2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷及答案解析

学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷考试时间：120分钟，试卷满分150分2024.11第I卷（选择题共60分）一.单选题（共12小题，每小题5分，在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）1.已知空间向量，则下列结论正确的是（）A.向量在向量上的投影向量是B.CD.2.已知直线经过点，且与直线垂直，则方程为（）A. B. C. D.3.设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是A. B. C. D.4.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.5.已知点，椭圆与直线交于点，则的周长为（）A.4 B.8 C.12 D.166.已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（）A. B.C. D.7.已知圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线中，切线长的最小值是（）A. B. C. D.8.已知分别是曲线：，：上的两个动点，为直线上的一个动点，则的最小值为（）A B.3 C. D.49.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（）A. B. C.8 D.410.设双曲线的焦点为，，点在双曲线右支上，且，则点的横坐标为（）A. B. C. D.11.如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（）A.B.C. D.12.已知椭圆的两焦点，和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（）A. B. C. D.第II卷（非选择题共90分）二.填空题（共8小题，每小题5分）13.过点且方向向量为直线的方程为___________．14.已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________．15.已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是_________.16.已知，，，若共面，则实数______．17.椭圆的一条弦被点平分,那么这条弦所在的直线方程是________.18.双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______19.已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为__________．20.已知F1､F2为双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点，过F2作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则的内切圆半径r1与的内切圆半径r2之比为___________.三.解答题（共4小题，共50分）21.如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4．（1）求与所成角的余弦值；（2）与平面所成角的正弦值．22.已知椭圆的离心率为，焦距为.（1）求椭圆方程；（2）设为坐标原点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程.23.如图，三棱柱中，平面，M是的中点，N是的中点．（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值．24.已知椭圆左顶点为，上顶点为，直线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，与轴交于点，以线段为对角线作正方形，若．（i）求椭圆方程；（ii）若点在直线上，且满足，求使得最长时，直线的方程．2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷第I卷（选择题共60分）一.单选题（共12小题，每小题5分，在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）1.已知空间向量，则下列结论正确的是（）A.向量在向量上的投影向量是B.C.D.【答案】A【解析】【分析】对于A选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可.【详解】A.在上的投影，与同向的单位向量为，所以向量在向量上的投影向量是，故A正确；B.，故B错误；C.因为，所以与不垂直，故C错误；D.，故D错误.故选：A.2.已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直线斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】直线与直线垂直，且直线的斜率为，所以直线的斜率为，又因为直线经过点，所以直线的方程为，化简得.故选：C．3.设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值.详解：由题意得，圆，即，圆心为，半径，由圆心到直线的距离，圆上动点到直线的最小距离为，最大距离为，即的取值范围是，故选B.点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围.【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径，则表示圆上的点与点的连线的斜率，过点作圆的切线方程，显然，切线斜率存在，设切线方程为，即．则k+2−kk2+1所以的取值范围为．故选：C．5.已知点，椭圆与直线交于点，则的周长为（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】求出椭圆中，发现点为椭圆的右焦点，直线过左焦点，从而根据椭圆定义得到的周长为.【详解】由椭圆方程可知，所以，，所以点为椭圆的右焦点，直线过左焦点，由椭圆定义可知：的周长为故选：B6.已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出两直线的交点坐标即圆心坐标，根据勾股定理求解半径即可.【详解】直线与直线的交点为，所以圆心为，设半径为，由题意得，即解得，故圆为.故选：A.7.已知圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线中，切线长的最小值是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题可求出圆心及半径，过点向圆所作的切线长，所以为要求切线长的最小值，只需求的最小值，依题可得圆心在直线上，从而可得点所在直线，由点到直线的距离公式可求出的最小值，从而得到答案.【详解】因为即，所以圆心为，半径为;因为圆关于直线对称，所以，所以点在直线上，所以的最小值为：，切线长的最小值为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，切线长的表示方法，最值的转化，体现出转化与化归数形结合的思想.8.已知分别是曲线：，：上的两个动点，为直线上的一个动点，则的最小值为（）A. B.3 C. D.4【答案】A【解析】【分析】根据题意，将问题转化为求的最小值，求得的对称点，根据对称性即可求得结果.【详解】曲线是以为圆心,2为半径的圆,是以为圆心,1为半径的圆,则的最小值为的最小值为,如下图所示,作点关于直线的对称点,设其坐标为,可得,解得,即,连接,分别交直线､圆于点,连接，交圆于点,可得,当且仅当三点共线时的最小值为,则的最小值为,故选：A.