第4讲分数混合运算和简便运算（教师版）

1.知道分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同，能熟练进行分数混合运算；理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并能应用运算定律进行简便计算。2.在观察、迁移、尝试练习、交流反馈等活动中，培养学生的推理能力及思维的灵活性。3.在自主探索、合作交流的学习活动中，让学生体会算法的多样性及学习的乐趣。重点：会计算分数的混合运算，能利用乘法的运算定律进行简便计算。难点：根据题目特点，灵活地运用运算定律进行简便计算。回忆我们学过的乘法的运算定律。乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)乘法分配律：(a＋b)×c=a×c＋b×c用简便方法计算下面各题。2.5×98×0.41.25×2.5×8×4（8＋0.8）×12.5提问：（1）分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序是否相同？（2）整数乘法运算定律能不能推广到分数？知识点1：分数乘加、乘减的运算顺序问题：一个画框的尺寸如右图，做这个画框需要多长的木条？列式：①②分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同吗？你会自己计算这两道算式吗？通过计算你有什么发现？通过计算你有什么发现？发现：分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同。知识点2：整数乘法运算定律推广到分数乘法问题：1.观察每组的两个算式，看看它们有什么关系。从这些算式中你发现了什么规律？从这些算式中你发现了什么规律？小结：知识点3：运用乘法的运算定律，进行简便计算【随堂演练01】（2023五下·期末）列式计算（1）1比一个数的3倍多，求这个数。（用方程解）（2）17个减去与的和，差是多少？【答案】（1）解：设这个数是x。13x=3x=1x=

答：这个数是。（2）解：×17（+）

=×17

=

=

=

答：差是。【思路点拨】（1）本题可以设这个数是x，然后根据题中存在的等量关系作答即可；

（2）一个数减去两个数的和，求差是多少，就是用小括号将加法括起来即可。【随堂演练02】（2023五下·期末）一杯茶，丁叔叔第一次喝了一半，第二次喝了剩下的一半。丁叔叔两次共喝了这杯茶的（）。A． B． C． D．【答案】D【规范解答】解：+×=，

丁叔叔两次共喝了这杯茶的。

故答案为：D。【思路点拨】丁叔叔第一次喝了一半是，第二次喝了一半的一半是，求共喝用加法。【随堂演练03】（2023五下·兰溪期中）一节课有40分钟，同学们做实验用了整节课的，老师讲解用了整节课的，其余时间用来做作业。做作业用了几分钟？【答案】解：4040×40×

=4010

=30

=（分钟）

答：做作业用了分钟。【思路点拨】把一节课的时间看作单位”1“，做实验用的时间=一节课的时间×，讲解的时间=一节课的时间×。【随堂演练04】（2023五下·惠济期中）工厂要赶制一批货物，第一个星期完成了这批货物的，第二个星期完成了剩下的，下列说法正确的是（）。A．第一个星期完成得多B．第二个星期完成得多C．未完成的货物多D．第一个星期和第二个星期完成一样多【答案】D【规范解答】解：第二个星期完成了这批货物的：（1）×=；所以第一个星期和第二个星期完成一样多。

故答案为：D。【思路点拨】把这批货物总量看作单位“1”，用1减去第一个星期完成的分率求出还剩下的分率，用还剩下的分率乘第二个星期完成剩下的即可求出第二个星期完成了总量的几分之几。比较两个星期完成总量的分率即可做出选择。【随堂演练05】（2023五下·兰溪期中）脱式计算①++②×−③－（+）④－－⑤－（－）⑥16＋×1.2【答案】①解：++

=+（+）

=+1

=②解：×

=

=③解：－（+）

=

=④解：－－

=－－

=

=⑤解：－（－）

=－

=⑥解：16＋×1.2

=16+0.9

=16.9【思路点拨】计算分数乘法时能约分的要先约分再乘；计算分数除法时要把除法转化为乘法后再计算；混合运算要先确定运算顺序再计算。计算小数加法时要把小数点对齐；异分母分数相加减，先通分再计算。

①运用加法结合律：a+b+c=a+（b+c）；④运用交换律：abc=acb；②、③、⑤、⑥按照运算顺序进行计算。一、选择题1．（2023六上·恩平期末）计算37×＝36×＋1×时＝7，运用了（）。A．乘法交换律 B．乘法结合律C．乘法分配律 D．加法交换律【答案】C【规范解答】解：计算37×＝36×＋1×时＝7，运用了乘法分配律。

