35函数的应用（一）（精练）-2022年新高一数学暑假预习(人教A版2019)

3.5函数的应用（一）【题型解读】【题型一一次函数模型的应用】1.（2022·河北·武安市第一中学高一期末）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（）A．310元 B．300元 C．290元 D．280元【答案】B【解析】设函数解析式为，函数图象过点(1，800)，(2，1300)，则解得所以，当x＝0时，y＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元．答案：B2.（2022·山东·济南一中期中）2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如表：2019年1月1日后个人所得税税率表全月应纳税所得额税率（%）不超过3000元的部分3超过3000元至12000元的部分10超过12000元至25000元的部分20超过25000元至35000元的部分25个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是_____元.【答案】9720【解析】设他的工资是元，工资是8000元时纳税为，由于他有专项附加扣1000元，因此他工资是9000元时，纳税90元，，，纳税后收入为9900－180＝9720（元）．故答案为：9720．3．（2022·安徽宣城市·高一期末）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设有，由得，故选A.4.（2022·全国高一课时练习）据调查，某存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)【答案】D【解析】因为自行车辆，所以电动车车辆，存车总收入，故选：D.【题型二二次函数模型的应用】1.（2022·山东济宁·高一期中）以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(百元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为）(2)该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？【答案】(1)400吨(2)最小值800百元，最大值1400百元【解析】(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为，显然，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；(2)对称轴函数在[400，600]单调递增当时，当时，答：该单位每月处理成本的最小值800百元，最大值1400百元.2．（2022·四川凉山·高一期末）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．【答案】3.75(或)【解析】由题意函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），∴，a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2.2，∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2.2=﹣0.2（t﹣3.75）2+0.6125，∴得到最佳加工时间为3.75分钟．故答案为3.75．3.（2022·河北石家庄期中））某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元；（3）求第八个月公司所获得的利润.【答案】（1）；（2）第十个月；（3）利润为万元.【解析】（1）设与的函数关系式为.由题中函数图象过点、、，得，解得，因此，所求函数关系式为；（2）把代入，得，整理得，，解得，因此，截止到第十个月末公司累积利润可达到万元；（3）第八个月公司所获得的利润为（万元）.因此，第八个月公司所获得的利润为万元.4.（2022·河北张家口·高一期末）在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间？（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中．）【答案】秒【解析】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，因为，所以，令，可得，即，所以，所以，所以排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留秒.【题型三分段函数模型的应用】1.（2022·绥德中学高一期末）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量．（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）【答案】（1）f(x)=-12x【解析】（1）由题意，当0⩽x⩽400时，当时，；故f(x)=-（2）当0⩽x⩽400当时，（元当时，（元，当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．2．（2022·北京大兴·高一期末）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角（阴影三角形）被锈蚀，其中米，米，为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上.（1）设米，米，将表示成的函数，并求出的取值范围；（2）求矩形面积的最大值.【答案】（1），；（2）最大值为平方米.【解析】（1）如图所示，作于点，则，，其中，在中，，即，所以，其中.（2）设矩形的面积为，则，根据二次函数的性质，可得当时，单调递增，所以当米时，矩形的面积最大，最大值为平方米.故矩形面积的最大值为平方米.3.（2022·河南开封·高一期末）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：x10202530110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．【答案】(1)(2)选择②，，（，）(3)121元【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以，解得；(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:代入数据可得：，解得，，所以，（，）(3)由（2）可得，，所以，，所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，有最小值，且为121；当，时，为单调递减函数，所以当时，有最小值，且为124，综上，当时，有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．4.（2022·陕西·长安一中高一期末）通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律\left(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知：(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中?(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?【答案】（1）讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟；（2）讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中；（3）经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.【解析】(1)当0<t⩽10时,f(t)=−t2+24t+100=−(t−12)2+244是增函数,且f(10)=240；当20<t⩽40时,f(t)=−7t+380是减函数，且f(20)=240.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟．(2)f(5)=195,f(25)=205，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．(3)当0<t⩽10时,f(t)=−t2+24t+100=180，则t=4；当20<t⩽40时,令f(t)=−7t+380=180，t≈28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57−4=24.57>24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．【题型四“对勾”函数模型的应用】1.（2021·广西高一期末）（多选）某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（）A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值C．最小值为万元 D．最小值为万元【答案】BD【解析】一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，运费是9万元/次，一年的总储存费用为万元，所以一年的总运费与总储存费用之和为，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，一年的总运费与总储存费用之和最小为万元，故选：BD2．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元．(1)试求y关于x的函数解析式；(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．【答案】(1)；(2)公司乙，理由见解析.【解析】(1)因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米，于是得，，所以y关于x的函数解析式是.(2)由（1）知，对于公司甲，，当且仅当，即时取“=”，则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，对于乙，函数在上单调递增，，即乙公司最高报价为22900元，因，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，所以公司乙能竞标成功.3.（2022·安徽宣城·高一期中）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政