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文档简介

20222023学年六年级数学上册典型例题系列之第三单元:寻找不变量问题专项练习(解析版)1.某班一次聚会,请假人数和出席人数的比是1∶9,中途又有1人请假离开,这时请假人数和出席人数的比是3∶22,这个班共有多少人?【答案】50人【分析】根据题意,这个班总人数不变,原来请假人数占总人数的:;中途又有1人请假离开,这时请假人数占总人数;中途请假的1人占全班人数的-;再用1除以(-),求出全班人数。【详解】1÷(-)=1÷(-)=1÷(-)=1÷=1×50=50(人)答:这个班人数有50人。【点睛】应用分数四则混合运算,抓住全班人数不发生改变,所以将其看做单位“1”。2.甲、乙两个车间原有人数比4∶3,从甲车间调48人到乙车间,甲、乙两个车间现有人数比2∶3,甲、乙两个车间原有人数各多少人?【答案】甲车间160人;乙车间120人【分析】从甲车间调48人到乙车间,甲乙两车间的总人数不变,原来甲占两车间总人数的,现在甲占两车间总人数的,两个分率之差对应从甲车间调去乙车间的人数,根据“量÷对应的分率”求出两个车间的总人数,再根据比的应用求出甲、乙两车间原有的人数,据此解答。【详解】48÷(-)=48÷(-)=48÷=280(人)甲:280×=160(人)乙:280×=120(人)答:甲车间原有160人,乙车间原有120人。【点睛】抓住题中的不变量,并利用分数除法求出两个车间的总人数是解答题目的关键。3.未未和莱拉原有图书数量的比是2∶3,未未又买来24本书后,未未和莱拉现在图书数量的比是6∶7,则原来未未有多少本书?莱拉有多少本书?【答案】84本;126本【分析】设原来共有x本书,未未又买来24本书后,现在共有(x+24)本,莱拉的图书数量没变,根据原来总本数÷原来总份数×原来莱拉对应份数=现在总本数÷现在总份数×现在莱拉对应份数,列出方程,求出x的值是原来总本数,原来总本数÷原来总份数,求出一份数,一份数分别乘原来未未和莱拉的对应份数即可求出他们原来的本数。【详解】2+3=5(份)6+7=13(份)解:设原来共有x本书。x÷5×3=(x+24)÷13×7x=(x+24)x=x+x-x=x+-xx×=×x=210210÷(2+3)=210÷5=42(本)42×2=84(本)42×3=126(本)答:原来未未有84本书,莱拉有126本书。【点睛】关键是理解比的意义,用方程解决问题的关键是找到等量关系。4.大宝和小宝一起喝汤圆,本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2∶3,后来大宝想要减肥,又夹了4个汤圆到小宝碗里,此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2,求两人一共有多少个汤圆?【答案】60个【分析】两人的汤圆总数不变,开始时总数为5份,当大宝想要减肥,又夹了4个汤圆到小宝碗里,此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2,总数为3份,进行份数统一,找3和5的最小公倍数15,则假设汤圆总数为15份,则原来两人汤圆数量之比为,现在两人汤圆数量之比为,大宝汤圆数量由原来的6份变为4份,减少1份,这一份是4个汤圆,据此解答即可。【详解】大宝汤圆数量由原来的6份变为4份,减少1份,这1份是4个汤圆一共有:(个)答:两人一共有60个汤圆。【点睛】本题考查按比分配,解答本题的关键是掌握两人汤圆总量不变。5.北京时间2021年12月9日下午,“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站开设了一场精彩的太空科普课。六(1)班少先队大队委集中观看了直播。其中参与的男队员与女队员的人数比是3∶2,后来又来了6名女队员参与观看,这时男队员与女队员的人数比是5∶4。原来参与观看直播的男、女队员各有多少名?【答案】男队员45人,女队员30人【分析】先前参与的男队员与女队员的人数比是3∶2=15∶10,后来男队员与女队员的人数比是5∶4=15∶12,把队员的人数比看作份数,前后比较,男生份数没变,女生由先前的10份,增长到12份,增加了2份,对应的是6名女队员加入,所以一份人数是3人,乘先前男生和女生各自的份数,得到最终的答案。【详解】3∶2=3×5∶2×5=15∶10,5∶4=5×3∶4×3=15∶12(名)男队员:(名),女队员:(名)答:原来参与观看直播的男队员45名,女队员有30名。【点睛】解决此题的关键是抓住男队员人数不变,把男女队员的人数看作份数,求出一份的数量,再去求部分的量。6.甲、乙两瓶药液质量的比是4∶1,如果从甲瓶中取出13g倒入乙瓶后,甲乙两瓶药液质量的比变成了7∶5,甲、乙两瓶药液原来各有多少克?【答案】甲液原来有48克、乙药液原来有12克。