2022-2023学年六年级数学上册典型例题之第三单元寻找不变量问题专项练习

20222023学年六年级数学上册典型例题系列之第三单元：寻找不变量问题专项练习（解析版）1．某班一次聚会，请假人数和出席人数的比是1∶9，中途又有1人请假离开，这时请假人数和出席人数的比是3∶22，这个班共有多少人？【答案】50人【分析】根据题意，这个班总人数不变，原来请假人数占总人数的：；中途又有1人请假离开，这时请假人数占总人数；中途请假的1人占全班人数的－；再用1除以（－），求出全班人数。【详解】1÷（－）＝1÷（－）＝1÷（－）＝1÷＝1×50＝50（人）答：这个班人数有50人。【点睛】应用分数四则混合运算，抓住全班人数不发生改变，所以将其看做单位“1”。2．甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？【答案】甲车间160人；乙车间120人【分析】从甲车间调48人到乙车间，甲乙两车间的总人数不变，原来甲占两车间总人数的，现在甲占两车间总人数的，两个分率之差对应从甲车间调去乙车间的人数，根据“量÷对应的分率”求出两个车间的总人数，再根据比的应用求出甲、乙两车间原有的人数，据此解答。【详解】48÷（－）＝48÷（－）＝48÷＝280（人）甲：280×＝160（人）乙：280×＝120（人）答：甲车间原有160人，乙车间原有120人。【点睛】抓住题中的不变量，并利用分数除法求出两个车间的总人数是解答题目的关键。3．未未和莱拉原有图书数量的比是2∶3，未未又买来24本书后，未未和莱拉现在图书数量的比是6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？【答案】84本；126本【分析】设原来共有x本书，未未又买来24本书后，现在共有（x＋24）本，莱拉的图书数量没变，根据原来总本数÷原来总份数×原来莱拉对应份数＝现在总本数÷现在总份数×现在莱拉对应份数，列出方程，求出x的值是原来总本数，原来总本数÷原来总份数，求出一份数，一份数分别乘原来未未和莱拉的对应份数即可求出他们原来的本数。【详解】2＋3＝5（份）6＋7＝13（份）解：设原来共有x本书。x÷5×3＝（x＋24）÷13×7x＝（x＋24）x＝x＋x－x＝x＋－xx×＝×x＝210210÷（2＋3）＝210÷5＝42（本）42×2＝84（本）42×3＝126（本）答：原来未未有84本书，莱拉有126本书。【点睛】关键是理解比的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系。4．大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2∶3，后来大宝想要减肥，又夹了4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2，求两人一共有多少个汤圆？【答案】60个【分析】两人的汤圆总数不变，开始时总数为5份，当大宝想要减肥，又夹了4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2，总数为3份，进行份数统一，找3和5的最小公倍数15，则假设汤圆总数为15份，则原来两人汤圆数量之比为，现在两人汤圆数量之比为，大宝汤圆数量由原来的6份变为4份，减少1份，这一份是4个汤圆，据此解答即可。【详解】大宝汤圆数量由原来的6份变为4份，减少1份，这1份是4个汤圆一共有：（个）答：两人一共有60个汤圆。【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握两人汤圆总量不变。5．北京时间2021年12月9日下午，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站开设了一场精彩的太空科普课。六（1）班少先队大队委集中观看了直播。其中参与的男队员与女队员的人数比是3∶2，后来又来了6名女队员参与观看，这时男队员与女队员的人数比是5∶4。原来参与观看直播的男、女队员各有多少名？【答案】男队员45人，女队员30人【分析】先前参与的男队员与女队员的人数比是3∶2＝15∶10，后来男队员与女队员的人数比是5∶4＝15∶12，把队员的人数比看作份数，前后比较，男生份数没变，女生由先前的10份，增长到12份，增加了2份，对应的是6名女队员加入，所以一份人数是3人，乘先前男生和女生各自的份数，得到最终的答案。【详解】3∶2＝3×5∶2×5＝15∶10，5∶4＝5×3∶4×3＝15∶12（名）男队员：（名），女队员：（名）答：原来参与观看直播的男队员45名，女队员有30名。【点睛】解决此题的关键是抓住男队员人数不变，把男女队员的人数看作份数，求出一份的数量，再去求部分的量。6．甲、乙两瓶药液质量的比是4∶1，如果从甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲乙两瓶药液质量的比变成了7∶5，甲、乙两瓶药液原来各有多少克？【答案】甲液原来有48克、乙药液原来有12克。