大学应用物理第八章习题答案

第八章磁场8-1一个静止的点电荷能在它的周围空间任一点激起电场；一个线电流元是否也能够在它的周围空间任一点激起磁场？提示：不能。由毕奥——沙伐尔定律可知在电流元所在的直线上各点电流元不激起磁场。8-2在下面三种情况下，能否用安培环路定理求磁感强度B？为什么？（1）有限长载流直导线产生的磁场；（2）圆电流产生的磁场；（3）两无限长同轴载流圆柱面之间的磁场。提示：安培环路定律只能适用于恒定电流所产生的磁场情况，即涉及到的载流导线必须是闭合的，否则不能使用。所以：（1）和（2）不能安培环路定理求磁感强度B，但（3）可以。8-3在一载流螺线管外做一平面圆回路L，且其平面垂直于螺线管的轴，圆心在轴上。则环路积分等于多少？有人说，，有人根据安培环路定理认为，究竟哪种说法正确?提示：可分为两种情况：(1)密绕的无限长螺旋管，这是一个理想化的模型，可认为螺旋管是由一个个相同的圆电流彼此紧靠在一起组成，此时外部磁感应强度，管内磁场均匀，，此时，；(2)实际上的长直螺旋管外部磁感应强度，，此时应有。8-4将空螺线管通以正弦交流电，由其空心螺线管的一端沿中心轴线射入一束电子流，如8-4题8-4题图图所示。则电子在空心螺线管内的运动情况是（B）8-4题图A、简谐运动；B、匀速直线运动；C、匀加速直线运动；D、匀减速直线运动提示：由洛伦兹力判别，磁力线与螺线管轴线平行。8-5一电量为q的粒子在均匀磁场中运动，下列哪些说法是正确的？(1)只要速度大小相同，所受的洛伦兹力就一定相同；(2)速度相同，电量分别为+q和-q的两个粒子，它们受磁场力的方向相反，大小相等；(3)质量为m，电量为q的带电粒子，受洛伦兹力作用，其动能和动量都不变；(4)洛伦兹力总与速度方向垂直，所以带电粒子运动的轨迹必定是圆。提示：(1)不正确，因为，故不仅与的大小有关，还与的方向有关。(2)正确，因为，所以。即它所受的力反向，而大小则不变以。8-6题图(3)动能不变，而动量发生变化。由可知，只要，则。即动量发生变化，若以粒子速度点乘等式两边，则有，即，这说明粒子的动能不变。8-6题图(4)不正确，只有当带电粒子初速度的方向与方向垂直时，带电粒子运动的轨迹才必定是圆。8-6如8-6题图所示，一个载流线圈绕组中通有电流I＝3A。分别写出：；；提示：，，8-7试说明B与H的联系和区别。提示：是矢量的环流，只和传导电流有关，因此在分布具有高度对称时，能够使我们比较方便地处理有介质存在时的磁场问题，而矢量的环流不仅与传导电流有关，还与磁化电流有关。联系：磁介质中任一点的磁感应强度，磁场强度和磁化强度之间有如下关系：8-8安培定律中有三个矢量，哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？提示：安培力始终与电流元和磁感应强正交；电流元与磁感应强度之间可以有任意角度。8-9一有限长的载流直导线在均匀磁场中沿着磁感应线移动，磁力对它是否作功？什么情况下磁力作功？什么情况下磁力不作功？提示：有限长载流直导线在均匀磁场中受到的磁力，显然的方向与垂直，导线沿磁力线移动时，磁力不作功。8-10两根长直导线互相平行地放置，导线内电流大小相等，均为I＝10A，方向相同，如8-10题图(左)所示。求图中M、N两点的磁感强度B的大小和方向。已知图中的。8-10题图解：因无限长直流载导线在距离处的磁感应强度为。则由题可知，两长直导线在处产生的磁感强度大小均为，但方向相反；在处产生的磁感强度均为：方向如8-10题图(右)所示，由图可知，和合成的方向沿水平向左。即：8-10题图处的磁感强度为：处的磁感强度为：方向沿水平向左。8-11如8-11题图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a、b两点，并与很远处的电源相接。求环心O的磁感强度。解：设图中圆弧的半径为。由题可知，距点很远，故；点在和的延长线上故；又因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为：，其中为圆弧长，故弧和弧在点产生的磁感强度分别为：8-11题图，8-11题图又由于导线的电阻与导线的长度成正比，且圆弧和圆弧构成并联电路，所以有：根据叠加原理可得点的磁感强度为：8-12题图8-12如8-12题图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在点O的磁感强度各为多少?8-12题图解：因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为：，无限长载流直导线在距离处的磁感应强度为，故由叠加原理可得：(a)图中，将流导线看作圆电流和两段半无限长载流直导线，则：(b)图中，将载流导线看作圆电流和长直电流，则：的方向垂直纸面向里。