2023-2024学年重庆市主城区四区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市主城区四区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的第50百分位数为(

)A.30 B.31 C.32 D.362.若复数z满足z+2z−=6−3i，则zA.−72+52i B.53.已知向量a=(1,−1)，b=(1,3)，则a与b夹角的余弦值为(

)A.−55 B.55 4.某小区花园内现有一个圆台形的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为3，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为2，则这个圆台的表面积为(

)A.913π B.42π C.(45+95.掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则1−P(A∩B)=(

)A.18 B.14 C.126.某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，全校2000名学生每人都参加且只参加其中二个社团，校团委从这2000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的两个统计图：

则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为(

)A.20 B.30 C.40 D.457.在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2，AD=2，CD=1，∠BAD=45°，P，Q分别为线段AD和线段AC上(包括线段端点)的动点，则AP⋅AQA.25 B.22 C.8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形CDD1C1内(A.86π B.24π C.18π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i是虚数单位，复数z1=(m−1)−(m+1)i，m∈R，z2=cosθ+isinθ，θ∈RA.z1的虚部为m+1 B.z2的实部为cosθ

C.当m=1时，z1是纯虚数 D.对任意10.对于两个平面α，β和两条直线m，n，则下列说法正确的是(

)A.若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α

B.若m//α，α⊥β，则m⊥β

C.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

D.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β11.已知函数f(x)=|sinx+cosx|−sinxcosx，则下列说法正确的是(

)A.f(x)是以π为周期的周期函数

B.f(x)在[π,54π]上单调递减

C.f(x)的值域为[0,1]

D.存在两个不同的实数a∈(0,3)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,3)，b=(x,2x−1)，若a//b，则x13.已知sin(x−π4)=55，14.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在该正方体的表面上运动，且PB=x(0≤x≤23)，记点P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

从学校高一的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生的成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85)，…，第八组[135,145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

(1)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分；

(2)若从样本成绩属于第一组和第七组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值不低于50分的概率．16.(本小题15分)

甲、乙、丙三人组成一组，参加篮球3分投篮团体赛.三人各自独立投篮，其中甲每次投篮成功的概率为13，甲、乙各投一次都投篮成功的概率为112，乙、丙各投一次都投篮成功的概率为110.每人各投一次投篮成功得3分，三人得分之和记为小组团体总分．

(1)求乙、丙每次投篮成功的概率分别是多少；

(2)求团体总分不低于3分的概率；

(3)17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，ABCD为矩形，E为PC的中点，平面PAD⊥平面ABCD，AB=4，PA=PD=AD=22．

(1)证明：PA//平面BDE；

(2)证明：AP⊥CD；

(3)求三棱锥C−BDE的体积．18.(本小题17分)

在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知2a−c=2bcosC．

(1)求B的大小；

(2)求a+bc的取值范围．19.(本小题17分)

对于数集X={−1,x1,x2,…,xn}，其中0<x1<x2<…<xn，n≥2，定义向量集Y={a|a=(s,t),s∈X,t∈X}．

(1)设X={−1,2,3}，请写出向量集Y；

(2)对任意a1∈Y，存在a2∈Y(a1≠a2)，使得a1=λa2，λ∈R，则称X具有性质P.若1<x<2，集合{−1,1,x,2}是否具有性质P，若具有，求参考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.D

6.A

7.D

8.A

9.BCD

10.AC

11.BD

12.−1

13.−414.3π

215.解：(1)由频率分布直方图知第七组的频率为：

1−(0.004+0.012+0.016+0.020+0.030+0.006+0.004)×10=0.08，

平均分数为：

70×0.04+80×0.12+90×0.16+100×0.3+110×0.2+120×0.06+130×0.08+140×0.04=102(分)；

(2)样本成绩属于第一组有0.004×10×50=2人，设为a，b，

样本成绩属于第一组有0.08×50=4人，设为1，2，3，4，

要使选取的2人的分差的绝对值不低于50分，则这两人来自不同的组，

从这6人中随机抽取2名，取法有ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34，共15种，

其中来自不同的组有a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，共8种，

所以所求概率为815．16.解：(1)设甲、乙、丙每次投篮命中的概率分布为P1，P2，P3，

则P1=13，P1P2=112，P2P3=110，

∴P2=14，P3=25，

∴乙、丙每次投篮成功的概率分别是117.解：(1)证明：如图，连接AC∩BD=F，连接EF，

又E为PC的中点，

∴PA/​/EF，又PA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，

∴PA/​/平面BDE；

(2)证明：∵底面ABCD为矩形，

∴CD⊥AD，又CD⊂平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，

且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴CD⊥平面PAD，又AP⊂平面PAD，

∴AP⊥CD；

(3)如图，过P作PH⊥AD于点H，又平面PAD⊥平面ABCD，

∴PH⊥平面ABCD，

∵PA=PD=AD=22，

∴H为AD的中点，且PH=6，

∴三棱锥C−BDE的体积为：

VE−BCD=18.解：(1)因为2a−c=2bcosC，由正弦定理可得2sinA−sinC=2sinBcosC，

在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以2cosBsinC−sinC=0，

又因为sinC>0，

可得cosB=12，因为B∈(0,π)，

可得B=π3；

(2)由正弦定理可得：a+bc=sinA+sinBsinC=sin(C+B)+sinπ3sinC=sin(C+π3)+sinπ3sinC

=12sinC+32cosC+32sinC=12+32sinC+32tanC=12+3(1+cosC)2sinC=12+319.解：(1)由题意，可得Y={(−1,−1)，(−1,2)，(−1,3)，

(2,−1)，(2,2)，(2,3)，(3,−1)，(3,2)，(3,3)}；

(2)假设存在，因为a1=λa2，得a1//a2，

当a1=(1,2)时，设a2=(m,n)，则2m=n，

而集合{−1,1,x,2}，1<x<2中，只有2=2×1，

所以只能是n=2，m=1，此时a1=a2，这与已知矛盾，

所以集合{−1,1,x,2}不具有性质P；

(3)证明：因为x具有性质t，取a=