D、E，则eq\o(DE,\s\up8(︵))的长为()A．3πB．2πC.eq\r(3)πD．2eq\r(3)π8.如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为()A．6B．5C．3D.eq\f(2\r(6),3)9．如图，将直尺、含60°角的直角三角尺和量角器按如图摆放，60°角的顶点A在直尺上的读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7,量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是()A．3B．3eq\r(3)C．6D．6eq\r(3)10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆的面积为S1，△ABC的面积为S2，则eq\f(S1,S2)的值是()A.eq\f(5π,2)B．3πC．5πD.eq\f(11π,2)二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11.如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为24πcm，高为16cm，则该吊灯外罩的侧面积是________cm2.(结果保留π)12．[2024合肥瑶海区校级模拟]如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连结OA，OC，分别交⊙O于E，D两点，点F是eq\o(MN,\s\up8(︵))上的一点，连结DF，EF，则∠EFD的度数是________．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，连结AC，以点C为圆心，CD长为半径作弧交BC于点E，连结AE.则图中阴影部分的面积为________．14.如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A(2，0)，B(0，1)，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象经过点C，则k的值为________．15.如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连结AD.现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°.其中正确的结论是____________(填序号)．三、解答题(共75分)16．(10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AB，DC交于点E，DE＝DA，若点C是eq\o(BD,\s\up8(︵))的中点，AB＝11，BC＝4，求AD的长．17．(10分)如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连结AC.(1)求∠B的度数；(2)若CE＝eq\r(3)，求⊙O的半径．18.(10分)如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连结CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连结EA，EB.(1)写出图中一个度数为30°的角：________，图中与△ACD全等的三角形是________；(2)连结OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．19．[2024秦皇岛山海关区一模](14分)如图，AB为⊙O的弦，CD为⊙O的直径，AB与CD相交于点E，连结AC，BC，BD，过点B作BF⊥AC于点F.(1)求证：∠ABF＝∠BCD；(2)当∠BCD＝∠ACD时，若AB＝6，∠ABD＝22.5°，求图中阴影部分的面积．20．[2024遂宁](14分)如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G.(1)求证：AF＝DF；(2)延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM，求证：AM是⊙O的切线．21.(17分)【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图①，线段MQ、QN组成折线段MQN.若点P在折线段MQN上，MP＝PQ＋QN，则称点P是折线段MQN的中点．【理解应用】(1)如图②，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO＝30°，则PB＝________.【定理证明】(2)阿基米德折弦定理：如图③，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线段ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，点M是eq\o(ABC,\s\up8(︵))的中点，从点M向BC作垂线，垂足为点D，求证：点D是折弦ABC的中点．【变式探究】(3)如图④，若点M是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

答案一、1.D2.C3.A4．D【点拨】如图，连结ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交eq\o(CD,\s\up8(︵))于点E.∵C，D三等分eq\o(MN,\s\up8(︵))，∴eq\o(CM,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴∠COM＝∠COD，故A选项结论正确；∵OM＝MN，OM＝ON，∴OM＝ON＝MN，∴△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°.又∵eq\o(CM,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DN,\s\up8(︵))，∴∠COD＝20°，故B选项结论正确；∵OE⊥CD，∴eq\o(CE,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∴eq\o(ME,\s\up8(︵))＝eq\o(NE,\s\up8(︵))，∴OE⊥MN.∴MN∥CD，故C选项结论正确；易知MC＋CD＋DN>MN，且MC＝CD＝DN，∴MN<3CD，故D选项结论错误．故选D.5．C6.B7．C【点拨】如图，连结OD、OE、OA，∵在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∴∠BOD＝∠COE＝60°，∴∠DOE＝60°.∵OB＝OC，∴AO⊥BC.∴在Rt△ABO中，OB＝AB·cos30°＝eq\f(\r(3),2)AB＝3eq\r(3).∴eq\o(DE,\s\up8(︵))的长为eq\f(60π×3\r(3),180)＝eq\r(3)π.故选C.8．C9.D10．C【点拨】如图，取AB的中点O，AC的中点D，连结OE，OG，OD，OC.