【点睛】本题综合考查了点与圆,点关于直线对称的应用,需要学生能灵活运用所学知识.9.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（）A. B. C.8 D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积.【详解】解：由题意可得，，则，.因为，所以，，所以，则，故的面积是，由对称性可知的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.10.设双曲线的焦点为，，点在双曲线右支上，且，则点的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，由点在曲线上及，列出等式求解即可.【详解】由题意可得：，设Pm,n,由题意可得：且，两方程联立解得：，所以.故选：C11.如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（）A.B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线定义结合等边三角形求得，，再由余弦定理求得，即可求得双曲线方程.【详解】根据双曲线的定义，有①，②，由于为等边三角形，因此，由①＋②，得，则，，又因为，所以，即，解得，则，所以双曲线的方程为．故选：C.12.已知椭圆两焦点，和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，不妨设在第一象限，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，由椭圆与双曲线的定义用表示出，然后用余弦定理得出的关系即的关系式，然后由基本不等式求得最小值．【详解】设，，不妨设在第一象限，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，则，解得，在中由余弦定理得，∴，，，，∴，∴，当且仅当时等号成立．所以的最小值为．故选：A．【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义，考查它们的离心率，解题关键是利用定义表示出焦半径，然后用余弦定理求得的关系式，用基本不等式求得最小值．第II卷（非选择题共90分）二.填空题（共8小题，每小题5分）13.过点且方向向量为的直线的方程为___________．【答案】【解析】【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解【详解】因为直线过点且方向向量为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故答案为：14.已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________．【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝2.【解析】【分析】设圆的圆心，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解.【详解】由圆C的圆心在直线x＋y＝0上，∴设圆C的圆心为(a,－a)，又∵圆C与直线x－y＝0相切，∴半径.又圆C在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a,－a)到直线x－y－3＝0的距离，∴，即，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故答案为：.15.已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是_________.【答案】【解析】【分析】由题知，弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直，进而求解直线方程即可.【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直,因为圆，即，圆心为：，所以，所以，所以所求直线方程为：.故答案为：.16.已知，，，若共面，则实数______．【答案】【解析】【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数λ的值．【详解】因为共面，所以，则，解得，故答案为：17.椭圆的一条弦被点平分,那么这条弦所在的直线方程是________.【答案】【解析】【分析】利用点差法即得直线斜率，再根据点斜式求直线方程.【详解】设这条弦的端点坐标为，则，，，∴，，所以，因此这条弦所在的直线方程为，即.故答案为：.18.双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______【答案】【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再由焦点到渐近线的距离为可得，即可得答案；【详解】由题意得：，双曲线的方程为，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，一条渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，因为弦长为2，所以，所以．20.已知F1､F2为双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点，过F2作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则的内切圆半径r1与的内切圆半径r2之比为___________.【答案】【解析】【分析】连接交于点，由题意可得，即求.【详解】由内切圆的性质可知，的内切圆和的内切圆都与轴相切于双曲线的右顶点，可知三点共线.连接交于点，如图：直线l的倾斜角为60°，所以，，在与中，则，则为故答案为：三.解答题（共4小题，共50分）21.如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4．（1）求与所成角的余弦值；（2）与平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用棱柱中的平行关系转化异面直线为共面直线，余弦定理解三角形求夹角即可；（2）利用棱柱中的平行关系转化线面夹角，结合（1）解三角形计算即可.【小问1详解】连接，由正四棱柱的性质可知，与所成角为，由已知可得，由余弦定理可知：；【小问2详解】由题意可知，则与平面所成角即与平面所成角,连接与交于，结合（1）与条件易知,而面，故面，又面，所以面面,显然面面，即直线在面上的投影在直线上,故与平面所成角为，易得,所以.22.已知椭圆的离心率为，焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）由离心率合焦距可得出、的值，可求出的值，于是可得出椭圆的方程；（2）设直线的方程为，设点、，于是得出ΔABC的面积为，将直线的方程与椭圆的方程联立，将韦达定理代入ΔABC的面积表达式可求出的值，从而可得出直线的方程．【详解】（1）由，，，解得，所以，椭圆的方程为；（2）设过的直线方程为，代入椭圆的方程，化简得，显然.设,，则,从而.所以，解得，所以直线的方程为或.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆中的面积问题，在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，一般采用将直线与圆锥曲线方程联立的方法，结合韦达定理求解，易错点就是计算量大，所以在计算中充分运用一些运算技巧，简化计算．23.如图，三棱柱中，平面，M是的中点，N是的中点．（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）取中点为，连接，易证四边形为平行四边形，则可得，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由题意建立空间直角坐标系，则可得，平