专题21坐标系与参数方程（解析版） - 大数据之十年高考真题（2014-2025）与优 质模拟题（新高考卷与全国理科卷）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷）专题21坐标系与参数方程1．【2024年甲卷理科第22题】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcos(1)写出C的直角坐标方程；(2)设直线l：x=ty=t+a（t为参数），若C与l相交于A、B两点，若AB=2【答案】(1)y(2)a=【详解】（1）由ρ=ρcosθ+1，将ρ=故可得x2+y（2）对于直线l的参数方程消去参数t，得直线的普通方程为y=x+a.法1：直线l的斜率为1，故倾斜角为π4故直线的参数方程可设为x=22s将其代入y2=设A,B两点对应的参数分别为s1且Δ=8a−∴AB=s法2：联立y=x+ay2=Δ=(2a−设Ax1,则AB=解得a=2．【2023年新课标全国Ⅰ卷第22题】在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0,12的距离，记动点P的轨迹为(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33【答案】(1)y=(2)见解析【详解】（1）设P(x,y),故W:（2）法一：设矩形的三个顶点Aa,a2+14,B

则kAB⋅kBC同理令kBC=b+c=n>0，且mn=−设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|≥则12C=则令f(令f'(x)当x∈0,22时，f'当x∈22,1，f'则f(故12C≥274当C=33时,n=22,m=−2,得证.法二：不妨设A,B,D在

依题意可设Aa,a2+14则设BA,DA的斜率分别为k和−1k，由对称性，不妨设直线AB的方程为y=k(则联立y=x2+Δ=k则|AB同理|AD∴≥令k2=m，则m∈0,1则f'(m)=当m∈0,12时，f'当m∈12,+∞，则f(∴|但1+k2|k−2a法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线W矩形ABCD变换为矩形A'B'C'D',则问题等价于矩形A'B'C'D'的周长大于33设B't0,t则kA'B'=t1+t由于A'B'=1+t1+t0则A'B'+Bt1+t0=−A故①当θ∈0,π②当θ∈π4,π2时,由于从而−cotθ2故0≤t0>=≥2当且仅当cosθ=33时等号成立，故A

.3．【2023年高考全国乙卷理第22题】在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθπ4≤θ≤π2(1)写出C1(2)若直线y=x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求【答案】(1)x(2)−∞【详解】（1）因为ρ=2sinθ，即ρ2整理得x2+y−又因为x=ρcos且π4≤θ≤π2，则故C1（2）因为C2:x=2cosα整理得x2+y如图所示，若直线y=x+m过1,1，则1=1+m若直线y=x+m，即x−y+m=0与C2相切，则m2若直线y=x+m与C1,C2均没有公共点，则即实数m的取值范围−∞,0

4．【2023年高考全国甲卷理第22题】已知点P(2,1)，直线l:x=2+tcosαy=1+tsinα（t为参数），α为l的倾斜角，(1)求α；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．【答案】(1)3π(2)ρ【详解】（1）因为l与x轴，y轴正半轴交于A,B两点，所以令x=0，t1=−2cos所以PAPB=t即2α=π2因为π2<α<π（2）由（1）可知，直线l的斜率为tanα=−1，且过点所以直线l的普通方程为：y−1=−x−由x=ρcosθ,y=ρsin5．【2022年高考全国乙卷理第22题】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cos2ty=2sint，（t为参数），以坐标原点为极点，(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．【答案】(1)3(2)−【详解】（1）因为l：ρsinθ+π又因为ρ⋅sinθ=y,整理得l的直角坐标方程：3（2）[方法一]：【最优解】参数方程联立l与C的方程，即将x=3cos2t，y=可得3cos2t+化简为−6si要使l与C有公共点，则2m=令sint=a，则a∈−1,1，令f对称轴为a=1∴f(f(∴−196≤2m≤[方法二]：直角坐标方程由曲线C的参数方程为x=3cos2ty=2sint，联立3x+y+2m=0y2=−233x+2，得6．【2022年高考全国甲卷理第22题】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6y=t（t为参数），曲线(1)写出C1(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C3与【答案】(1)y2(2)C3,C1的交点坐标为12,1，1,2，【详解】（1）因为x=2+t6，y=t，所以x=2（2）因为x=−2+s6,y=−s，所以由2cosθ−sinθ=0⇒联立y2=6x−2y≥02x−y=联立y2=−6x−2y≤02x−y=7．【2021年高考全国乙卷理第22题】在直角坐标系xOy中，⨀C的圆心为C2,1（1）写出⨀C的一个参数方程;（2）过点F4,1作⨀C的两条切线．以坐标原点为极点，x【答案】（1）x=2+cos（2）ρsinθ+5【详解】（1）由题意，⨀C的普通方程为(x−所以⨀C的参数方程为x=2+cos（2）[方法一]：直角坐标系方法①当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，此时圆心到直线的距离为2②当切线斜率存在时，设其方程为y=k(x−4)故|2k−1−4k+所以切线方程为y=33(两条切线的极坐标方程分别为ρsinθ=3即ρsinθ+5[方法二]【最优解】：定义求斜率法如图所示，过点F作⨀C的两条切线，切点分别为A，B．

