专题15利用导数证明多元不等式-《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》2

专题15利用导数证明多元不等式【热点聚焦】从高考命题看，通过研究函数性质与最值证明一元不等式，是导数综合题常涉及的一类问题.而多元不等式的证明则是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何构造、转化合适的一元函数.【重点知识回眸】（一）证明一元不等式主要的方法1.方法一：将含的项或所有项均移至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明.例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式.其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性2.方法二：利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明.（二）证明多元不等式常用方法：（1）消元：①利用条件代入消元②不等式变形后对某多元表达式进行整体换元（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法.（三）常见构造函数方法(1)直接转化为函数的最值问题：把证明f(x)＜g(a)转化为f(x)max＜g(a).(2)移项作差构造函数法：把不等式f(x)＞g(x)转化为f(x)－g(x)＞0，进而构造函数h(x)＝f(x)－g(x).(3)构造双函数法：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函数零点不易求得，即函数单调性与极值点都不易获得，可转化不等式为f(x)＞g(x)利用其最值求解.(4)换元法，构造函数证明双变量函数不等式：对于f(x1，x2)≥A的不等式，可将函数式变为与eq\f(x1,x2)或x1·x2有关的式子，然后令t＝eq\f(x1,x2)或t＝x1x2，构造函数g(t)求解.(5)适当放缩构造函数法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如lnx≤x－1，ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，lnx＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1).ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；当x≥0时，ex≥1＋x＋x2,当且仅当x＝0时取等号；当x≥0时，ex≥x2＋1,当且仅当x＝0时取等号；≤lnx≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；当x≥1时，≤lnx≤，当且仅当x＝1时取等号．(6)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数等．把不等式左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数.(7)赋值放缩法：函数中对与正整数有关的不等式，可对已知的函数不等式进行赋值放缩，然后通过多次求和达到证明的目的.【典型考题解析】热点一换元法，构造函数证明双变量函数不等式【典例1】（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a∈R且a≠0）．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若关于x的方程有两个实数根，且，求证：．【典例3】（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【典例4】（2023·全国·高三专题练习）设函数(1)当时，求的单调区间；(2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明【总结提升】对于双变量函数不等式f(x1，x2)＞A，通过变量代换，把双变量变为一个主元，再构造函数证明不等式．热点二构造“形似”函数证明不等式【典例5】已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.【典例6】（2022·湖北·高三开学考试）已知函数.(1)若函数的最大值为1，求实数的值；(2)证明：当时，.【典例7】已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0平行，求k的值；(2)若对于任意x1，x2∈(0,3]，且x1<x2，都有f(x1)＋<f(x2)＋恒成立，求实数k的取值范围．【规律方法】对双变量函数不等式，可根据条件构造“形似”函数，再判断此函数的单调性，最后根据函数的单调性证明不等式．热点三利用单调性变量转换法，证明不等式【典例8】（2022·全国·高考真题（理））已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．【典例9】（2016·全国·高考真题（理））已知函数有两个零点.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若时，，求的取值范围；(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．【方法总结】涉及自变量不等式证明问题，通过研究函数的单调性，转化为函数值不等关系的证明.【精选精练】1．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知，为自然对数的底数.(1)若是上的单调函数，求实数的取值范围；(2)当时，若有两个正极值点，，证明：.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中m＞0，f'(x)为f(x)的导函数，设，且恒成立．(1)求m的取值范围；(2)设函数f(x)的零点为x0，函数f'(x)的极小值点为x1，求证：x0＞x1．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；(2)设是两个不相等的实数，且．求证：4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处的切线与直线垂直，函数.(1)求实数的值；(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；(3)设是函数的两个极值点，证明：.5．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知函数.(1)证明：.(2)若函数，若存在使，证明：.6．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中．(1)若，讨论的单调性；(2)若．（ⅰ）证明：恰有两个零点；（ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明：．7．（2023·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知函数(1)讨论f(x)的单调性；(2)若，且，证明:.8．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝ex（lnx+a）．(1)若f（x）是增函数，求实数a的取值范围；(2)若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：x1+x2＞2．10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知函数，，．(1)讨论的单调性；(2)设有两个极值点，，证明：．（…为自然对数的底数）11．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知函数．(1)，求实数a的取值范围；(2)，使，求证：．12．（2022·天津·静海一中模拟预测）已知函数，(1)若函数在处的切线也是函数图像的一条切线，求实数a的值；(2)若函数的图像恒在直线的下方，求实数a的取值范围；(3)若，且，证明：>13．（2022·浙江·三模）已知实数，设函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数单调递增，求a的最大值；(3)设是的两个不同极值点，是的最大零点．证明：．注：是自然对数的底数．14．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）已知函数．(1)求的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数满足．（i）求k的取值范围（ⅱ）证明．15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数）有两个零点．(1)若，求在处的切线方程；(2)若的两个零点分别为，证明：．16．（2023·全国·高三