(C)图中，将载流导线看作圆电流和两段半无限长直电流，则：的方向垂直纸面向外。8-13如8-13题图(a)所示，所示，一宽为b的薄金属板，其电流为I。试求在薄板的平面上，距板的一边为r的点P的磁感强度。8-13题图解：建立8-13题图(b)所示的坐标系，将金属板分成无限多份宽度为的载流长直导线。现在距点处取一载流长直导线，其电流为，在点处产生的磁感应强度为：，由叠加原理可知，载流薄板在点处产生的磁感应强度为：8-13题图方向垂直纸面向里。讨论：当时，则表示，宽度为的载流金属板在点处产生的磁感应强度，可视为载流直导线在可点处产生的磁感应强度。的分布曲线如8-13题图(c)所示。8-14题图8-14在磁感强度为B的均匀磁场中，有一半径为的半球面，B与半球面轴线的夹角为。求通过该半球面的磁通量。8-14题图解：设有一半径为的圆面与半径为的半球面构成封闭曲面，则由磁场的高斯定理可知：所以：8-15电流I均匀地流过半径为R的圆形长直导线，试计算单位长度导线通过8-15题图中所示剖面的磁通量。8-15题图解：将导线视为长直圆柱体，由于电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上各点，大小相等，方向与电流成右手螺线关系。围绕轴线取同心圆环路，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理可求得导线内部距轴线处的磁感强度。8-15题图；8-16题图(a)如图所示，在距轴线处的剖面上取一宽度很窄的面元，该面元上各点的相同，由磁通量的定义可知穿过该面元的磁通量为：8-16题图(a)故：单位长度的磁通量为：8-16如8-16题图所示，两平行长直导线相距40cm，每条通有电流I＝200A求：(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度；(2)通过图中斜线所示矩形面积内的磁通量。已知r1＝r3=10cm，r2＝20cm，l＝25cm。解：(1)解：因长直载流导线在空间某点产生的磁感应强度为，由磁场的叠加原理可知两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度为：方向垂直纸面向里。(2)建立如图8—16(b)所示的坐标，穿过线圈的总磁通等于一条电流产生磁通的两倍，即。8-16题图(b)方法一：在中距原点0为处取一很窄的面积元，穿过该面积的磁通量为：。穿过线圈的总磁通为：8-16题图(b)方法二：设两电流相距为，则由两电流产生的磁感应强度为故：8-17已知10裸铜线允许通过50A电流而不会使导线过热，电流在导线横截面上均匀分布。求：(1)导线内、外磁感强度的分布；8-17题图(2)导线表面的磁感强度。8-17题图解：(1)将导线视为长直圆柱体，由于电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上各点，大小相等，方向与电流成右手螺线关系。围绕轴线取同心圆环路，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理可知：当时，，所以：；当时，，所以：(2)在导线表面，由题可知：，，则由(1)问可得：磁感强度的分布曲线如图8-17题图所示。8-18有一同轴电缆，其尺寸如8-18题图(a)所示。两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：（1）r＜R1；（2）Rl＜r＜R2；（3）R2＜r＜R3；（4）r＞R3，画出B一r图线。8-18题图解：由题可知，同轴导体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称分布，取半径为的同心圆为积分路径，根据安培环路定理有：8-18题图(1)当时有：(2)当时有：(2)当时有：(2)当时有：磁感强度图线如8-18题图(b)所示。8-19如8-19题图所示，N匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上。求通入电流I后，环内外磁场的分布。解：由右手螺旋法则可知：螺线管内磁感强度的方向与螺线管中心轴线构成同心圆，若取半径为的圆周为积分路径，则由安培环路定理可知：当时，8-19题图当时，8-19题图当时，8-20测定离子质量的质谱仪如图所示。