在△ACF中，tan∠AFC=ACAF=33，又CF故切线的方程为y=33(x−4)+1即ρsinθ+58．【2021年高考全国甲卷理第22题】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为1,0，M为C上的动点，点P满足AP=2AM，写出Р的轨迹C1的参数方程，并判断【答案】（1）x−22+y2=2；（2）P的轨迹C1的参数方程为【详解】（1）由曲线C的极坐标方程ρ=22cos将x=ρcosθ,y=ρsin即曲线C的直角坐标方程为x−2（2）[方法一]【最优解】设Px,∵AP∴x−则x−1=2故P的轨迹C1的参数方程为x=3−∵曲线C的圆心为2,0，半径为2，曲线C1的圆心为则圆心距为3−22，∵故曲线C与C1[方法二]：设点P的直角坐标为(x,y)，M(所以AP=(x−1,y由AP=即x−1解得x1所以M(22(x−1)+化简得点P的轨迹方程是(x−3+2)化为参数方程是x=3−2计算|C所以圆C与圆C19．【2020年新课标Ⅲ卷理科第22题】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2−t−t2，y=2−3t+t（1）求|AB|：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.【答案】（1）410（2）【详解】（1）令x=0，则t2+t−2=0，解得t=−2令y=0，则t2−3t+2=0，解得∴AB（2）由（1）可知kAB则直线AB的方程为y=3(x+4)由x=ρcosθ,y=ρsin10．【2020年新课标Ⅱ卷理科第22题】已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：x=4cos2θ，y=4sin2θ（（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.【答案】（1）C1:x+y=40【详解】(1)[方法一]：消元法由cos2θ+sin由参数方程可得x+y=2两式相乘得普通方程为x2[方法二]【最优解】：代入消元法由cos2θ+sin由参数方程可得t=x+y代入x=t+1t中并化简得普通方程为(2)[方法一]：几何意义+极坐标将x=t+1t,y=t−1t代入x+y=4设P点的极坐标为Pρ由ρ2=x2+y2故所求圆的直径为2r=所求圆的极坐标方程为ρ=2rcos[方法二]：由x+y=4,x2−y2=因为|OP设圆C的极坐标方程为ρ=2acos从而342=2故所求圆的极坐标方程为ρ=17[方法三]：利用几何意义由x+y=4,x2−y2=化为极坐标为P342,如图，设所求圆与极轴交于E点，则∠OPE=90所以OE=OPcosα[方法四]【最优解】：由题意设所求圆的圆心直角坐标为(a,0)，则圆的极坐标方程为联立x+y−4=0,x2设Q为圆与x轴的交点，其直角坐标为Q(2a,0)又因为点P,O(0,0),所以OP⋅PQ=所以所求圆的极坐标方程为ρ=17[方法五]利用几何意义求圆心由题意设所求圆的圆心直角坐标为(a则圆的极坐标方程为ρ=2联立x+y−4=0即P点的直角坐标为P5所以弦OP的中垂线所在的直线方程为10x+将圆心坐标代入得10a+6×所以所求圆的极坐标方程为ρ=1711．【2020年新课标Ⅰ卷理科第22题】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=coskt,y=sin（1）当k=1时，C（2）当k=4时，求C1与【答案】（1）曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）(【详解】（1）当k=1时，曲线C1的参数方程为两式平方相加得x2所以曲线C1（2）当k=4时，曲线C1的参数方程为所以x≥0,y≥0，曲线C两式相加得曲线C1方程为x得y=1−曲线C2的极坐标方程为4曲线C2直角坐标方程为4联立C1,C整理得12x−32x+13∴x=14,y=112．【2019年新课标Ⅲ卷理科第22题】如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,π4)，C(2,3π4)，D(2,π)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,π（1）分别写出M1，M2，（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|【答案】(1)ρ=2cosθ(θ∈[0,(2)(3,π6),(【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.M1M2:ρ=(2)解方程2cosθ=3(θ∈解方程2sinθ=3(θ∈[π4,解方程−2cosθ=3(故P的极坐标为(3,π6),(13．【2019年新课标Ⅱ卷理科第22题】在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)（1）当θ0=π3时，求（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）ρ0=23，l【详解】（1）因为点M(ρ0所以ρ0即M(23,因为直线l过点A(4,0)且与OM所以直线l的直角坐标方程为y=−33(因此，其极坐标方程为ρcosθ+3ρsin（2）[方法一]【交轨法】由题可得OM的直线方程为y=kx，直线l方程为y=−1k(x−4)．