【分析】甲乙两瓶药液的质量之和没有发生变化，则原先甲乙两瓶药液的质量之和看做5份，现在甲乙两瓶药液的质量之和看做12份，统一成60份后，甲药液由原来的48份，变成现在的35份，少了13份，每一份是1克，据此求出甲、乙两瓶药液原来各有多少克即可。【详解】4∶1＝（4×12）∶（1×12）＝48∶127∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶2513÷（48－35）＝13÷13＝1（克）甲：1×48＝48（克）乙：1×12＝12（克）答：甲液原来有48克、乙药液原来有12克。【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解决问题的方法。7．一个书架上层和下层的本数比4∶5，如果把上层拿120本到下层，这样下层刚好是上层的2倍，这个书架原来上层有多少本？【答案】480本【分析】根据“这样下层刚好是上层的2倍”可知，后来上层与下层的本数比为1∶2；原来上层本数是总本数的，后来上层本数是总本数的，据此可知，上层拿出的120本占总本数的－，根据分数除法的意义求出总本数，再乘原来上层本数占总本数的分率即可。【详解】后来上层与下层的本数比为1∶2；120÷（－）×＝120÷×＝480（本）；答：这个书架原来上层有480本。【点睛】先求出后来上层与下层的本数比是解答本题的关键，进而求出上层拿出的120本占总本数的分率，再根据分数乘除法的意义解答。8．某学校六年级加入公益活动和没加入公益活动的人数之比是8∶5，后来又有20名学生参与进来，这时参与公益活动与没参与的人数之比是10∶3，这个年级有多少名学生？【答案】130名【分析】总人数没变，即单位“1”没变，用20名学生÷对应分率＝总人数，据此列式解答。【详解】20÷（－）＝20÷（－）＝20÷＝130（名）答：这个年级有130名学生。【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义。9．现有200毫升的糖水，是由糖和水按3∶22的比配制成的。再加上多少毫升水后，糖与水的比是1∶9？【答案】40毫升【分析】糖和水按3∶22的比配制成200毫升的糖水，糖占糖水的，根据分数乘法的意义可求出糖的量，加水后糖的量不变，糖与水的比是1∶9，糖占糖水的，糖的量除以加水后糖占糖水的分率即为加水后糖水的量，用加水后糖水的量减去原糖水的量即为加水的量。【详解】200×÷＝200×÷＝24÷＝240（毫升）240－200＝40（毫升）答：再加上40毫升水后，糖与水的比是1∶9。【点睛】本题考查比的应用，关键要明确加水后糖水的量减去原来糖水的量即为加水的量。10．在新农村的建设中，小强到修路现场做调查。他问工人叔叔要修的路有多长，工人叔叔说：“已经修好的和还没修的长度的比是2∶5，再修450米，已经修好的和还没修的长度的比是1∶2”，要修的路总长多少米？【答案】9450米【分析】根据两个已经修好的和还没修的长度的比，再修450米前，修好的占总长度的，再修450米后，修好的占总长度的，前后相差－，相差450米，用450米÷对应分率＝路的总长。【详解】450÷（－）＝450÷（－）＝450÷＝9450（米）答：要修的路总长9450米。【点睛】关键是理解比的意义，通过两个比确定对应分率，部分数量÷对应分率＝总体数量。11．甲、乙两袋糖果的质量之比是3∶2，如果从甲袋糖果中拿出5千克放入乙袋，这时甲、乙两袋糖果的质量之比是1∶1。两袋糖果一共重多少千克？【答案】50千克【分析】甲、乙两袋糖果的质量之比是3∶2，甲袋比乙袋多3－2份，甲袋拿出多出份数的一半放入乙袋，两袋质量相等，据此求出一份数，用一份数×总份数即可。【详解】5÷[（3－2）÷2]＝5÷（1÷2）＝5÷0.5＝10（千克）10×（3＋2）＝10×5＝50（千克）答：两袋糖果一共重50千克。【点睛】关键是确定甲袋放入乙袋的质量的对应的份数，求出一份数。12．加工一批零件，已完成个数与零件总个数的比是1∶5，如果再加工15个，那么完成个数与剩下的个数同样多，这批零件共有多少个？【答案】50个【分析】设这批零件共有x个，根据已完成个数与零件总个数的比是1∶5，可知完成的占总个数的，没完成的占1－，完成了x个，没完成（1－）x个，根据完成的个数＋15＝没完成的个数－15，列出方程解答即可。【详解】解：设这批零件共有x个。x＋15＝（1－）x－15x＋15＝x－15x＝30x＝50答：这批零件共有50个。【点睛】关键是通过比确定完成和没完成的对应分率，找到等量关系，从而列出方程进行解答。13．甲、乙两箱粉笔盒数的比是5∶1，如果从甲箱里取出12盒放入乙箱后，甲、乙两箱粉笔盒数的比是7∶5。甲箱原来有多少盒粉笔？【答案】40盒【分析】先将前后两个比的总份数进行统一，再求出前后两个比的份数差，通过两个比份数差的变化，求出从甲箱取走的份数，求出一份数，用一份数×原来甲的份数即可。【详解】5∶1＝10∶210－2＝8（份）7－5＝2（份）（8－2）÷2＝6÷2＝3（份）12÷3×10＝40（盒）答：甲箱原来有40盒粉笔。【点睛】关键是理解比的意义，将两个比的总份数进行统一。14．