课时11不等式证明-2022年高考数学一轮复习小题多维练

课时11不等式证明（基础题）一、填空题1．（2019·晋中市和诚高中高三月考（文））已知命题“若为任意的正数，则”．能够说明是假命题的一组正数的值依次为__________．【答案】（只要填出，的一组正数即可）分析：能够说明是假命题的一组正数的值，就是不满足不等式的正数的值，故将不等式变形为。找不满足不等式的正数的值即可。详解：由可得。能够说明是假命题的一组正数的值，只需不满足不等式的一组正数的值即可。故答案不唯一。可取1,2,3,。点睛：满足（不满足）不等式的正数的值，就是不等式成立（不成立）的正数的值，可用作差比较法找正数的关系，进而可找正数的值。2．（2021·黑龙江哈师大附中高三三模（理））某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．【答案】【详解】该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，·4＋4x≥160，当＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、解答题3．（2021·江西高三二模（理））已知a，b，c都是正数，求证：（1）；（2）若，则．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）直接利用作差法，然后配方可得，从而使得问题得证.

（2）由条件将不等式左边变形为，然后展开，利用均值不等式可证明.【详解】（1）∵a，b，c都是正数，∴，当且仅当“”时等号成立∴（2）当且仅当“”时等号成立．∴4．（2018·江苏南京师大附中高三一模）A选修4—1：几何证明选讲在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN=2AM．【解析】分析：因为CM是∠ACB的平分线，由内角平分线定理，可得＝，再由圆的切割线定理，可得BM•BA=BN•BC，整理，即可得证.证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以＝．又AC＝AB，所以＝①因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，所以，BM·BA＝BN·BC，即＝②由①、②可知＝，所以BN=2AM．点睛：本题考查内角平分线定理和圆的切割线定理及运用，考查推理能力，属于中档题．（能力题）一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）若关于x的不等式的解集是M，则对任意实常数k，总有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求解集M，再确定0,2与集合M关系，即得结果.【详解】由解得，即，又，，所以，.选A.【点睛】本题考查利用基本不等式求范围，考查基本分析求解能力，属基础题.2．（2019·吉林高考模拟（理））是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．【详解】因为“”，则“”；但是“”不一定有“”.