设点P(x,y)，联立两直线的方程消去k，得点P轨迹方程为[方法二]【利用数量积为0求得直角坐标方程，然后计算极坐标方程】设P(x,y)，由题意可知OP⋅AP=0，所以(x,y)⋅(x−4,y)故点P轨迹的极坐标方程为ρ=4cos[方法三]【最优解：利用斜率之积为−1设P(x,y)由题意，OP⊥AP，所以kOPkAP=−1因为P在线段OM上，M在C上运动，所以0≤x≤所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ2−414．【2019年新课标Ⅰ卷理科第22题】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1−t21+t2，y=4（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【答案】（1）C:x2+【详解】（1）由x=1−t2∴整理可得C的直角坐标方程为：x又x=ρcosθ∴l的直角坐标方程为：2（2）设C上点的坐标为：cos则C上的点到直线l的距离d=当sinθ+π6则d15．【2018年新课标Ⅱ卷理科第22题】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosθy=4sinθ（θ为参数），直线l（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为1,2，求【答案】（1）x24+y216=1，当cosα≠0时，l【详解】（1）曲线C的直角坐标方程为x2当cosα≠0时，y−2x−1当cosα=0时，l的直角坐标方程为（2）［方法一］：直线参数方程的应用将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程1+3co因为曲线C截直线l所得线段的中点1,2在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则又由①得t1+t2=−42cos［方法二］：【最优解】点差法的应用设直线l（斜率为k）与曲线C相交于Ax1,y1,Bx2,y2．因为点(1,2)是线段AB的中点，所以直线两式相减得x1+x2x［方法三］：【通性通法】常规联立＋韦达定理设直线l与曲线C的交点为Ax1,y1，Bx2,y2．因为点(1,2)是线段AB的中点，所以直线l的斜率k存在且不为零．由y−2=k(x−1),［方法四］：伸缩变换设变换x'=xy'=12y得x=x'y=2y'代入椭圆方程x24+16．【2018年新课标Ⅲ卷理科第22题】在平面直角坐标系xOy中，⨀O的参数方程为x=cosθ，y=sinθ（θ为参数），过点0，−2且倾斜角为α（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【答案】（1）(（2）x=22【详解】（1）⨀O的直角坐标方程为x2当α=π2时，l与当α≠π2时，记tanα=k，则l的方程为y=kx−2．l与⨀O交于两点当且仅当21+k2<综上，α的取值范围是π4（2）l的参数方程为x=tcosα,y=−2+tsinα(设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP=tA于是tA+tB=22sin所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2α,y=−17．【2018年新课标Ⅰ卷理科第22题】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=kx+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线（1）求C2（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求【答案】(1)(x+1)【详解】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+（2）［方法一］：【最优解】分类讨论由（1）知C2是圆心为A−1,0而C1是过点B0,2且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以−k+2k经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=−43时，l1与当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以k+2k经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=43综上，所求C1的方程为y=−［方法二］：解方程组法联立y=kx当x≥0时，1+k2x2+2+4k当x<0时，1+k2x2+2−4k当方程组有两个相异正根，两相等负根时，Δ1=2+4当方程组有两个相等正根，两相异负根时，Δ1=2+4综上，所求C1的方程为y=−18．【2017年新课标Ⅰ卷理科第22题】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cosθ,y=sinx=a+4（1）若a=−1，求C与l（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a．【答案】（1）(3,0)，(−2125,24【详解】（1）曲线C的普通方程为x2当a=−1时，直线l的普通方程为x+由x+4y−3=0从而C与l的交点坐标为3,0，−21（2）直线l的普通方程为x+4y−a−4=0，故Cd=3cos当a≥−4时，d的最大值为a+917.