【分析】甲乙两瓶药液的质量之和没有发生变化,则原先甲乙两瓶药液的质量之和看做5份,现在甲乙两瓶药液的质量之和看做12份,统一成60份后,甲药液由原来的48份,变成现在的35份,少了13份,每一份是1克,据此求出甲、乙两瓶药液原来各有多少克即可。【详解】4∶1=(4×12)∶(1×12)=48∶127∶5=(7×5)∶(5×5)=35∶2513÷(48-35)=13÷13=1(克)甲:1×48=48(克)乙:1×12=12(克)答:甲液原来有48克、乙药液原来有12克。【点睛】本题考查按比分配,解答本题的关键是掌握按比分配解决问题的方法。7.一个书架上层和下层的本数比4∶5,如果把上层拿120本到下层,这样下层刚好是上层的2倍,这个书架原来上层有多少本?【答案】480本【分析】根据“这样下层刚好是上层的2倍”可知,后来上层与下层的本数比为1∶2;原来上层本数是总本数的,后来上层本数是总本数的,据此可知,上层拿出的120本占总本数的-,根据分数除法的意义求出总本数,再乘原来上层本数占总本数的分率即可。【详解】后来上层与下层的本数比为1∶2;120÷(-)×=120÷×=480(本);答:这个书架原来上层有480本。【点睛】先求出后来上层与下层的本数比是解答本题的关键,进而求出上层拿出的120本占总本数的分率,再根据分数乘除法的意义解答。8.某学校六年级加入公益活动和没加入公益活动的人数之比是8∶5,后来又有20名学生参与进来,这时参与公益活动与没参与的人数之比是10∶3,这个年级有多少名学生?【答案】130名【分析】总人数没变,即单位“1”没变,用20名学生÷对应分率=总人数,据此列式解答。【详解】20÷(-)=20÷(-)=20÷=130(名)答:这个年级有130名学生。【点睛】关键是确定单位“1”,理解分数除法和比的意义。9.现有200毫升的糖水,是由糖和水按3∶22的比配制成的。再加上多少毫升水后,糖与水的比是1∶9?【答案】40毫升【分析】糖和水按3∶22的比配制成200毫升的糖水,糖占糖水的,根据分数乘法的意义可求出糖的量,加水后糖的量不变,糖与水的比是1∶9,糖占糖水的,糖的量除以加水后糖占糖水的分率即为加水后糖水的量,用加水后糖水的量减去原糖水的量即为加水的量。【详解】200×÷=200×÷=24÷=240(毫升)240-200=40(毫升)答:再加上40毫升水后,糖与水的比是1∶9。【点睛】本题考查比的应用,关键要明确加水后糖水的量减去原来糖水的量即为加水的量。10.在新农村的建设中,小强到修路现场做调查。他问工人叔叔要修的路有多长,工人叔叔说:“已经修好的和还没修的长度的比是2∶5,再修450米,已经修好的和还没修的长度的比是1∶2”,要修的路总长多少米?【答案】9450米【分析】根据两个已经修好的和还没修的长度的比,再修450米前,修好的占总长度的,再修450米后,修好的占总长度的,前后相差-,相差450米,用450米÷对应分率=路的总长。【详解】450÷(-)=450÷(-)=450÷=9450(米)答:要修的路总长9450米。【点睛】关键是理解比的意义,通过两个比确定对应分率,部分数量÷对应分率=总体数量。11.甲、乙两袋糖果的质量之比是3∶2,如果从甲袋糖果中拿出5千克放入乙袋,这时甲、乙两袋糖果的质量之比是1∶1。两袋糖果一共重多少千克?【答案】50千克【分析】甲、乙两袋糖果的质量之比是3∶2,甲袋比乙袋多3-2份,甲袋拿出多出份数的一半放入乙袋,两袋质量相等,据此求出一份数,用一份数×总份数即可。【详解】5÷[(3-2)÷2]=5÷(1÷2)=5÷0.5=10(千克)10×(3+2)=10×5=50(千克)答:两袋糖果一共重50千克。【点睛】关键是确定甲袋放入乙袋的质量的对应的份数,求出一份数。12.加工一批零件,已完成个数与零件总个数的比是1∶5,如果再加工15个,那么完成个数与剩下的个数同样多,这批零件共有多少个?【答案】50个【分析】设这批零件共有x个,根据已完成个数与零件总个数的比是1∶5,可知完成的占总个数的,没完成的占1-,完成了x个,没完成(1-)x个,根据完成的个数+15=没完成的个数-15,列出方程解答即可。【详解】解:设这批零件共有x个。x+15=(1-)x-15x+15=x-15x=30x=50答:这批零件共有50个。【点睛】关键是通过比确定完成和没完成的对应分率,找到等量关系,从而列出方程进行解答。13.甲、乙两箱粉笔盒数的比是5∶1,如果从甲箱里取出12盒放入乙箱后,甲、乙两箱粉笔盒数的比是7∶5。甲箱原来有多少盒粉笔?【答案】40盒【分析】先将前后两个比的总份数进行统一,再求出前后两个比的份数差,通过两个比份数差的变化,求出从甲箱取走的份数,求出一份数,用一份数×原来甲的份数即可。【详解】5∶1=10∶210-2=8(份)7-5=2(份)(8-2)÷2=6÷2=3(份)12÷3×10=40(盒)答:甲箱原来有40盒粉笔。【点睛】关键是理解比的意义,将两个比的总份数进行统一。14.一个养殖场有鸡和鸭共2400只,其中鸡与鸭的只数比是9∶3,卖掉一些鸡后,鸡与鸭的只数比是2∶1,卖掉了多少只鸡?