高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）-三角函数、解三角形之函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

第页2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——三角函数、解三角形之函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用【知识梳理】1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))一个周期内的简图时，要找五个关键点x－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)ωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)φ[常用结论]1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y＝3sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq\f(T,2).()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.()2.(必修一P239T2改编)为了得到函数y＝3sin(2x－eq\f(π,5))的图象，只需把函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,5)))的图象上所有的点()A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，横坐标不变3.(必修一P241T5改编)将函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象向左平移eq\f(π,3)后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为________.考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的最小正周期是π，且当x＝eq\f(π,6)时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cosx的图象经过怎样的变换得到？方法总结作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3,2)π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.训练1(1)(2024·成都石室中学模拟)将函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象先向左平移eq\f(π,4)个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为()A.g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))B.g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))C.g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))D.g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,3))(ω＞0)的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)考点二由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)(2024·新乡模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝()A.0 B.2 C.1－eq\r(3) D.eq\r(3)－1(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝eq\f(1,2)与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝eq\f(π,6)，则f(π)＝________.方法总结确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.训练2(1)(多选)(2024·重庆调研)已知f(x)＝2cos(2ωx＋φ)(ω>0，－eq\f(π,2)<φ<0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A.ω＝4B.φ＝－eq\f(π,6)C.函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,4)))上单调递减D.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)α－\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sinα－cosα＝eq\f(\r(30),6)(2)(2020·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的解析式为________.考点三三角函数图象、性质的综合应用角度1图象与性质的综合应用例3已知函数f(x)＝2eq\r(3)sinωx·cosωx＋2cos2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，函数g(x)的最大值.角度2三角函数的零点(方程的根)问题例4已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有唯一解，则t的取值范围是________.方法总结1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.训练3(多选)(2024·蚌埠质检)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))，将y＝f(x)的图象上所有点向右平移eq\f(π,3)个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象.若g(x)为奇函数，且最小正周期为π，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))中心对称B.函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递减C.不等式g(x)≥eq\f(1,2)的解集为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ－\f(π,12)))(k∈Z)D.方程feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＝g(x)在(0，π)上有2个解习题演练1.y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的振幅、频率和初相分别为()A.2，4π，eq\f(π,3) B.2，eq\f(1,4π)，eq\f(π,3)C.2，eq\f(1,4π)，－eq\f(π,3) D.2，4π，－eq\f(π,3)2.为了得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,8)))的图象，只需将y＝sinx图象上每一点的纵坐标不变()A.每一点的横坐标变为原来的eq\f(1,4)，再向右平移eq\f(π,8)个单位长度B.每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移eq\f(π,8)个单位长度C.先向右平移eq\f(π,8)个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍D.先向右平移eq\f(π,2)个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的eq\f(1,4)3.(2024·安徽A10联考)已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的部分图象如图所示，其中A(0，2eq\r(2))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，－2\r(2)))，则f(x)＝()A.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))) B.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))C.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) D.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))4.若f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1，则函数y＝|f(x)|－1的零点为()A.kπ－eq\f(π,6)(k∈Z) B.eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)(k∈Z)C.kπ－eq\f(π,12)(k∈Z) D.eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)5.(2024·淄博模拟)函数f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为eq\f(π,3)，要得到函数g(x)＝Acosωx的图象，只需将函数f(x)的图象()A.向左平移eq\f(π,12)个单位长度B.向右平移eq\f(π,12)个单位长度C.向左平移eq\f(π,18)个单位长度D.向右平移eq\f(π,18)个单位长度6.(2024·岳阳质量监测)已知函数f(x)＝sinx＋acosx的一个零点是eq\f(π,3)，将函数y＝f(2x)的图象向左平移eq\f(5π,12)个单位长度后得图象的解析式为()A.y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(7π,6))) B.y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))C.y＝－2cos2x D.y＝2cos2x7.(2024·曲靖质量监测)已知奇函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，0<φ<π)图象的相邻两个对称中心的距离为2π，将f(x)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度得函数g(x)的图象，则g(x)的图象()A.关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))对称B.关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，0))对称C.关于直线x＝－eq\f(π,3)对称D.关于直线x＝eq\f(π,2)对称8.(2024·宝鸡模拟)若a，b，c，d为实数，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ac,bd))＝ad－bc，定义函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinx\r(3)cosx,2cosx2cosx))，现将f(x)的图象先向左平移eq\f(5π,12)个单位长度，再向上平移eq\r(3)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为________.9.(2024·重庆质检)将函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标保持不变)，再向左平移eq\f(π,3)个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[0，π]上的值域为________.10.已知关于x的方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________.11.已知函数f(x)＝－eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＋1－2sin2x.(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象；(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心.12.(2024·郑州模拟)已知函数f(x)＝eq\r(3)sin