由题设得a+当a<−4时，d的最大值为−a+117.由题设得−a+综上，a=8或a=−19．【2017年新课标Ⅲ卷理科第22题】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt,（t为参数），直线l2的参数方程为x=−2+m,y=mk,（m为参数）.设（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3:ρcosθ+sinθ−2=【答案】（1）x2−【详解】（1）消去参数t得l1的普通方程l1:y=kx−2；消去参数m设Px,y,由题设得y=kx−2所以C的普通方程为x2（2）C的极坐标方程为ρ2联立ρ2cos故tanθ=−从而cos代入ρ2cos所以交点M的极径为5.20．【2017年新课标Ⅱ卷理科第22题】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足OM⋅OP=16（2）设点A的极坐标为2,π3，点B在曲线C2【答案】（1）（x−【详解】（1）设P的极坐标为（ρ,θ）（ρ＞0），M的极坐标为ρ1|OP|=ρ，OM=ρ1由OM⋅|OP|=16得C2因此C2的直角坐标方程为（（2）设点B的极坐标为ρB,α（ρB＞0S当α=−π12所以△OAB面积的最大值为2+21．【2016年新课标Ⅲ卷理科第23题】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3cosαy=sinα（α（1）写出C1的普通方程和C（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值以及此时【答案】（1）C1：x23+y2=1，【详解】（1）C1的普通方程为x23+y2=1，C2的直角坐标方程为⇒当且仅当α=2kπ+π6(k∈Z)试题解析：（1）C1的普通方程为x23+y（2）由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα,sinα)，因为C2是直线，所以|PQ|当且仅当α=2kπ+π6(k∈Z)22．【2016年新课标Ⅱ卷理科第23题】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是x=tcosαy=tsinα（t为参数）,l与C交于A【答案】（Ⅰ）ρ2+12ρcos【详解】（Ⅰ）化圆的一般方程可化为x2+y2+12x+11=（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=αρ∈R设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得于是ρ1+ρAB=由AB=10得cos所以l的斜率为153或−23．【2016年新课标Ⅰ卷理科第23题】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=acost（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.【答案】（Ⅰ）圆，ρ2−2【详解】（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.是以为圆心，为半径的圆.将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.24．【2015年新课标Ⅱ理科第23题】在直角坐标系xOy中,曲线C1:{x=tcosα,（Ⅰ）求C2与C（Ⅱ）若C1与C2相交于点A,C1与C【答案】（Ⅰ）0,0,32【详解】（Ⅰ）曲线C2的直角坐标方程为x2+y2−2y=0，曲线C3的直角坐标方程为x2+y2−（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0)，其中0≤α<π．因此A得到极坐标为(2sinα,α)，B25．【2015年新课标Ⅰ理科第23题】在直角坐标系xOy中，直线C1;x=−2，圆（1）求C1，C（2）若直线C3的极坐标方程为θ=π4ρ∈R，设C2【答案】(1)ρcosθ=−2,ρ【详解】（1）因为x=ρcosθ,y=ρsinC2的极坐标方程为（2）将θ=π4得ρ2−32因为C2的半径为1，则ΔC1．（2024·四川德阳·二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+22ty=2+2(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)设点M在曲线C上，点N在直线l上，求MN的最小值.【答案】(1)x−y+1=(2)2【分析】（1）利用消参法即可求得直线l的直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的转化公司即可求得曲线C的普通方程；（2）结合题意求出圆心到直线的距离，即可求得答案.【详解】（1）由题意知直线l的参数方程为x=1+2消去t，得直线l的直角坐标方程x−y+1曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即则曲线C的普通方程为x2+y（2）由于点M在曲线C上，点N在直线l上，圆x−12+则圆心(1,0)到直线x−y+1=0即直线l和圆相离，故MN的最小值为2−1.

