广东省珠海市香洲区2021-2022学年八年级上学期期中数学试题(含答案与解析)

广东省珠海市香洲区2021~2022学年八年级（上）期中试卷数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡指定位置。2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答案，用0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。答案答在试题卷上无效。3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1.下面四个垃圾分类图标中的图案，可看作轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A. B.C. D.3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用几何原理是（）A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线 D.垂线段最短4.已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为A.6 B.7 C.8 D.95.如图，在中，AC边上高是（）A.线段AD B.线段BE C.线段BF D.线段CF6.如果一个等腰三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长是（）A.9 B.12 C.9或12 D.不确定7.如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（）A. B. C. D.8.如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC≌ADC是（）A.∠B＝∠D＝90° B.∠BAC＝∠DAC C.∠BCA＝∠DCA D.CB＝CD9.如图，ABC≌ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是（）A.80° B.60° C.40° D.20°10.如图，在中，，，平分线与垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点O恰好重合，有如下五个结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．则上列说法中正确的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题11.在平面直角坐标系中，点P(3，﹣2)关于y轴对称的点的坐标是____．12.已知，，，则______．13.如图，AD、BE分别是ABC的高，AC＝9，BC＝12，BE＝10．则AD＝________．14.如图，在RtABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若BC＝5，BD＝2，则点D到AB的距离是_____．15.如图，已知△ABC的面积为12，D是BC的三等分点，E是AC的中点，那么△CDE的面积是_____．16.如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．17.如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有____个．三、解答题18.如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．19.如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．（1）尺规作图：作AB边的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BD，若AD＝5，求CD的长．20.如图，在ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．若∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．21.按要求完成作图：（1）作出ABC关于y轴对称的图形DEF；（2）求ABC的面积；（3）在y轴上找点P，使得PAC周长最小，画图并写出点P的坐标．22.如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．（1）写出图中所有的等腰三角形；（2）若∠AED=114°，求∠ABD和∠ACB的度数．23.如图，在ABC中，点D、E在边BC上，BD＝CE，DM⊥AC，垂足为M，EN⊥AB，垂足为N，DM与EN交于点P，且BN＝CM．（1）求证：PD＝PE；（2）连接AP，并延长AP交BC于Q，求证：过点A、P的直线垂直平分线段BC．24.如图，把等边三角形ABC的边AB绕点A顺时针旋转α度（0＜α＜120）得到线段AD，连接CD交∠BAD的角平分线于点E，连接BE．（1）求证：BE=DE；（2）求∠AEC度数；（3）若CE=8，AB=5，求ADE的周长．25.如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上．AC与y轴交于点E，D为AC中点，连接BD，OD．（1）若点C的横坐标为﹣3，求点B的坐标；（2）若OA平分∠BAC，BE＝6，求BCE的面积；（3）求∠DOE的度数．参考答案一、选择题1.下面四个垃圾分类图标中的图案，可看作轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、2+5＜8，不能组成三角形；B、7+24＞25，能够组成三角形；C、3+3=6，不能组成三角形；D、1+2=3，不能组成三角形．故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线 D.垂线段最短【答案】A【解析】【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．【详解】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，属于基础题型．4.已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【详解】【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．【详解】正多边形的一个外角等于，且外角和为，则这个正多边形的边数是：，故选D．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．5.如图，在中，AC边上的高是（）A.线段AD B.线段BE C.线段BF D.线段CF【答案】B【解析】【分析】根据三角形的高解答即可．【详解】解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE，

