专题02平面向量的数量积运算（原卷版）

专题02平面向量的数量积运算1．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的________(或内积)，记作________,即，其中是与的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为________投影向量：①定义：如图，设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的________②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是________2．平面向量数量积的运算律已知向量和实数,则交换律；数乘结合律________分配律.3.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量，是与的夹角，（1）数量积：；（2）模：________（3）夹角：________（4）垂直与平行：；________【注】当与同向时,；当与反向时，.（5）性质：(当且仅当________时等号成立)考点一向量数量积概念辨析考点二向量数量积的运算1.向量数量积的简单计算2.平面几何图形中的向量的数量积考点三共线向量定理的应用1.向量的模2.向量的夹角问题3.向量的垂直问题4.向量的投影问题考点一向量数量积概念辨析例1．（2023·全国·高一专题练习）下列说法中正确的是（

）A．向量满足B．若向量满足，则C．若向量，则D．对任意两向量，则与是相反向量练习1．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）（多选）如果都是非零向量，则下列判断正确的是（

）A．若，则或B．若，则C．若，则D．若同向，则练习2．（2023·高一课时练习）给出以下结论：①；②；③；④或；⑤．其中正确的序号是____________．考点二向量数量积的运算1.向量数量积的简单计算例2．（2023·广东·高三统考学业考试）已知向量和的夹角为，，，则________________.练习1．（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）已知向量，，均为单位向量，且它们两两的夹角均为，其中，，则的值为____________.练习2．（2023·江西上饶·统考一模）已知平面向量，满足，它们的夹角为，则____________________．练习3．（2022春·河南三门峡·高一校考阶段练习）已知，求分别在下列条件下的值.(1)；(2)；(3).2.平面几何图形中的向量的数量积例3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在边长为1的正中，，，则（

）A．1 B． C． D．练习1．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（

）A． B． C． D．1练习2．（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知正六边形ABCDEF的边长为2，则__________________．练习3．（2022·河北·模拟预测）已知为的外心，，，则______________________．考点二共线向量定理的应用1.向量的模例4．（湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题）已知两个非零向量的夹角为，且，则（

）A． B． C． D．3练习1．（2021春·河北·高三统考学业考试）已知向量，满足，，，则（

）A．5 B．4 C． D．练习2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设向量满足，，，则______________．练习3.（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．2.向量的夹角问题例5．（2023·新疆·统考一模）已知平面向量满足与的夹角为（

）A． B． C． D．练习1．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（

）A．30° B．45° C．135° D．150°练习2．（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知都是单位向量，满足则＝（

）A． B． C． D．3.向量的垂直问题例6．（2021春·福建泉州·高二校联考期末）已知向量与的夹角为，，则实数______________________.练习1．（2022秋·安徽亳州·高二校联考期末）已知非零向量，，与互相垂直，则____________．练习2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）若，，且，则____________．4.向量的投影问题例7．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．练习1．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知向量满足，，，则向量在向量上的投影为____________．练习2.（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则____．(结果用数值表示)练习3．（2023·全国·高一专题练习）已知，求在上的投影向量．一、单选题1．（2023·高一单元测试）已知向量，，若，则（

）A．，中至少有一个为非零向量 B．，垂直C．，反向 D．2．（2022秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知，则在方向上的投影为（

）A． B． C．4 D．83．（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影为（

）A．1 B． C． D．4．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知非零向量的夹角的余弦值为，且，则（

）A．1 B． C． D．25．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）在中，，是边上的中线，且，，则（

）A． B．5 C． D．86．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）在平行四边形中，，，，，且，则平行四边形的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题1．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知正六边形ABCDEF的边长为1，P为正六边形边上的动点，则的值可能为（

）A．－2 B．－1 C．1 D．22．（2022秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）设非零向量，的夹角为，定义运算.下列叙述正确的是（

）A．若，则B．若，则C．设在中，，，则D．（为任意非零向量）三、填空题1．（2004·全国·高考真题）向量满足，且，则与夹角的余弦值等于______________________．2．（2022秋·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知向量，满足，，与的夹角为，，则______________.3．（2023·全国·高一专题