2．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为x=−t,y=3t（t为参数），曲线C2的参数方程为(1)求C1与C(2)若C1与C2的两不同交点A,B满足【答案】(1)C1的极坐标方程为θ=2π3，C(2)a=±【分析】（1）先消去参数得到普通方程，再利用x=ρcos（2）在（1）的基础上，联立得到ρ2+ρa+a【详解】（1）x=−t,y=3t消去又x=ρcosθy=ρsinθ化简得tanθ=−3，故x=a+cosα,y=sin又x=ρcosθy=ρsinθ化简得ρ2（2）将θ=2π3代入ρ2由Δ=a2−不妨设OA=由OA=2OB由韦达定理得ρ1故3ρ所以2×a2经检验，均符合要求.

3．（2024·陕西汉中·二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x=2+ty=4−t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(1)求C1的极坐标方程及C(2)设点P(2,4)，求1【答案】(1)ρcosθ+ρ(2)3【分析】（1）利用消参法可得曲线C1的直角坐标方程，再结合极坐标公式可得C（2）利用参数方程中参数的几何意义即可求解．【详解】（1）曲线C1的方程为x=则x+y−6=0所以C1的极坐标方程ρ而ρsin2由x=ρcosθy=ρ所以C2的直角坐标方程为y（2）依题意，将曲线C1化为标准的参数方程x=2+将其代入y2=4x可得，设A，B对应的参数为m1，m2，则m1故m1>0故1|PA|+1|PB|=1m1+1m2=m1+m2m1⋅m2=12(1)求曲线C1的普通方程以及曲线C(2)已知直线l:x−3y=0与曲线C1,C2分别交于P，Q【答案】(1)曲线C1：x2+y(2)3【分析】（1）先把曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，把曲线C（2）先求出点A的直角坐标，分别联立直线与C1,C【详解】（1）因为曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ由x=ρcosθy=ρsinθ由曲线C2的参数方程为x=m+3cosαy=得x−m2因为x=ρcosθy=ρsinθ即曲线C2的极坐标方程为ρ又点A6,π4在曲线C2所以曲线C2的极坐标方程为ρ=（2）因为点A6,π4，则x=6由（1）得曲线C2的直角坐标方程为x−联立x−3y=0x−32+联立x−3y=0x2+y则PQ=点A3,3到直线l所以S△APQ=12PQ⋅d=3−32.

