专题03空间向量与立体几何（重难点突破）原卷版-2021年秋季高二数学上学期讲义（人教A版）

专题03空间向量与立体几何一、考情分析二、考点梳理一、空间直角坐标系定义以空间中两两__________且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标__________，x轴、y轴、z轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy平面、yOz平面、__________平面．画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝__________，∠yOz＝90°．图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__________轴的正方向，食指指向__________轴的正方向，如果中指指向__________轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组之间的关系如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的__________，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．设点P、Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是__________的关系，有序实数组__________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x叫做点M的__________，y叫做点M的__________，z叫做点M的__________．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标点的位置点的坐标形式原点（0，0，0）x轴上（a，0，0）y轴上（0，b，0）z轴上（0，0，c）xOy平面上（a，b，0）yOz平面上（0，b，c）xOz平面上（a，0，c）3．空间直角坐标系中的对称点设点P（a，b，c）为空间直角坐标系中的点，则对称轴（或中心或平面）点P的对称点坐标原点x轴y轴（－a，b，－c）z轴xOy平面yOz平面xOz平面三、空间两点间的距离公式如图，设点是空间中任意两点，且点在xOy平面上的射影分别为M，N，那么M，N的坐标分别为．在xOy平面上，．在平面内，过点作的垂线，垂足为H，则，所以．在中，，根据勾股定理，得____________________________．因此，空间中点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）之间的距离是____________________________．特别地，点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离为|OP|＝．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．三、题型突破1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：①过P作PC⊥z轴于点C；②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作MB⊥y轴于点B；③设P（x，y，z），则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|．当点A、B、C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时，则x、y、z的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．例1．（2021·全国高二课时练习）如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．（1）求点的坐标；（2）求点的坐标．

【变式训练11】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A．(1,0,0)B．(1,0,1)C．(1,1,1)D．(1,1,0)【变式训练12】（2021·全国高二课时练习）如图，正方体的棱长为，则图中的点关于轴的对称点的坐标为________．2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．例2.（1）在空间直角坐标系中，若P(3，－2,1)，则P点关于坐标平面xOz的对称点坐标为()A．(－3，－2，－1)B．(3,2,1)C．(－3,2，－1)D．(3，－2，－1)（2）．（2021·浙江高二期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（）A． B． C． D．

（3）．（2021·浙江高二期末）在空间坐标系中，点关于x轴的对称点为（）A． B． C． D．【变式训练21】.点P(1,3,5)关于坐标原点对称的点P′的坐标是()A．(－1，－3，－5)B．(1，－3,5)C．(－1，－3,5)D．(－1,3,5)【变式训练22】.（2020·全国高一课时练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（）A． B．C． D．【变式训练23】.（2021·全国高二课时练习）在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标；（3）求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标

3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．例3.（1）已知空间中两点A(1,2,3)，B(4,2，a)，且|AB|＝eq\r(10)，则a的值为()A．2B．4C．0D．2或4（2）．（2021·陕西西安市西光中学高一期末）空间直角坐标系中，已知两点，，则这两点间的距离为___________.（3）．（2021·广西百色·高一期末）在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线长为___________.

【变式训练31】.在空间直角坐标系中，给定点M(2，－1,3)，若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|等于()A．2B．4C．2eq\r(5)D．3eq\r(7)【变式训练32】.已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为()A．19B．－eq\f(8,7)C.eq\f(8,7)D.eq\f(19,14)【变式训练33】（2021·江门市第二中学高二月考）已知空间两点，，、，，，则、两点间的距离为_______．【变式训练34】．（2019·安徽省蚌埠第三中学高二月考（文））已知空间两点，则等于（）A． B．3 C． D．【变式训练35】．（2021·全国高二课时练习）在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为___________.

4．空间直角坐标系的综合问题例4.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)．(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．【变式训练41】．（2021·六安市裕安区新安中学高二开学考试（文））长方体中，，，点是的中点，点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点，，的坐标；（2）求线段，的长度．

四、课堂定时训练（45分钟）1．（2021·全国高一课时练习）设点是点，，关于平面的对称点，则（）A．10 B． C． D．382．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），则对角线AC1的长为（）A．9 B．eq\r(29)C．5 D．2eq\r(6)3．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）A．eq\f(\r(6),2) B．eq\r(3) C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)4．已知A点坐标为（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为（）A．（6，0，0） B．（6，0，1） C．（0，0，6） D．（0，6，0）5．（2021·安徽蚌埠·高二期末（文））在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为（）A． B． C． D．6．（2021·天津高二期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是（）A． B． C． D．7.设点是直角坐标系O-xyz中一点，则点M关于x轴对称的点的坐标为（）A．锛 B．C． D．8．（2020·泗洪县洪翔中学高一月考）空间两点，之间的距离等于（）A． B． C． D．9．（2021·天津市西青区杨柳青第一中学高二月考）在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是______