2024-2025学年高中数学第一章算法初步1.1.1算法的概念学案含解析新人教版必修3

PAGE1．1算法与程序框图1．1.1算法的概念内容标准学科素养1.通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想.2.了解算法的含义和特征.3.会用自然语言表述简洁的算法.提升数学运算发展逻辑推理应用数学抽象授课提示：对应学生用书第1页[基础相识]学问点一算法的概念预习教材P2－3，思索并完成以下问题一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们三人都会划船，但都不会游泳．(1)试问他们怎样渡过河去？提示：第一步，两个小孩同船过河去；其次步，一个小孩划船回来；第三步，一个大人划船过河去；第四步，对岸的小孩划船回来；第五步，两个小孩同船渡过河去．(2)设计的过河方法有什么特点？提示：由于船小，不能同时坐三个人，这样就须要遵循这一规则，然后依据肯定的步骤一步一步的把三人运到河对岸．学问梳理在数学中，算法通常是指依据肯定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．学问点二算法与计算机学问梳理计算机解决任何问题都要依靠于算法．只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”精确地描述出来，计算机才能够解决问题．思索：与一般的解决问题的过程相比，算法最重要的特征是什么？提示：最重要的特征是步骤的有序性、明确性和有限性．[自我检测]下列叙述不能称为算法的是()A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22D．解方程x2－2x＋1＝0解析：A、B两选项给出了解决问题的方法和步骤，是算法．C项，利用公式计算也属于算法．D项，只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．答案：D授课提示：对应学生用书第2页探究一算法的概念[例1]下列关于算法的说法，正确的个数为()①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必需在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必需是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后肯定产生确定的结果．A．1B．2C．3 D．4[解析]由于算法具有有限性、确定性、输出性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不肯定唯一，从而①错．[答案]C方法技巧1.算法事实上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，明显体现了特别与一般的数学思想．2．算法的特点有：(1)有限性；(2)确定性；(3)依次性与正确性；(4)不唯一性；(5)普遍性．解答有关算法概念的推断题应依据算法的这五大特点进行．跟踪探究1.下列叙述中，①植树须要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按依次进行下列运算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…，99＋1＝100；③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到沈阳观看全运会开幕式；④3x>x＋1；⑤求全部能被3整除的正数，即3，6，9，12，….能称为算法的有__________．解析：依据算法的含义和特征：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x>x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性冲突．答案：①②③探究二算法的阅读[阅读教材P2思索]对于一元二次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝c1⑤,a2x＋b2y＝c2⑥))，其中a1b2－b1a2≠0，可以写出类似的求解步骤：第一步，⑤×b2－⑥×b1，得(a1b2－a2b1)x＝b2c1－b1c2⑦其次步，解⑦，得x＝eq\f(b2c1－b1c2,a1b2－a2b1)第三步，⑥×a1－⑤×a2，得(a1b2－a2b1)y＝a1c2－a2c1⑧第四步，解⑧，得y＝eq\f(a1c2－a2c1,a1b2－a2b1).第五步，得到方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(b2c1－b1c2,a1b2－a2b1),y＝\f(a1c2－a2c1,a1b2－a2b1))).[例2]下面给出了一个问题的算法：第一步，输入三个数，并分别用a、b、c表示．其次步，比较a与b的大小，假如a<b，则交换a与b的值．第三步，比较a与c的大小，假如a<c，则交换a与c的值．第四步，比较b与c的大小，假如b<c，则交换b与c的值．第五步，输出a、b、c.以上算法要解决的问题是__________，假如输入的三个数分别是6，28，14，则输出三数的依次为__________．[解析]法一：特别值法：第一步：输入a＝6，b＝28，c＝14.其次步：因为a<b，则令a＝28，b＝6.第三步：因为a>c，不做改变．第四步：因为b<c，故令b＝14，c＝6.第五步：输出28，14，6.通过上述过程可知，此算法解决的问题是：对随意输入的三个数a、b、c，按从大到小的依次输出．法二：一般方法：第一步是给a、b、c赋值．其次步运行后a>b.第三步运行后a>c.第四步运行后b>c，所以a>b>c.第五步运行后，显示a、b、c的值，且从大到小排列．输出依次：28，14，6.[答案]对随意输入的三个数a，b，c，按从大到小的依次输出28，14，6方法技巧一个算法的作用往往并不自不待言，这时我们可以结合详细数值去执行一下并从中得出规律．跟踪探究2.下面给出了一个问题的算法：第一步，输入三角形的底边长a，底边上的高h.其次步，计算S＝eq\f(ah,2).第三步，输出S.这个算法解决的问题是________________________________．答案：已知三角形的底边长a，底边上的高为h，求这个三角形的面积探究三算法的设计[阅读教材P3例1及解答](1)设计一个算法，推断7是否为质数．(2)设计一个算法，推断35是否为质数．题型：算法的设计方法步骤：第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.其次步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.因此，7是质数．类似地，可写出“推断35是否为质数”的算法．[例3]已知函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－1（x≤－1），,x3（x>－1）))，试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．[解析]算法如下：第一步：输入x的值．其次步：当x≤－1时，计算y＝－x2－1；否则执行第三步．第三步：计算y＝x3.第四步：输出y.方法技巧分段函数求值问题的算法设计分段函数求值的算法要运用分类探讨思想进行设计，对算法中可能遇到的状况肯定要考虑周全，满意与不满意都要有相应的步骤．延长探究1.该例条件若改为“已知函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0,0，x＝0,x＋1，x<0))”试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．解析：算法如下：第一步，输入x的值．其次步，若x>0，则y＝－x＋1，然后执行第四步；否则执行第三步．第三步，若x＝0，则y＝0；然后执行第四步，否则y＝x＋1.第四步，输出y的值．2．已知函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－1（x≤－1）,x3（x>－1）))，下面是输入x的值，求对应的函数值的一个算法，请填空：第一步：输入x.其次步：若x>－1，输出__________；否则执行第三步．第三步：输出__________．当输入x的值为1时，输出的结果为__________．答案：x3－x2－11授课提示：对应学生用书第3页[课后小结]1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．算法设计的要求：(1)写出的算法必需能够解决一类问题(如推断一个整数是否为质数，求随意一个方程的近似解等)，并且能够重复运用．(2)要使算法尽量简洁，步骤尽量少．(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每一步执行的操作必需准确，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．[素养培优]1．对算法的含义及特征的理解计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是__________．(1)S＝1＋2＋3＋…＋100.(2)S＝1＋2＋3＋…＋100＋….(3)S＝1＋2＋3＋…＋n(n∈N*)．易错分析错识的根本缘由在于对算法的理解不透彻．自我订正算法是为解决某一类问题而设计的一系列操作或可计算的步骤，也就是说在实际的算法中n的值是详细确定的，因此(1)(3)是正确的，而算法又是具有有限性的，即执行有限步操作后肯定能解决问题，而(2)明显不符合算法的有限性，所以(2)不正确．答案：(1)(3)2．算法设计中步骤不明确设计一个算法，将1573分解成奇因数的乘积．错解算法如下：第一步，推断1573是否为素数：否．其次步，找寻1573的最小奇因数：不是2，也不是3…易错分析其次步的结果是不确定的，“不