故答案为：C。【思路点拨】计算37×时，把37分成36与1的和，然后分别乘，再把所得的积相加，运用了乘法分配律。2．（2023六上·龙岗期末）两根一样长的铁丝，第一根用去m，第二根用去。关于剩下的长度，正确的是（）。A．第一根剩下的长 B．第二根剩下的长C．两根剩下的一样长 D．无法确定【答案】D【规范解答】解：剩下的长度，无法确定长短。

故答案为：D。

【思路点拨】因为这两根铁丝的总长未知，所以剩下的长度，无法确定长短。3．（2022六上·新丰期中）（）kg比60kg多。A．80 B．63 C．40 D．20【答案】A【规范解答】解：60×（1＋）

=60×

=80（千克）。

故答案为：A。

【思路点拨】求比单位“1”多或少几分之几的数是多少，用乘加或乘减计算。4．这里运用了（）。A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律【答案】C【规范解答】解：87×

=（86+1）×

=86×+1×

这里运用了乘法分配律

故答案为：C。

【思路点拨】乘法分配律：一个相同的数分别同两个不同的数相乘，积相加，等于这个相同的数乘另外两个不同数的和，据此简算。二、判断题5．（2023六上·斗门期末）1kg的食盐，吃了，还剩下kg。（）【答案】（1）正确【规范解答】解：11×=1=（千克），原题说法正确。

故答案为：正确。

【思路点拨】食盐质量×吃的分率=吃掉的质量，食盐质量吃掉的质量=剩下的质量。6．（2023六上·青岛期末）4米长的钢丝取全长的后，剩下米。（）【答案】（1）错误【规范解答】解：4×（1）=4×=（米），

剩下米，原题错误。

故答案为：错误。【思路点拨】4米长的钢丝取全长的后，剩下全长的。7．计算（×）×8×12时，可以运用乘法分配律讲行简算．（）【答案】（1）错误【规范解答】解：（×）×8×12

=××8×12

=×8××12

=7×7

=49

运用了乘法交换律和结合律

原题错误。

故答案为：错误。

【思路点拨】乘法分配律有加法有乘法，乘法结合律和乘法交换律只有乘法。三、填空题8．（2023五下·顺德期中）一桶油，每天用去总数的，用了5天后还剩下总数的。【答案】【规范解答】解：1×5=。

故答案为：。【思路点拨】设这桶油的总量为单位“1”，剩下的量占总量的分率=1五天用的量占总量的分率。9．（2023六上·红塔期末）53×=52×+这是运用了律进行简便计算的。【答案】乘法分配【规范解答】解：53×=52×+这是运用了乘法分配律进行简便计算的。

故答案为：乘法分配。【思路点拨】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加。10．（2022六上·博罗期中）+×+=1。（）【答案】（1）错误【规范解答】解：+×+

=＋（＋）

=＋

=。

故答案为：错误。【思路点拨】先算乘法，再算加法，可以利用加法结合律简便运算。11．（2022六上·扬州月考）70千米的是千米，比70千米多是千米。【答案】20；90【规范解答】解：70×=20（千米）

70×（1＋）

=70×

=90（千米）。

故答案为：20；90。

【思路点拨】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；求比单位“1”多或少几分之几的数是多少，用乘加或乘减计算。12．（2023五下·泾阳期中）一堆沙子重12t，第一天运走它的，第二天运走它的，两天一共运走这堆沙子的，第二天比第一天多运走t。【答案】；1【规范解答】解：＋=

12×（）

=12×

=1（吨）。

故答案为：；1。【思路点拨】两天一共运走这堆沙子的分率=第一天运走这堆沙子的分率＋第二天运走这堆沙子的分率；第二天比第一天多运走的质量=这堆沙子的总质量×（第二天运走这堆沙子的分率第一天运走这堆沙子的分率）。四、计算题13．（2020六上·沭阳期中）直接写出得数。×14=×=×0=×+×=3÷=÷=÷15=4+=【答案】

【思路点拨】计算分数乘法时能约分的要先约分再乘；计算分数除法时要把除法转化成乘法计算；混合运算要先确定运算顺序后再计算。14．（2023六上·海淀期末）计算下面各题。（1）+（2）××（3）×（÷）（4）×5+×5【答案】（1）解：+

=

=（2）解：××

=×

=（3）解：×（÷）

=×

=（4）解：×5+×5

=（＋）×5

=1×5

=5【思路点拨】（1）、（2）、（3）分数四则混合运算，如果有括号先算小括号里面的，再算括号外面的；如果没有括号，先算乘除，再算加减；只含有同一级运算，按照从左到右的顺序计算；

（4）应用乘法分配律简便运算。五、解答题15．（2023五下·惠济期中）王家村要修一条长450米的公路，已经修了102米，还要修多少米正好修完这条路的？【答案】解：450×102