设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2.∵△ABC是等腰直角三角形，∴OA＝OB＝OC，∴OC垂直平分AB.同理易得OD垂直平分AC，∴O为圆心，OD∥BC，∴∠ODC＝90°，OD＝eq\f(a,2).设圆O的半径为r，则由勾股定理得r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)，∵a＝b，∴a2＝eq\f(c2,2)，∴S1＝π·r2＝eq\f(5,4)πc2，S2＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(c2,4)，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(5,4)πc2÷eq\f(c2,4)＝5π.故选C.二、11.240π12.62.5°13．2＋eq\f(π,3)【点拨】如图，设AC与eq\o(DE,\s\up8(︵))交于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，∠B＝∠BCD＝90°，∴tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ACB＝30°.∴S阴影＝S△ACE＋S扇形DCE－2S扇形ECF＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(90×π×22,360)－2×eq\f(30×π×22,360)＝2＋eq\f(π,3).故答案为2＋eq\f(π,3).14.eq\f(9,4)【点拨】设半圆的圆心为D，连结CB，CA，过点C作CM⊥y轴于点M，CN⊥x轴于点N，∵点C为半圆的中点，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴BC＝AC.∵AB是直径，∴∠BCA＝90°.∵CM⊥y轴，CN⊥x轴，∴∠CMB＝∠CNA＝90°，又∵∠AOB＝90°，∴四边形OMCN为矩形，∴∠MCN＝90°，∴∠MCN－∠BCN＝∠BCA－∠BCN，即∠BCM＝∠ACN，∴△BCM≌△ACN，∴CM＝CN，BM＝AN，∴四边形OMCN是正方形．∵A(2，0)，B(0，1)，∴OA＝2，OB＝1，设正方形OMCN的边长为a，则2－a＝a－1，解得a＝eq\f(3,2)，∴点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2))).∵反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象经过点C，∴k＝eq\f(3,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(9,4).故答案为eq\f(9,4).15．①②③④【点拨】连结OC，OD，∵OC＝OD，CM＝DM，OM＝OM，∴△CMO≌△DMO，∴∠ODM＝∠OCM.∵MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∴∠ODM＝90°.又∵OD是⊙O的半径，∴MD与⊙O相切．故①正确；∵△CMO≌△DMO，∴∠COM＝∠DOM，∴∠AOC＝∠AOD.又∵OA＝OA，OC＝OD，∴△AOC≌△AOD，∴AC＝AD，∴AC＝AD＝CM＝DM，∴四边形ACMD是菱形，故②正确；∵AC＝CM，∴∠CAM＝∠CMA.∵∠COM＝2∠CAM，∴∠COM＝2∠CMO，∴∠CMO＝30°，∴OC＝eq\f(1,2)OM.又∵OC＝eq\f(1,2)AB，∴AB＝OM，故③正确；∵四边形ACMD是菱形，∴∠DAM＝∠DMA＝∠AMC＝∠CAM＝30°，∴∠ADM＝120°，故④正确．综上，正确的结论为①②③④.故答案为①②③④.三、16.【解】∵DE＝DA，∴∠E＝∠A.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠BCD＝180°，又∵∠BCE＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCE，∴∠E＝∠BCE，∴BE＝CB.∴AE＝AB＋BE＝11＋4＝15，∵点C是eq\o(BD,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴DC＝BC＝4.设AD＝ED＝m，则CE＝m－4，∵∠A＝∠BCE，∠AED＝∠CEB，∴△BCE∽△DAE，∴eq\f(AD,CB)＝eq\f(AE,CE)，即eq\f(m,4)＝eq\f(15,m－4)，解得m＝10或m＝－6(舍去)，∴AD的长为10.17．【解】(1)∵AE⊥BC，AE过圆心O，∴CE＝BE，∴AC＝AB，同理可得AC＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.∵CD⊥AB，AC＝BC，∴∠DCB＝eq\f(1,2)∠ACB＝30°，∴OC＝2OE.∵CE＝eq\r(3)，OC2＝OE2＋CE2，∴(2OE)2＝OE2＋(eq\r(3))2，解得OE＝1(负值已舍去)，∴OC＝2OE＝2，即⊙O的半径为2.18．【解】(1)∠1(答案不唯一)；△BCD(2)四边形OAEB为菱形．理由：∵CE为⊙O的直径，∴∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，易知∠1＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)CE.同理BE＝eq\f(1,2)CE.∵OA＝OB＝eq\f(1,2)CE，∴OA＝OB＝AE＝BE，∴四边形OAEB为菱形．19．(1)【证明】∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝90°.∴∠CBF＋∠DBF＝90°.∵BF⊥AC，∴∠BFC＝90°，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠DBF，即∠BCD＋∠ACD＝∠ABF＋∠ABD.∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABF＝∠BCD.(2)【解】∵∠BCD＝∠ACD，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵)).又∵CD为⊙O的直径，∴AB⊥CD.如图，连结OB，∵∠ABD＝22.5°，∴易得∠BOD＝2∠ABD＝45°.∵CD⊥AB，AB＝6，∴BE＝eq\f(1,2)AB＝3，∠EBO＝90°－45°＝45°，∴OE＝BE＝3，∴OB＝eq\r(2)BE＝3eq\r(2).∴图中阴影部分的面积为S扇形BOD－S△OBE＝eq\f(45π×(3\r(2))2,360)－eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9π,4)－eq\f(9,2).20．【证明】(1)如图，连结AD，设OD交AC于点I，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD.∵点D是eq\