【答案】600只【分析】根据开始鸡与鸭的数量比,可知鸡与鸭共9+3份,据此求出一份数,用一份数分别乘鸡和鸭的对应份数,求出鸡和鸭的数量,卖掉一些鸡,鸭的数量不变,通过卖掉一些鸡后,鸡与鸭的只数比,用鸭÷对应份数×鸡的对应份数,求出还剩下的鸡,用原来鸡的数量-现在鸡的数量即可。【详解】2400÷(9+3)=2400÷12=200(只)200×9=1800(只)200×3=600(只)600÷1×2=1200(只)1800-1200=600(只)答:卖掉了600只鸡。【点睛】关键是理解比的意义,明白份数变,鸭的数量不变。15.近年来网球运动越来越受欢迎,甲、乙两校网球俱乐部原来的球迷人数之比是2∶5。后来甲校球迷人数增加36人,乙校球迷人数不变,现在甲、乙两校球迷的人数比为5∶8。现在甲、乙两校各有网球球迷多少人?【答案】甲校100人;乙校160人【分析】因为乙校球迷人数不变,将前后两个比统一成后项相同的比,即每一份的多少相同,甲校增加36人,增加了25-16份,先求出一份数,再用份数分别乘现在两校的份数即可。【详解】2∶5=16∶40;5∶8=25∶4036÷(25-16)=36÷9=4(人)4×25=100(人)4×40=160(人)答:甲校有网球球迷100人,乙校有网球球迷160人。【点睛】关键是将两个比进行统一,再按比例进行分配。16.两个盒子里装着质量相同的水果糖和奶糖。一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是3∶2,另一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是1∶5,若把两个盒子里的糖混合在一起,则水果糖和奶糖的质量之比是多少?【答案】【分析】一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是3∶2,水果糖的质量占总质量的,奶糖的质量占总质量的;另一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是1∶5,水果糖的质量占总质量的,奶糖的质量占总质量的,据此解答即可。【详解】两个盒子里的糖混合在一起,水果糖是总质量:奶糖的质量占总质量的:则水果糖和奶糖的质量之比是:答:水果糖和奶糖的质量之比是23∶37。【点睛】本题考查按比例分配问题、比的化简,解答本题的关键是掌握比化简的方法。17.甲、乙两小学原有图书本数之比是7:5,如果甲校赠给乙校750本,乙校又回赠给甲校100本,那么,甲、乙两校的图书本数之比变为3:4.问甲、乙两校原有图书各多少本?【答案】甲校原有图书2450本,乙校原有图书1750本。【分析】根据题意可知:甲校原有的图书本数占总数的,现有的图书本数占总数的,由于是在两个学校之间的赠与,所以两校的图书总本数不变,可以把总本数看作“1”;由甲赠给乙750本,乙又回赠甲100本,相当于甲赠给了乙650本;那么650本就占总数的(),用除法计算求得单位“1”的量;再用按比例分配的方法分别求出甲、乙两校原有图书的本数;列式计算即可解决。【详解】甲校原有图书本数占总数的:7÷(7+5)=,甲校现有图书本数占总数的:3÷(3+4)=,图书总本数:(750﹣100)÷(),=650÷,=4200(本);甲原有:4200×=2450(本),乙原有:4200×=1750(本);答:甲校原有图书2450本,乙校原有图书1750本。【点睛】解决此题关键是理解甲赠给乙750本,乙又回赠甲100本,相当于甲赠给了乙650本,进而求出650本对应的分率,求得图书总本数,再用按比例分配的方法分别求出甲、乙两校原有图书的本数。18.两个水池内有金鱼若干条,数目相同。亮亮和红红进行捞鱼比赛,第一个水池内的金鱼被捞完时,亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3∶4;捞完第二个水池内的金鱼时,亮亮比第一次多捞33条,与红红捞到的金鱼数目比是5∶3。那么每个水池内有金鱼多少条?【答案】168条【分析】捞完第二个水池内的金鱼时,亮亮与红红捞到的金鱼数目比是5∶3,亮亮捞到的金鱼数目占两人的,第一个水池内的金鱼被捞完时,亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3∶4,亮亮捞到的金鱼数目占两人的,多了-,多了33条,用多出来的条数÷对应分率即可。【详解】33÷(-)=33÷=168(条)答:每个水池内有金鱼168条。【点睛】将每个水池内的金鱼条数看作单位“1”,关键是找到33条金鱼的对应分率。19.、两种商品的价格比是,如果商品降价70元,那么它们的价格比就是,这两种商品原来的价格各是多少元?【答案】商品A:280元,商品B:120元。【分析】把商品B看作单位“1”,商品A降价前,是商品B价格的,商品A降价后是商品B价格的,已知商品A降价70元,根据分数除法的意义,可求出商品B的价格,再根据按比例分配原理求出商品A的价

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