一个养殖场有鸡和鸭共2400只，其中鸡与鸭的只数比是9∶3，卖掉一些鸡后，鸡与鸭的只数比是2∶1，卖掉了多少只鸡？【答案】600只【分析】根据开始鸡与鸭的数量比，可知鸡与鸭共9＋3份，据此求出一份数，用一份数分别乘鸡和鸭的对应份数，求出鸡和鸭的数量，卖掉一些鸡，鸭的数量不变，通过卖掉一些鸡后，鸡与鸭的只数比，用鸭÷对应份数×鸡的对应份数，求出还剩下的鸡，用原来鸡的数量－现在鸡的数量即可。【详解】2400÷（9＋3）＝2400÷12＝200（只）200×9＝1800（只）200×3＝600（只）600÷1×2＝1200（只）1800－1200＝600（只）答：卖掉了600只鸡。【点睛】关键是理解比的意义，明白份数变，鸭的数量不变。15．近年来网球运动越来越受欢迎，甲、乙两校网球俱乐部原来的球迷人数之比是2∶5。后来甲校球迷人数增加36人，乙校球迷人数不变，现在甲、乙两校球迷的人数比为5∶8。现在甲、乙两校各有网球球迷多少人？【答案】甲校100人；乙校160人【分析】因为乙校球迷人数不变，将前后两个比统一成后项相同的比，即每一份的多少相同，甲校增加36人，增加了25－16份，先求出一份数，再用份数分别乘现在两校的份数即可。【详解】2∶5＝16∶40；5∶8＝25∶4036÷（25－16）＝36÷9＝4（人）4×25＝100（人）4×40＝160（人）答：甲校有网球球迷100人，乙校有网球球迷160人。【点睛】关键是将两个比进行统一，再按比例进行分配。16．两个盒子里装着质量相同的水果糖和奶糖。一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是3∶2，另一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是1∶5，若把两个盒子里的糖混合在一起，则水果糖和奶糖的质量之比是多少？【答案】【分析】一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是3∶2，水果糖的质量占总质量的，奶糖的质量占总质量的；另一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是1∶5，水果糖的质量占总质量的，奶糖的质量占总质量的，据此解答即可。【详解】两个盒子里的糖混合在一起，水果糖是总质量：奶糖的质量占总质量的：则水果糖和奶糖的质量之比是：答：水果糖和奶糖的质量之比是23∶37。【点睛】本题考查按比例分配问题、比的化简，解答本题的关键是掌握比化简的方法。17．甲、乙两小学原有图书本数之比是7：5，如果甲校赠给乙校750本，乙校又回赠给甲校100本，那么，甲、乙两校的图书本数之比变为3：4.问甲、乙两校原有图书各多少本？【答案】甲校原有图书2450本，乙校原有图书1750本。【分析】根据题意可知：甲校原有的图书本数占总数的，现有的图书本数占总数的，由于是在两个学校之间的赠与，所以两校的图书总本数不变，可以把总本数看作“1”；由甲赠给乙750本，乙又回赠甲100本，相当于甲赠给了乙650本；那么650本就占总数的（），用除法计算求得单位“1”的量；再用按比例分配的方法分别求出甲、乙两校原有图书的本数；列式计算即可解决。【详解】甲校原有图书本数占总数的：7÷（7＋5）＝，甲校现有图书本数占总数的：3÷（3＋4）＝，图书总本数：（750﹣100）÷（），＝650÷，＝4200（本）；甲原有：4200×＝2450（本），乙原有：4200×＝1750（本）；答：甲校原有图书2450本，乙校原有图书1750本。【点睛】解决此题关键是理解甲赠给乙750本，乙又回赠甲100本，相当于甲赠给了乙650本，进而求出650本对应的分率，求得图书总本数，再用按比例分配的方法分别求出甲、乙两校原有图书的本数。18．两个水池内有金鱼若干条，数目相同。亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3∶4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33条，与红红捞到的金鱼数目比是5∶3。那么每个水池内有金鱼多少条？【答案】168条【分析】捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮与红红捞到的金鱼数目比是5∶3，亮亮捞到的金鱼数目占两人的，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3∶4，亮亮捞到的金鱼数目占两人的，多了－，多了33条，用多出来的条数÷对应分率即可。【详解】33÷（－）＝33÷＝168（条）答：每个水池内有金鱼168条。【点睛】将每个水池内的金鱼条数看作单位“1”，关键是找到33条金鱼的对应分率。19．、两种商品的价格比是，如果商品降价70元，那么它们的价格比就是，这两种商品原来的价格各是多少元？【答案】商品A：280元，商品B：120元。【分析】把商品B看作单位“1”，商品A降价前，是商品B价格的，商品A降价后是商品B价格的，已知商品A降价70元，根据分数除法的意义，可求出商品B的价格，再根据按比例分配原理求出商品A的价