《空间直角坐标系》教案(人教A版)

4.3《空间直角坐标系》教案【教学目标】1.了解空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示；2.通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式。【导入新课】问题导入我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数SKIPIF1<0表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数SKIPIF1<0表示。那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组SKIPIF1<0表示出来呢？新授课阶段1.空间直角坐标系的建立点M对应着唯一确定的有序实数组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是P、Q、R在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴上的坐标。如果给定了有序实数组SKIPIF1<0，它对应着空间直角坐标系中的一点。反之亦然。空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组SKIPIF1<0来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记MSKIPIF1<0，SKIPIF1<0叫做点M的横坐标，SKIPIF1<0叫做点M的纵坐标，SKIPIF1<0叫做点M的竖坐标。例1点M（－2，4，5）在xoy平面，yoz平面，xoz平面上的射影分别是（）A．（0，4，5），（－2，0，5），（－2，4，0）B．（－2，4，0），（0，4，5），（－2，0，5）C．（－2，0，5），（－2，4，0），（0，4，5）D．（0，4，0），（－2，0，0），（0，4，0）【解析】因为xoy平面内的点，z=0．因此答案选择B。【答案】B2.空间中两点间的距离公式类比平面内的两点间的距离公式在平面上任意两点ASKIPIF1<0，BSKIPIF1<0之间距离的公式为|AB|=SKIPIF1<0，那么对于空间中任意两点ASKIPIF1<0，BSKIPIF1<0之间距离的公式如何？空间中任意点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0例2已知球心C（1，1，2），球的一条直径的一个端点为A（－1，2，2），求该球的表面积及该直径的另一个端点的坐标。解：因直径两端点关于球心对称，设另一端点的坐标为（x,y,z)则eq\f(－1＋x,2)=1，x=3；eq\f(2＋y,2)=1，y=0；eq\f(2＋y,2)=2，y=2．故直径的另一个端点的坐标为（3，0，2）球的半径r2=(1＋1)2＋(1－2)2＋(2－2)2=5球的面积为20π．课堂小结1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标．3．探索并得出空间两点间的距离公式，会求空间两点间的距离．作业见同步练习部分拓展提升1．以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点的坐标为A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))2．空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为eq\r(30)的点有()A．2个B．1个C．0个D．无数个3．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形4．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(6),3)5．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是________．6．已知平行四边形ABCD的两个顶点的坐标分别为A(2，－3，－5)和B(－1,3,2)，对角线的交点是E(4，－1,7)，则C，D的坐标分别为____________．7．在平面直角坐标系中，由点A(a,0)，B(0，b)(ab≠0)确定的直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，类比到空间直角坐标系中，由A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)(abc≠0)确定的平面的方程可以写成________________________________________________________________________．8如图K49－1，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求MN的长。图K49－19.已知点A(1,1,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由。参考答案1．C【解析】点C的坐标为(1,1,0)，点C1的坐标为(1,1,1)，故中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).故选C。2．A【解析】设满足条件的点为(x,0,0)，代入两点间距离公式：eq\r(x－42＋0－12＋0－22)＝eq\r(30)，解得x＝9或x＝－1，所以满足条件的点为(9,0,0)或(－1,0,0)．故选A。3．C【解析】由两点间距离公式可得|AB|＝eq\r(89)，|AC|＝eq\r(75)，|BC|＝eq\r(14)，从而|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC是直角三角形．故选C。4．A【解析】设该定点的坐标为(x，y，z)，则有x2＋y2＝1，y2＋z2＝1，z2＋x2＝1，三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝3.所以该点到原点的距离为d＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2).故选A。5．(2,0,3)【解析】M在xOz平面上的射影为M′(－2,0，－3)，所以M′关于原点对称点的坐标为(2,0,3)。6．(6,1,19)，(9，－5,12)【解析】点E分别是点A与点C、点B与点D的中点，由中点公式可得C，D的坐标分别为：(6,1,19)，(9，－5,12)。7.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1【解析】通过直线方程的结构形式，可以类比得出平面的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1。8．【解析】如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系。因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′中点O′，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，a)).因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(3a,4)，a))。根据空间两点距离公式，可得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(3a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\