故选：B．【点睛】本题考查了三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．6.如果一个等腰三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长是（）A.9 B.12 C.9或12 D.不确定【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理确定这个三角形的第三边长，由此即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当长为2的边是这个等腰三角形的腰时，则这个三角形的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系定理，因此2不能是这个等腰三角形的腰长；（2）当长为5的边是这个等腰三角形的腰时，则这个三角形的三边长分别为，此时，满足三角形的三边关系定理，因此这个三角形的周长是；综上，这个三角形的周长是12，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理，熟记等腰三角形的定义是解题关键．7.如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等边三角形三线合一即可求出，．再由等腰三角形的性质可求出，最后即可求出．【详解】∵是等边三角形，且AD为中线．∴，，∵，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查等边三角形和等腰三角形的性质．掌握等边三角形三线合一是解答本题的关键．8.如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC≌ADC的是（）A.∠B＝∠D＝90° B.∠BAC＝∠DAC C.∠BCA＝∠DCA D.CB＝CD【答案】C【解析】【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、AC⊥BD后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．【详解】解：A、添加∠B=∠D=90°，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；D、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（适合于直角三角形）．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9.如图，ABC≌ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是（）A.80° B.60° C.40° D.20°【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，进而求出∠BAD，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：设AD与BC交于点G，∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，∴∠BAD＋∠CAE＝135°−55°＝80°，∴∠BAD＝∠CAE＝40°，∵∠B＝∠D，∠BGA＝∠DGF，∴∠CFE＝∠DFB＝∠BAD＝40°，故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．10.如图，在中，，，平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点O恰好重合，有如下五个结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．则上列说法中正确的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】利用三线合一可判断①；由折叠的性质可判断④；根据垂直平分线的性质得到OA=OB，从而计算出∠ACB=∠EOF=63°，可判断③；证明△OAB≌△OAC，得到OA=OB=OC，从而推出∠OEF=54°，可判断⑤；而题中条件无法得出OD=OE，可判断②．【详解】解：如图，连接OB，OC，∵AB=AC，OA平分∠BAC，∠BAC=54°，∴AO⊥BC（三线合一），故①正确；∠BAO=∠CAO=∠BAC=×54°=27°，∠ABC=∠ACB=×（180°-∠BAC）=×126°=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，即∠OAB=∠OBA=27°，则∠OBC=∠ABC-∠OBA=63°-27°=36°≠∠OBA，由折叠可知：△OEF≌△CEF，故④正确；即∠ACB=∠EOF=63°≠60°，OE=CE，∠OEF=∠CEF，∴△OEF不是等边三角形，故③错误；在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（SAS），∴OB=OC，又OB=OA，∴OA=OB=OC，∠OCB=∠OBC=36°，又OE=CE，∴∠OCB=∠EOC=36°，∴∠OEC=180°-（∠OCB+∠EOC）=180°-72°=108°，又∠OEC=∠OEF+∠CEF∠OEF=108°÷2=54°，故⑤正确；而题中条件无法得出OD=OE，故②错误；∴正确的结论为①④⑤共3个，故选B．【点睛】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及全等三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．二、填空题11.在平面直角坐标系中，点P(3，﹣2)关于y轴对称的点的坐标是____．【答案】（−3，−2）【解析】【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相同，进而得出答案．【详解】解：点P（3，−2）关于y轴对称的点的坐标是（−3，−2）．故答案为：（−3，−2）．【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．12.已知，，，则______．【答案】60【解析】【分析】根据全等三角形的性质求出∠B，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠E=80°，

∴∠B=∠E=80°，

在△ABC中，∠C=180°-40°-80°=60°，

故答案为：60．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．13.如图，AD、BE分别是ABC的高，AC＝9，BC＝12，BE＝10．则AD＝________．【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式即可求得．【详解】∵AD、BE分别是△ABC的高，∴S△ABC＝AC•BE＝×9×10＝45，S△ABC＝BC•AD，∴BC•AD＝45，∴AD＝．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积＝×底×高．14.如图，在RtABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若BC＝5，BD＝2，则点D到AB的距离是_____．【答案】3【解析】【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H．证明DC＝DH＝3，可得结论．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，∴DC＝DH＝BC-BD=3，故答案：3．【点睛】本题考查作图−基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．15.如图，已知△ABC的面积为12，D是BC的三等分点，E是AC的中点，那么△CDE的面积是_____．【答案】4或2．【解析】【分析】分为两种情况：①当CD=2BD时，②当BD=2CD时，先求出△ADC的面积，再求出△CDE的面积即可．【详解】①当CD=2BD时．∵△ABC的面积为12，∴△ADC的面积为12=8．∵E为AC边的中点，∴CEAC，∴△CDE的面积为8=4；②当BD=2CD时．∵△ABC的面积为12，∴△ADC的面积为12=4．∵E为AC边的中点，∴CEAC，∴△CDE的面积为4=2．故答案为：4或2．【点睛】本题考查了三角形的面积，能灵活运用等高的三角形的面积比等于对应的边的比进行计算是解答此题的关键．16.如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．【答案】72°【解析】【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．【详解】∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，故答案为72°．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键17.如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有____个．【答案】5【解析】【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．【详解】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG，△CDF，△AEF，△DBH，△BCG共5个，