=300102

=198（米）

答：还要修198米正好修完这条路的。【思路点拨】用路的长度乘求出一共需要修的长度，用一共需要修的长度减去已经修的长度即可求出还要修的长度。16．（2023五下·泾阳期中）五年级三个班学生帮助图书室修补图书。一班修补了56本，二班修补的是一班的，三班修补的是二班的，三个班一共修补了多少本？【答案】解：56×=49（本）49×=42（本）56+49+42

=105＋42

=147（本）答：三个班一共修补了147本。【思路点拨】三个班一共修补的本数=一班修补的本数＋二班修补的本数＋三班修补的本数；其中，二班修补的本数=一班修补的本数×；三班修补的本数=二班修补的本数×。17．（2023五下·龙华期中）下图是一块空地，陈大爷计划用空地的种艾草，剩下空地的种白菜，种辣椒。请你在下图中设计一种种植方案，这块空地的面积是600平方米，请计算各种蔬菜的种植面积。【答案】解：

600×=200（平方米）

（600200）×

=400×

=200（平方米）

600200200

=400200

=200（平方米）

答：艾草、白菜、辣椒的种植面积都是200平方米。【思路点拨】艾草的种植面积=这块空地的总面积×艾草占的分率；白菜的种植面积=（这块空地的总面积艾草的种植面积）×白菜占的分率；辣椒的种植面积=这块空地的总面积艾草的种植面积白菜的种植面积。18．（2023五下·临西期中）“春暖花开，阳光明媚，忙趁东风放纸鸢”。公园、广场都是人们放风筝的身影。王阿姨今天一共带了56只风筝去卖，其中“喜字形”风筝占全部风筝的，其他风筝有多少只？【答案】解：56×（1）=56×＝32（只）答：其他风筝有32只。【思路点拨】求比一个数少几分之几的数是多少，方法是：这个数×（1少的几分之几）。一、选择题1．（2023五下·惠阳期中）一本书共有240页，小红第一天看了它的，第二天要从第（）页开始看。A．40 B．39 C．41【答案】C【规范解答】解：240×+1

=40+1

=41（页）

故答案为：C。【思路点拨】总页数×=第一天看的页数，第一天看的页数+1=第二天开始看的页数。2．（2023五下·西乡期中）10米长的绳子用去它的，还剩（）米。A．9 B．5 C．【答案】B【规范解答】解：10米长的绳子用去它的，还剩10×（1）=5（米）。

故答案为：B。

【思路点拨】用去它的就是用去了一半，也就是5米，那么还剩下5米。3．（2023六上·立山期末）超市购进18箱猕猴桃，（），果冻橙有多少箱？根据算式18×（1），将条件补充完整。A．果冻橙的箱数比猕猴桃少 B．果冻橙的箱数是猕猴桃的C．猕猴桃的箱数比果冻橙少 D．果冻橙的箱数比猕猴桃多【答案】A【规范解答】根据算式18×（1）可以推出：超市购进18箱猕猴桃，果冻橙的箱数比猕猴桃少，果冻橙有多少箱？

故答案为：A。

【思路点拨】根据题意可知，把猕猴桃的箱数看作单位“1”，果冻橙的箱数比猕猴桃少，猕猴桃的质量×（1）=果冻橙的箱数，据此解答。4．（2023六上·惠来期末）一台电视机原价1000元，先提价，再降价，这时现价（）A．与原价一样多 B．比原价高C．比原价低 D．无法确定【答案】A【规范解答】解：1000×（1+）×（1）=1000（元），所以这时现价与原价一样多。

故答案为：A。

【思路点拨】现价=原价×（1+先提价几分之几）×（1在降价几分之几），据此代入数值作答即可。5．（2023六上·增城期末）一双鞋的原价是200元，先将它的价格涨价，然后又降低，现在的价格（）。A．与原价相等 B．比原价高 C．比原价低 D．无法比较【答案】C【规范解答】解：200×（1＋）×（1）

=200××

=220×

=198（元）

200元＞198元。

故答案为：C。【思路点拨】现在的价格=原价×（1＋涨价的分率）×（1降价的分率），然后和原价比较大小。二、判断题6．一根竹竿长2米，截去后，还剩下米。（）【答案】（1）错误【规范解答】解：把整根竹竿长度看作单位“1”

2×(1)

=2×

=(米)

故答案为：错误。

【思路点拨】首先把整根竹竿长度看作单位“1”，截去，那么剩下长度就是这根竹竿的1，根据单位“1”×对应率=对应量来求出剩余竹竿的长度即可。7．（2023六上·惠来期末）1米增加它的就是1米，3千克增加它的，是3千克。（）【答案】（1）错误【规范解答】解：1×（1+）=米，所以1米增加它的就是米；3×（1+）=（千克），所以3千克增加它的是米。