5．（2024·陕西咸阳·三模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosαy=sinα（α为参数），以坐标原点(1)求曲线C1，C(2)设点M的极坐标为−2,π2【答案】(1)ρ=(2)3【分析】（1）先求得C1的普通方程为x2+y2−2x=0，进而可得极坐标方程，设点A的极坐标为(ρ1（2）利用S△ABM【详解】（1）由曲线C1的参数方程为x=1+消去参数α，可得普通方程为(x−1)将x=ρcosθ,y=ρsin设点A的极坐标为(ρ1,θ)因为|OA|⋅|OB|=所以ρ2cosθ=5，所以曲线（2）由题意，|OM由图可得S=|(当cos2θ=1时，可得S△ABM的最小值为3.

6．（2024·全国·二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1+3cosφy=3sinφ(1)求曲线C和直线l的极坐标方程；(2)若OA=2OB【答案】(1)曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcos(2)π3或2π【分析】（1）首先曲线的参数方程化简为直角坐标方程，再根据直角坐标与极坐标转化公式，得到曲线C的极坐标方程，根据过原点的极坐标方程公式，直接求解直线l的极坐标方程；（2）首先联立直线与曲线的极坐标方程，利用韦达定理和条件，即可求解.【详解】（1）曲线C的参数方程为x=1+3所以曲线C的直角坐标方程为x−1一般方程为x再根据x=ρcosθ,所以曲线C的极坐标方程为ρ2因为直线l过原点，且倾斜角为α，所以直线l的极坐标方程为θ=α,（2）联立直线l与曲线C的极坐标方程得ρ2ρ1+ρ由OA=2OB，得ρ所以ρ1+ρ2=−得cosα=±12，得α=所以直线l的倾斜角为π3或2π3.

7．（2024·四川凉山·三模）在平面直角坐标系xOy中，伯努利双纽线C（如图）的普通方程为x2+y22=2x2(1)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求C和l的极坐标方程；(2)设M，N是曲线C与x轴异于原点的两个交点，l与C在第一象限的交点为P．当cosα=22【答案】(1)C极坐标方程为ρ2=2cos2θ，直线l(2)2【分析】（1）利用极坐标方程转换公式ρ2=x2+y2，ρ（2）利用极坐标方程当θ=0时，可得ρ=±2，即M−2,0，N2,0【详解】（1）由ρ2=x2+则C为ρ4∴C极坐标方程为ρ2由题意易得直线l的极坐标方程为θ=α，ρ∈（2）由题意M，N是曲线C与x轴异于原点的两个交点，即当θ=0时，代入C极坐标方程ρ2=2cos0=2，可得由直线l与曲线C方程组得：ρ2消去θ得：ρ2=2cos2所以ρ=2cos2即OP=143，因为O所以S△MNP=2S△ONP=ON⋅OP⋅sinα=2×143×1−2232(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若PM、MN、PN成等比数列，求a的值．【答案】(1)y2=ax(2)2【分析】（1）根据已知条件，结合极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，再消去参数t可得直线l的普通方程；（2）结合参数方程的几何意义，韦达定理，以及等比数列的性质，即可求解.【详解】（1）曲线C:则ρ2因为x=ρcosθy=ρ直线l的参数方程为：x=2消去参数t可得，l:（2）直线l的标准参数方程为：x=−2+t⋅2代入曲线C的直线坐标方程得：t2设M，N对应的参数为t1由韦达定理得：t1+t因为PM、MN、PN成等比数列，所以t1−t即28+a2解得a=2.

9．（2024·陕西榆林·三模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x=1cosαy=tanα（α(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知点E的坐标为2,0，直线l交曲线C的同支于M,N两点，求【答案】(1)x2−(2)22【分析】（1）将x,y分别平方后相减即可得曲线C的普通方程，由x=ρcos（2）根据题意设设直线l的参数方程为x=2+tcosθy=tsinθ【详解】（1）x2=y2=①-②，得x2−y2=由x=ρcosθ,y=ρsin故直线l的直角坐标方程为x−my−2（2）由（1）知，直线l恒过点E2,0，故可设直线l的参数方程为x=2+t设M,N两点对应的参数分别是将直线l的参数方程代入x2−y因为直线l交曲线C的同支于M,N两点，曲线C的渐近线方程为所以π4<θ<3π由韦达定理，可得t1+t所以1==−由于0≤cos所以所求式的取值范围为223,233.