所以“”，是“”成立的充分不必要条件．故选A.【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：①定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；②构造命题法：“若，则”为真命题，则是的充分条件，是的必要条件；③数集转化法：：，：，若，则是的充分条件，是的必要条件.3．（2020·舒兰市实验中学校高三学业考试）若，且，则有A．最大值64 B．最小值 C．最小值64 D．最小值【答案】C【详解】因为，所以，当且仅当，时取等号，故选C.二、解答题4．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数.（Ⅰ）解关于x的不等式；（Ⅱ）若a，b，，函数的最小值为m，若，求证：.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式，分类讨论解不等式，即可求得不等式的解集.（Ⅱ）根据绝对值三角不等式，求得的最小值，结合基本不等式即可证明不等式成立.【详解】（Ⅰ）即，可得或或，解得或或，则原不等式的解集为；（Ⅱ）证明：，当且仅当，即时上式取得等号，可得函数的最小值为1，则，且a，b，，由，可得，当且仅当取得等号，即.,【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式求最值，利用基本不等式证明不等式成立，属于中档题.5．（2019·陕西汉中市·高三二模（理））（1）求不等式的解集；（2）已知两个正数、满足，证明：.【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）方法一：首先判断的几何意义，运用数形结合思想，在数轴上找到所求不等式的解集。方法二：根据零点分区间进行分类讨论进行求解。(2)根据要证明式子分母的特点，把，变形为，利用基本不等式，证明不等式。【详解】（1）方法一：根据几何意义“”表示数轴上到2和1的距离之和，所以不等式的解集为.方法二：零点分区间讨论如下：①当时，，即，∴.②当时，即，不符合题意；③当时，即，∴.综上所述，不等式的解集为.（2）因为，所以，当且仅当即时取“”.【点睛】本题考查了求绝对值不等式的解集，一般的方法就是根据绝对值的几何意义和零点分区分进行讨论的方法来求解。考查了用基本不等式证明不等式，运用基本不等式，要考虑是定和问题还是定积问题，更要注意的是运用基本不等式要同时满足一正二定三相等这三个条件。6．（2019·四川高三二模（文））[选修45：不等式选讲]已知函数.（I）求函数的定义域；（II）证明：当时，.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明【分析】（Ⅰ）利用真数大于0，列出不等式，讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（Ⅱ）法一：将要证的不等式两边同时平方作差，根据条件判断差的正负即可.法二：由题意知，，则，化简可得，开方即证.【详解】（Ⅰ）由或或或或所以函数的定义域为．（Ⅱ）法一：因为，所以，．故，即所以．法二：当时，∴，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查绝对值的意义及绝对值不等式的解法，考查了综合法证明不等式的方法，属于中档题．7．（2019·云南师大附中高三月考（理））已知函数f(x)=（1）若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；（2）记（1）中m的最大值为M，正数a,b满足a2+b2【答案】（1）实数m的最大值为2；（2）见解析.【分析】（1）将函数f(x)写成分段函数的形式可得最小值，令f(x)min（2）结合（1）知a2+b2【详解】（1）解：由f(x)=−2x+4，x≤0，得f(x)min=4，要使只要|m+2|≤4，即−6≤m≤2，故实数m的最大值为2．（2）证明：由（1）知a2+b2=2，又(a+b)2−4∵0<ab≤1，∴(a+b)2−4∴a+b≥2ab．【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的去绝对值找最值及不等式的证明，具有一定的技巧性，属于中档题.8．（2019·广西南宁三中高三月考（理））已知，且，证明：（1）；（2）.【分析】（1）由展开利用基本不等式即可证得；（2）由条件易知，从而可证，即可证得.【详解】（1）∵,∴,当且仅当时，取得等号.（2）因为，且所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查了不等式的证明，需要一定的技巧性，属于中档题.9．（2018·武邑宏达学校高三期中（理））已知函数.（1）设，求函数的单调区间；（2）若，设为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为，证明：.分析：（1）先求导，再对a分类讨论，利用导数求函数的单调区间.（2）利用分析法证明.详解：(1),①时，定义域为当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增；②时，定义域为当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减.（2），故在定义域上单调递增，只需证，即证,（*）因为，，不妨设则，从而在上单调递减，故，即（*）式.点睛：本题的难点在第（2）问，由于综合法证明比较困难，所以本题利用了分析法解答.对于比较复杂的导数问题，大家在今后的学习中可以借鉴这种方法.（真题/新题）一、单选题1．（2021·浙江高三月考）已知数列满足，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用数列的单调性可判断A选项的正误；利用放缩法得出，，利用放缩法可判断BCD选项的正误.【详解】由，可得出，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，即，所以，数列为单调递增数列，故，A错；在等式的两边同时除以可得，其中且，所以，，，，，累加得，所以，，则，故.故D错误；对于，所以，，，，，累加得，可得，则，所以，，故，.故选：B.【点睛】结论点睛：几种常见的数列放缩公式：（1）；（2）；（3）.2．（2020·武汉大学高三）设函数，则下列错误的是（）A．方程有解B．方程在内解的个数为偶数C．的图像有对称轴D．的图像有对称中心【答案】A【分析】利用三元均值不等式判断A，首先判断函数的周期性，再画出函数图象，数形结合即可判断B，根据周期性公式及对称性公式判断C、D；【详解】解：对于A：考虑时的最大值，故，当时仅当时取到，故A错误；对于B：因为，所以是以为周期的周期函数，函数图象如下所示：所以方程在内解的个数为偶数，故B正确；对于C：因为，所以，，所以，所以为的一条对称轴，故C正确；对于D：因为，所以，，所以，所以为函数的对称中心，故D正确；故选：A二、双空题3．（2021·江苏）已知函数，则当时，函数有最小值，则____________．此时___________．【答案】1011；0【分析】利用绝对值不等式的几何意义知当时，取最小值；将代入即可得解.【详解】，，当且仅当时等号成立.，当且仅当时等号成立.⋮，当且仅当时等号成立.，当且仅当时等号成立.将上面的式子相加得，当且仅当时等号成立.当时，有最小值所以．故答案为：1011；0．【点睛】本题的关键点是对含两个绝对值的不等式的几何意义的理解.三、解答题4．（2021·陕西汉中市·高三月考（理））已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为m，且对任意正数a，b满足，求的最小值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分，和三种情况解不等式即可，（2）由（1）可得的最小值为3，所以，则，化简后利用基本不等式求解即可【详解】解：（1）当时，不等式变为，解得；当时，不等式变为，无解；当时，不等式变为，解得.故不等式的解集为或.（2）由（1）知的最小值为3，所以，则，，当且仅当即，时，等号成立，所以的最小值为.5．（2021·全国高三开学考试（理））已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）设，且当时，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）当时，不等式即，设，零点分域，分，，三种情况去绝对值解不等式即可；（2）当时，分别对和去绝对值，转化为最值问题即可求解.【详解】（1）函数，，当时，不等式，即，设，当时，，可得：当时，，可得：，当时，，可得，综上所述，的解集为．（2）设，且当时，，，若，即，可得：对恒成立，所以，即，解得，所以，所以的取值范围为．6．（2022·云南师大附中高三月考（理））设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据绝对值的定义去掉绝对值符号得分段函数，作出函数图象后可得求得方程的解，再由图象得不等式的解集．（2）由图象得函数的最小值，解相应不等式可得结论．【详解】解：（1）如图所示，当时，，；，，由图可知不等式的解集为（2）由图可知当时，，∴，∴，∴，∴7．（2022·贵州贵阳市·高三开学考试（文））已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，使得，求的取值范围．【答案】（1）或}；（2）答案见解析.【分析】（1）分，，三种情况讨论求解即可；（2）先求，使得时，的取值范围，再求补集即可.【详解】解：（1）当时，．当时，，所以；当时，，不成立；当时，，所以，所以，综上可知，所求解集为或}．（2）要求，使得时，的取值范围，可先求，使得时，的取值范围，，，当时，恒成立；当时，，综上，，使得时，的取值范围为，故，使得时，的取值范围为．8．（2021·浙江省宁海中学高三其他模拟）已知（1）求的取值范围；（2）若，证明：；（3）求所有整数，使得恒成立.注：为自然对数的底数.【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）的值可以是．【分析】（1）分类讨论，，，即可得出结果（2）将原不等式证明转为证明与，构造函数，求导分析单调性，只需证与即可．（3）由原不等式化为，主要求得取值范围即可，由于，构造函数即