故答案为：错误。

【思路点拨】一个量增加它的几分之几是多少，用这个量×（1+几分之几），据此作答即可。8．水结成冰后体积增加，那么冰化成水后，体积减少。（）【答案】（1）错误【规范解答】解：1×（1+）=，（1）÷=，所以冰化成水后，体积减少。

故答案为：错误。

【思路点拨】把水的体积看成单位“1”，水结成冰的体积=水的体积×（1+水结成冰后体积增加几分之几），那么冰化成水后，体积减少几分之几=（冰的体积水的体积）÷冰的体积。9．（2022六上·汝阳期中）有两根2米长的铁丝，第一根剪去它的，第二根剪去米，则第一根剩下的长度比第二根剩下的长度短。（）【答案】（1）正确【规范解答】解：2×（1）

=2×

=（米）

2=（米）

米＜米，则第一根剩下的长度比第二根剩下的长度短，原题干说法正确。

故答案为：正确。【思路点拨】第一根剩下的长度=铁丝的总长×（1剪去的分率）；第二根剩下的长度=铁丝的总长剪去的长度，然后比较大小。三、填空题10．（2023五下·兰溪期中）一根绳子长8米，第一次截下，第二次截下米，还剩下米。【答案】【规范解答】解：88×=（米）。

故答案为：。【思路点拨】第一次截下的长度=绳子全长×；第二次截下的长度是米；用绳子全长减去两次截下的长度即剩下的长度。11．（2023五下·龙岗期中）五年级3个班参加“幸福龙岗”植树活动，共植树60棵。五（1）班植了总数的，五（2）班植了总数的，五（1）班和五（2）班植树棵数占总棵数的，五（3）班植树棵。【答案】；18【规范解答】解：＋=

60×（1）

=60×

=18（棵）。

故答案为：；18。【思路点拨】五（1）班和五（2）班植树棵数占总棵数的分率=五（1）班植树棵数占总棵数的分率＋五（2）班植树棵数占总棵数的分率；五（3）班植树的棵数=五年级3个班植树的总棵数×（1五（1）班和五（2）班植树棵数占总棵数的分率）。12．（）米的是米，吨的是吨，比元多是48元，吨比54吨少。【答案】；；40；45【规范解答】解：×=（米）

÷=×=（吨）

48÷（1+）=48÷1.2=40（元）

54×（1）=54×=45（吨）

故答案为：；；40；45。

【思路点拨】求一个数的几分之几是多少用乘法；已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法；

已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用除法。方法是：这个数÷（1+多的几分之几）；

求比一个数少几分之几的数是多少，方法是：这个数×（1少的几分之几）。13．（2023六上·硚口期末）2.8t的是t；m的是m；比40km长是km；35kg比kg轻。【答案】2.1；；48；75【规范解答】解：2.8×=2.1（t），所以2.8t的是2.1t；÷=（m），所以m的是m；

40×（1+）=48（km），所以48km比40km长是km；35÷（1）=75（kg），所以35kg比75kg轻。

故答案为：2.4；；48；75。【思路点拨】求一个量的几分之几是多少，用这个量×几分之几；

一个量的几分之几是另一个量，那么这个量=另一个量÷几分之几；

比一个量多几分之几是多少，用这个量×（1+几分之几）；

一个量比另一个量少几分之几，那么这个量÷（1几分之几）。14．（2023五下·萧县期中）一个蛋糕，淘气吃了，妈妈吃了剩下的，其余的给爸爸吃，爸爸吃了这个蛋糕的。【答案】【规范解答】解：1=

×=

1

=

=。

故答案为：。

【思路点拨】爸爸吃了这个蛋糕的分率=单位“1”淘气吃的分率妈妈吃的分率；其中，妈妈吃的分率=（1淘气吃的分率）×。四、计算题15．（2023五下·蕉岭期中）计算下面各题①②③④⑤⑥【答案】解：①

=

=

=②

=15×（+）

=15③

=×18×18+×18

=96+2

=5④

=8（+）

=81

=7⑤

=6.6（+）

=6.65

=1.6⑥

=×24+×24

=4+9

=13【思路点拨】计算分数乘法时能约分的要先约分再乘；混合运算要先确定运算顺序再计算；异分母分数相加减，先通分再计算。

①：先去括号再计算更简便：a(b+c)=abc；

②、③、⑥：运用乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c），进行简便计算；

④、⑤：运用结合律：abc=a（b+c），进行简便计算。五、解答题1