10．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的直角坐标方程为x2(1)求椭圆C的一个参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)若P是椭圆C上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值.【答案】(1)x=cosθy=2sin(2)2+【分析】（1）利用参普方程互化即可得到椭圆C的一个参数方程，利用极坐标方程和直角坐标方程互化即可得到直线l的直角坐标方程；（2）先得到点P到直线l的距离的表达式，利用三角函数的取值范围即可得到点P到直线l的距离的最大值.【详解】（1）椭圆C的参数方程为x=cosθy=直线l的极坐标方程可化为22可化为ρsin将x=ρcosθ,y=ρsin（2）设点P的坐标为cosα点P到直线l的距离为d=2故d的最大值为2+62.

11．（2024·四川南充·二模）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C(1)求曲线C在直角坐标系中的普通方程；(2)已知P(1,2)，直线l:x+y=3与曲线C交于A，【答案】(1)x(2)5【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，即可求解；（2）根据（1）的结果，直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，表示PA2【详解】（1）由题意可知，ρ2=4ρsin（2）联立x+y=3x2设点Ax1,所以y1+y故x1x1PA=x1所以PA=x==1+32−3+25−92−30+15=5.

(1)求曲线C的极坐标方程；(2)记线段MN的中点为Q，若OQ≤λ恒成立，求实数λ【答案】(1)ρ(2)2【分析】（1）参数方程消去参数，可得曲线C的直角坐标方程，再由x=ρcos（2）利用三角函数的恒等变换和极径求出结果．【详解】（1）∵曲线C的参数方程为x=1+2cos∴所求方程为(x−∵x=ρ∴曲线C的极坐标方程为ρ2（2）联立θ=αρ2−设Mρ则ρ1由OQ=ρ1当α=π4时，OQ取最大值故实数λ的取值范围为2,+∞.

13．（2024·四川绵阳·三模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=(1)求曲线C1与y(2)以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ+π3=2,【答案】(1)0,4(2)π【分析】（1）利用完全平方公式与同角基本关系式，消掉参数α，令x=0（2）将C2【详解】（1）由C1x即曲线C1的普通方程为：x令x=0，得y=∴曲线C1与y轴的交点坐标为0,4（2）将C2的极坐标方程ρsinθ+所以3ρcosθ+ρ∴C2是过点0,4且倾斜角为不妨设B0,4，则∠OBA=因为BO为直径，所以∠BAO=π∴∠AOB=π2−π6=π3.

14．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为x=1(1)求l和C的直角坐标方程；(2)若l和C恰有一个公共点，求sinα【答案】(1)sinα⋅x−cosα⋅y−(2)sinα=【分析】（1）消去参数得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式求出C的直角坐标方程.（2）利用圆的切线性质，结合点到直线的距离公式求解即得.【详解】（1）消去参数t，得l的直角坐标方程sinα⋅x−由x=ρcosθy=ρsinθ，得C（2）由（1）知，C是以−2,0为圆心，3由l和C恰有一个公共点，得−2sinα−sinαsin2所以sinα=33．

15．（2024·四川成都·三模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=10+ty=10−t（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设点Px0,y0是直线l【答案】(1)x+y−20=(2)22,−2或【分析】（1）直线的参数方程消去参数t，得到直线l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标的转化公式求得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C中，得到韦达定理，利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【详解】（1）由x=10+ty=10−t即直线l的普通方程为x+y−20由ρsin2∵x=ρcosθ，y=ρsinθ即曲线C的直角坐标方程为y2（2）设直线l的参数方程为x=x0−12t2设点M，N对应的参数分别为t1，tt1+t因为PM+2PN=0解得x0=22，y0=−2，或所以求点P的直角坐标为22,−2或19,1.

16．（2024·四川德阳·三模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2t1+t2+(1)求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；(2)点P的极坐标为(1,3π2)，设直线l与曲线C的交点为A、B两点，若线段AB的中点为D【答案】(1)(x−2)(2)32【分析】（1）消去参数化参数方程为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式得l的极坐标方程.（2）求出直线l的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用参数的几何意义求解即得.【详解】（1）由曲线C的参数方程为x=2t1消去参数t得曲线C的普通方程为(x−将x=ρcosθ,得直线l的极坐标方程为ρ(cos（2）由点P的极坐标为(1,3π2)，得点P的直角坐标为(0,−1)设直线l的参数方程为x=22t代入曲线C的普通