故答案为5.【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．三、解答题18.如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．【答案】见解析【解析】【分析】证明△AEC≌△BED（ASA），可得AC=BD．【详解】解：证明：∵E是AB的中点，∴AE=BE，在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA），∴AC=BD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．19.如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．（1）尺规作图：作AB边的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BD，若AD＝5，求CD的长．【答案】（1）图见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的画法求出即可；（2）利用线段垂直平分线的性质以及直角三角形中30°所对边与斜边的关系，进而求出即可．【详解】解：（1）如图所示：DE为所求；（2）∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD=5，∵∠A＝30°，∴∠DBA＝30°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝．【点睛】此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，得出BD＝5是解题关键．20.如图，在ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．若∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．【答案】15°【解析】【分析】根据垂直定义由AD⊥BC得∠ADC＝90°，再利用角平分线定义得∠EAC＝∠BAC，然后根据三角形内角和定理得∠BAC＝180°−∠B−∠C，∠DAC＝90°−∠C，则∠DAE＝（∠B−∠C），故可求解．【详解】解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADC＝90°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC，而∠BAC＝180°−∠B−∠C，∴∠EAC＝90°−∠B−∠C，∵∠DAC＝90°−∠C，∴∠DAE＝∠DAC−∠EAC＝90°−∠C−（90°−∠B−∠C）＝（∠B−∠C）=（70°−40°）＝15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的性质，解题的关键是熟知三角形内角和是180°．21.按要求完成作图：（1）作出ABC关于y轴对称的图形DEF；（2）求ABC的面积；（3）在y轴上找点P，使得PAC周长最小，画图并写出点P坐标．【答案】（1）图见解析（2）（3）图见解析，P（0，3）【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；（2）割补法求解可得；（3）找到点C关于y轴的对称点F，连接AF交y轴于点P，P即为所求，再求出AF的解析式，故可求出P点坐标．【详解】解：（1）如图所示，DEF即为所求．（2）△ABC的面积＝＝，（3）如图，∵作点C关于y轴的对称点F，连接AF交y轴于点P，P即为所求，此时PA＋PC最小，故PAC周长AC+PC+AP最小∵C（2，5），∴F（2，5）又A（1，2）设直线AF的解析式为y=kx+b把F（2，5）、A（1，2）代入得解得∴直线AF的解析式为y=-x+3令x=0，得y=3∴P（0，3）．【点睛】本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义与性质、最短路线问题及一次函数的解析式的求解方法．22.如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．（1）写出图中所有的等腰三角形；（2）若∠AED=114°，求∠ABD和∠ACB的度数．【答案】（1）△ABC，△BCD，△BED；（2）∠ABD=48°，∠ACB=76°【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两底角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，即可找出图中所有的等腰三角形；（2）根据邻补角性质可求得∠BED＝66°，在△BED中可求得∠ABD＝180°−2∠BED＝48°，设∠ACB＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x°，求得∠A＝180°−2x°，又根据三角形外角的性质得出∠BDC＝∠A＋∠ABD，则x＝180−2x＋48，求得∠ACB＝76°．【详解】（1）解：（1）∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵BE＝BD＝BC，∴△BCD，△BED是等腰三角形；∴图中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED；（2）∵∠AED=114°，∴∠BED=180°－∠AED=66°．∵BD=BE，∴∠BDE=∠BED=66°，∴∠ABD=180°－66°×2=48°．设∠ACB=x°，∴∠ABC=∠ACB=x°，∴∠A=180°－2x°．∵BC=BD，∴∠BDC=∠ACB=x°．又∵∠BDC为△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD，∴x=180－2x+48，解得：x=76，∴∠ACB=76°．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，能灵活利用三角形内角和定理和外角定理完成角之间的转换是解题关键．23.如图，在ABC中，点D、E在边BC上，BD＝CE，DM⊥AC，垂足为M，EN⊥AB，垂足为N，DM与EN交于点P，且BN＝CM．（1）求证：PD＝PE；（2）连接AP，并延长AP交BC于Q，求证：过点A、P的直线垂直平分线段BC．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先利用直角三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据等腰三角形的三线合一即可得证．【详解】证明：（1），，即，，和都直角三角形，在和中，，，，；（2）如图，连接，并延长交于，由（1）已证：，，，，即，在和中，，，，即是的角平分线，又，是等腰三角形，垂直平分线段（等腰三角形的三线合一），过点、的直线垂直平分线段．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两组全等三角形是解题关键．24.如图，把等边三角形ABC的边AB绕点A顺时针旋转α度（0＜α＜120）得到线段AD，连接CD交∠BAD的角平分线于点E，连接BE．（1）求证：BE=DE；（2）求∠AEC的度数；（3）若CE=8，AB=5，求ADE的周长．【答案】（1）见解析；（2）∠AEC=60°；（3）△ADE的周长为13．【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ADE△ABE，即可证明BE=DE；（2）先根据旋转的性质和等边三角形得：AD=AC，∠D=60°-α，由角平分线的定义得∠DAE=α，最后由三角形外角的性质可得结论；（3）在EC上取一点F，使EF=EA，连接AF，证明△AEF是等边三角形，再证明△ABE△ACF，进一步求解即可．【详解】（1）证明：∵AE为∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠BAE，在△ADE和△ABE中，，∴△ADE△ABE(SAS)，∴BE=DE；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，由旋转得：AB=AD，∠BAD=α，∴AD=AC，∴∠D=∠AC