专题03不等式问题中的同构变形策略（学生版）

专题03不等式问题中的同构变形策略专题03不等式问题中的同构变形策略同构，在抽象代数中指一个保持结构的双射，在高中阶段则表示结构或形式相同．在很多不等式问题中，经过同构变形使不等式两侧呈现相同结构，然后构造函数，结合复合函数的单调性，将不等式蕴含的特征与属性清晰明朗地呈现出来，可解决求参数的取值范围、零点的个数、证明不等式等问题，此种解法不妨称为同构法．例如，若能等价变形为，然后利用外层函数的单调性，转化为或．例如：若，则（）．A．B．C．D．分析：由于，设，则，又在上单调递增，则，故选B．同构法变形精巧，体现了数学的和谐对称之美，能够有效培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，成为近年数学研究的热点之一．同构法的关键是同构变形，上例中的变形是容易的，对于较为复杂的同构变形，目标应该指向何方？同构变形又有哪些策略呢？一般的，同构变形最终要归结为一些常见的函数模型，如、等．从构造方式来看，它们都是基本初等函数经过四则运算或复合而成，特别是以和为基础构造的系列函数；从特征来看，这些函数的单调性、极值和最值等属性容易讨论同构变形的策略灵活多样，常见的有移项、取对数、幂函数与指数式的互化等，以下举例说明．策略一：借助移项、四则运算等同构变形对于较为简单的多项式函数，可根据题设条件，通过移项、四则运算等变形，直至不等式两侧呈现相同的结构，之后引进新函数，利用函数的单调性解决问题．例1若，则（）A．B．C．D．解：由题意得．设，则，又在上单调递增，则，则．选A．例2已知函数在区间内任取两个实数p、q，且，不等式恒成立，求实数a的取值范围．解：不妨设，则不等式变形为．设，则恒成立，所以在上单调递减，从而在区间上恒成立，即在区间上恒成立，易得．点评：例2中通过对已知不等式变形，使不等式两边结构相同，适时引入函数，进而将问题转化为不等式恒成立问题，通过分离参数可轻松获解．策略二：借助取对数运算同构变形数据处理中，我们经常对原始数据取对数，然后再作出处理．依据主要有二，一是通过取对数可以大幅压缩数据的绝对数值，数据更趋平稳．本质上是：当x的取值很大时，对数函数变化速度非常缓慢；二是通过取对数降低运算的维度．由于，，，，，取对数后，乘方运算转化成了乘法计算，乘法运算则转化成了加法计算．对于两边均是指数型不等式，可考虑通过取对数，将指数问题转化为对数问题，降低思维难度．例3已经，求证：．解：因为，所以，只需证明，即，从而．设，又，所以在上单调递减，又，所以，即．所以．策略三借助恒等式代换同构变形由对数的概念易知等式成立，我们常常利用该式简化计算．但逆向观察该式，则有，特殊的，可以发现幂函数式可等价变形为指数式，必要时实施此代换，可将一些结构不良的不等式变形为不等式两边相同的结构特征，然后引入新函数求解．例4已知函数．若，求a的取值范围．解：的定义域是，若，即，亦即，从而，即不等式在上恒成立．设，则在R上单调递增，又，所以．从而．设，，当时，；当时，，故当时，有极大值，也是最大值．所以，得．点评：本题的难点是将不等式进行变形，利用恒等式和代换，实现幂函数、指数函数、对数函数式之间的相互转化，使不等式变形为更协调的形式，然后构造函数，利用的单调性，将问题简化为恒成立问题．例5设，若存在，使得不等式成立，求k的取值范围．解：由得，不等式的两边同时乘以得，即．设，则，又在上单调递增，所以，进而．设，，当时，单调递增；当时，单调递减，故，从而．点评：利用恒等式，将变形为，此时不等式两边的结构一致，然后引入函数，利用在上单调递增得，通过分离参数转化为函数的最值问题．例6设实数，对任意的，不等式恒成立，求的取值氛围；解：由题意得入，不等式的两边同时乘以得，即，设，则，又，当时，单调递增，所以入，进而．设，当时，单调递增；当时，单调递减，故，从而．点评：与例5类似，利用恒等式，将不等式入同构变形为，之后水到渠成的构造函数，利用在上单调递增得，再通过分离参数转化为的最大值问题．结合上述几例可知，掌握以下要点对于同构变形有益的：第一，“函数模型”要储备完善．同构变形往往归结为一些常见的函数模型，如等．熟练掌握这些函数模型的性质（尤其是单调性），可有效加快解题的进程；第二，熟悉同构变形的常用技巧，如移项、取对数、利用恒等式代换等．特别是取对数和利用恒等式代换，体现了指数函数、对数、幂函数三个基本初等函数之间的内在关联，内涵丰富，意蕴悠长．然而，同构变形技巧性强，需要学生具备较全面的知识储备、较高的关键能力和素养，而这些显然不是一朝一夕就能轻松练就的．教师要通过典型题目的剖析讲评，结合题设条件将被破坏的结构进行还原变形，直至不等式同构形式，然后选择构造新函数，结合函数的单调性等性质简化不等式，即将原不等式中蕴含的内在规律外显化，揭示问题的丰富背景和内涵，让学生在惊讶于同构法巨大威力的同时，又不会感到其玄妙莫测和出其不意．通过对解题过程的思维分析，留住知识之“根”，方法之“根”，价值之“根”和本质之“根”．专题强化训练1．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．2．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．3．已知对任意给定的，存在使成立，则实数的取值范围为：__________．4．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______．5．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______.6．不等式的解集为____．7．已知函数，，则t的取值范围是_______．8．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为__________．9．如果，则的取值范围是___________．10．已知函数，若，求的取值范围