离子源S产生质量为m，电荷为q的离子，离子的初速很小，可看作是静止的，经电势差V加速后离子进入磁感强度为B的均匀磁场，并沿一半圆形轨道到达离入口处距离为x的感光底片上。试证明该离子的质量为8-20题图证明：根据动能定理有：8-20题图(1)离子以速率进入磁场后作圆周运动所需的向心力为其所受的洛伦兹力，作圆周运动的半径为，即：(2)由(1)、(2)可得8－21在一真空室中的电子通过一个电势差被加速，然后进入两个带电平行金属板之间的空间，两金属板之间的电势差为300V。（1）如果电子进入两板之间的空间时的速率为，则该个电子是通过多大的电势差被加速的；8-21题图（2）如果两板间还有一匀强磁场，其方向与纸面垂直，则磁场B必须多大，才能使电子无偏转地在两板问运动。8-21题图解：(1)根据动能定理有：，即(2)电子在两板间运动时，同时受到洛伦兹力和电场力的作用，要使电子不偏转，则洛伦兹力和电场力应相等，即，结合有：8-22已知地面上空某处地磁场的磁感强度，方向向北。若宇宙射线中有一速率的质子，垂直地通过该处。求：（1）洛伦兹力的方向；（2）洛伦兹力的大小，并与该质子受到的万有引力相比较。解：(1)洛伦兹力的方向为的方向；(2)，故质子所受的洛伦兹力为：质子在地球表面所受的万有引力为：由此可见，质子所受的洛伦兹力远大于重力。8-23如8-23题图所示。设有一质量为的电子射入磁感强度为B的均匀磁场中，当它位于点M时，具有与磁场方向成角的速度，它沿螺旋线运动一周到达点N。试证M、N两点间的距离为解：将入射电子的速度沿磁场方向和垂直磁场方向分解为和，电子在垂直磁场的平面内在洛伦兹力的作用下作匀速圆周运动，在沿磁场方向，电子不受磁场力作用，作匀速运动。电子在磁场内同时参与上述两种运动，其运动轨迹是等距螺旋线。则由可得：入射电子在磁场方向前进一螺距所需的时间为：8-23题图(1)8-23题图在垂直磁场方向的平面内，电子作匀速圆周运动的周期为：(2)根据电子前进一个螺距所需的时间与电子作匀速圆周运动所经历的时间相等可得：8-24题图8-24一通有电流为I的导线，弯成如8-24题图(a)所示的形状，放在磁感强度为B的均匀磁场中，B的方向垂直纸面向里．问此导线受到的安培力为多少?8-24题图解：将导线分解成两段直线和一段半圆弧三部分。由于两段导线所受的安培力大小相等，但方向相反，由安培定律可知：如8-24题图(b)所示，在半圆弧上与轴成角处任取一圆弧，该圆弧所受的力为：，方向如图所示。由对称性可知，整个半圆弧在轴上所受的合力为零。故有：由叠加原理可知：所求导线的安培力为：8-25如8-25题图(a)所示，一根长直导线载有电流，矩形回路载有电流试计算作用在回路上的合力。已知，，。8-25题图解：设上、下两段导线所受的力分别为和，左右两段导线所受的力分别为和，如8-25题图(b)所示。由安培定律和叠加原理可知，和大小相等，方向相反，即；整个矩形回路所受的力为。即8-25题图合力的方向向左。8-26一个正方形线圈，每边长度为0.6m，载有0.1A的稳恒电流，放在一个强度为T的匀强磁场中。求（1）线圈平面平行于磁场时，求线圈所受到的力矩；8-26题图（2）线圈平面垂直于磁场时，求线圈所受到的力矩；8-26题图（3）当线圈的法线与磁场方向之间的夹角从0变到时，画出力矩随角度变化的曲线。解：由教材8.2.5节均匀磁场对载流线圈的磁力矩公式有：(1)线圈平面平行于磁场时，即，；(2)线圈平面垂直于磁场时，，；(3)因，力矩随角度变化的曲线如8-26题所示。8-27题图8-27如8-27题图所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为(＜1)，导体的磁化可以忽略不计。沿轴向有稳桓电流通过电缆，内、外导体上电流的方向相反。求：8-27题图（1）空间各区域内的磁感强度和磁化强度；（2）磁介质表面的磁化电流。解：(1)由题可知，电流分布呈轴对称，依照右手定则，磁感应线是以电缆对称轴线为中心的一组同心圆。取与电缆轴同心的圆为积分路径。根据磁介质中的安培环路定理，有：当时，当时，当时，当时，由，可分别得：(导体的相对磁导率为)(2)由，可分别得磁介质内、外表面的磁化电流大小为：对抗磁质()，在磁介质内表面()，磁化电流与内导体传导电流力向相反；在磁介质外表面()，磁化电流与外导体传导电流方向相反。顺磁质的情况与抗磁质相反H(r)和B(r)分布曲线分别如8-27题图(b)和(c)。8-28在实验室，为了测试某种磁性材料的相对磁导率。常将这种材料做成截面为矩