第2讲集合的表示

第2讲：集合的表示【知识点梳理】一、集合的表示（1）列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法．（2）描述法一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．（3）Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．【典型例题】题型一：用列举法表示集合【例1】（2022·全国·高一专题练习）集合用列举法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据集合的描述法得到集合的列举法.【详解】∵，∴．又，∴．故选：A【例2】（2021·全国·高一课时练习）集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______.【答案】

【解析】【分析】根据集合的描述法可得A中的代表元素为y，再结合满足条件即得，B中代表元素为结合满足的条件即得.【详解】由，，，知x可取的值为0，，，当时，，当时，，当时，，所以集合；由题知集合B表示点集，所以.故答案为：，.【例3】用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于的非负偶数组成的集合；(2)小于的质数组成的集合；(3)方程的实数根组成的集合；(4)方程组的解集.解：(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－2x－3＝0的实数根为－1,3，所以C＝{－1,3}．(4)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2))的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))所以方程组的解集D＝{(3,1)}．【题型专练】1.（2022·全国·高一课时练习）用列举法表示集合：为________．【答案】【解析】【分析】因为且，所以只能是0，1，2，3，4；只能是4，3，2，1，0.用列举法写出即可.【详解】由题知：=故答案为：.2.（2022·全国·高一专题练习）方程组的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出方程组的解，然后利用列举法表示集合即可．【详解】由得，即方程组构成的集合为.故选：D．3.（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设集合，则用列举法表示集合为______．【答案】【解析】【分析】根据题意可得，则，对代入检验，注意集合的元素为坐标．【详解】∵，则可得，则又∵，则当成立，当成立，∴故答案为：．4.用列举法表示下列集合：(1)方程的所有实数解组成的集合；(2)直线与轴的交点所组成的集合；(3)由所有正整数构成的集合．解：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．(3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．5.下列命题中正确的（） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对【答案】C【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选：C.题型二用描述法表示集合文字描述；式子描述【例1】用描述法表示下列集合：(1)不等式的解组成的集合；(2)被除余的正整数的集合；(3)；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.解：(1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．【例2】（2021·全国·高一单元测试）所有正奇数组成的集合是______．【答案】【解析】【分析】直接根据正奇数的定义得到集合.【详解】所有正奇数组成的集合是.故答案为：.【题型专练】1.用描述法表示下列集合：(1)比大又比小的实数组成的集合；(2)不等式的所有解；(3)到两坐标轴距离相等的点的集合．解：(1)可以表示成{x∈R|1<x<10}．(2)可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}．(3)可以表示成{(x，y)|x±y＝0}．2.（2021·全国·高一单元测试）所有正偶数组成的集合是______．【答案】【解析】【分析】直接根据正偶数的定义得到集合.【详解】所有正偶数组成的集合是.故答案为：.3.（2022·江苏·高一专题练习）集合用描述法可表示为（

）A．是不大于9的非负奇数 B．且C． D．【答案】AB【解析】【分析】利用描述法的定义逐一判断即可.【详解】对A，是不大于9的非负奇数表示的集合是，故A正确；对B，且表示的集合是，故B正确；对C，表示的集合是，故C错误；对D，表示的集合是，故D错误.故选：AB.4.（2022·全国·高一）用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______．【答案】【解析】【分析】用数学式子表示出自然语言即可．【详解】被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，因此．故答案为：．5.（2022·全国·高一专题练习）集合是（

）A．第一象限的点集 B．第二象限的点集C．第三象限的点集 D．第四象限的点集【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质可得，进而判断出集合的意义．【详解】由，故集合是第三象限的点集．故选：C.考点三：集合中元素个数相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性）【例1】设集合，则中元素的个数为（） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素．故选：B．【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】根据为整数，分析所有可能的情况求解即可【详解】当时，，得，当时，，得当时，，得即集合A中元素有9个，故选：A．【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知集合中所含元素的个数为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.【详解】解：因为，所以中含6个元素．故选：C.【题型专练】1.（2022·湖南衡阳·高二期末）已知集合，则集合中元素的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】讨论取相同数和不同数时,的取值即可得出答案.【详解】当取相同数时，；当取不同数时，的取值可能为1或2,故中共有3个元素.故选:B.2.（2022·陕西·交大附中模拟（理））已知表示正整数集合，若集合，则中元素的个数为（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】D【解析】【分析】根据集合描述的几何意义，列举出第一象限内符合要求的点坐标，即可知元素的个数.【详解】由题设，又，由，则，由，则，由，则，同理，均属于集合A，所以第一象限中有13个点属于集合A.故选：D3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，，则C中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据题意写出集合C的元素，可得答案.【详解】由题意，当时，，当，时，，当，时，，即C中有三个元素，故选：C4．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））已知集合，，则集合B中元素的个数是（

）A．1 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】根据所给定义求出集合，即可判断；【详解】解：因为，，所以，即集合B中的元素有，，，共4个，故选：B．5.已知集合，，则集合中元素的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】因为集合，，所以集合，故选：C6.设集合，则中元素的个数为（） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】因为，所以当时，由可得：；当时，由可得：；当时，由可得：，当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，所以,因此中元素的个数为5.故选：C考点四：根据元素个数求参相同元素根据互异性，只能计算一个（主要考查互异性）【例1】已知集合只有一个元素，则的取值集合为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】解：①当时，，此时满足条件；②当时，中只有一个元素的话，，解得，综上，的取值集合为，．故选：D．【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是_____．【答案】{0}∪[，+∞）．【解析】【分析】分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．【详解】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，解得x，故成立；当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，解得；综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）．故答案为：{0}∪[，+∞）．【例3】已知集合．（1）若中只有一个元素，求的值；（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【详解】解：（1）若中只有一个元素，则当时，原方程变为，此时符合题意，当时，方程为二元一次方程，，即，故当或时，原方程只有一个解；（2）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，由得综合（1）当时中至少有一个元素；（3）中至多有一个元素，即中有一个或没有元素当，即时原方程无实数解，结合（1）知当或时中至多有一个元素.【题型专练】1.已知集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，符合题意；当时，若集合中有且只有一个元素，则，解得；所以实数的取值集合是.故选：A．2.式子的所有可能取值组成的集合为________.【答案】【详解】因为，所以，当时，，当时，，所以式子的所有可能取值组成的集合为，故答案为：3.（2022·宁夏·银川一中高二期中（文））已知集合.(1)若A是空集，求的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.【答案】(1)(2)当时集合，当时集合；(3)【解析】【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．(1)解：是空集，且，，解得，的取值范围为：；(2)解：①当时，集合，②当时，，，解得，此时集合，综上所求，当时集合，当时集合；(3)解：中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；当中有2个元素时，则且，即，解得且；综上可得时中至少有一个元素，即考点五：集合新定义试题【例1】设是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的，都有(除数)，则称是一个数域，例如有理数集是一个数域，有下列说法正确的是（） A．数域必含有两个数； B．整数集是数域； C．若有理数集，则数集必为数域； D．数域必为无限集．【答案】AD【详解】数集P有两个元素m，N，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，，所以整数集不是数域，B不正确；令数集，则，但，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．故选：AD【例2】给定集合，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，给出如下三个结论：①集合为闭集合；②集合为闭集合；③若集合、为闭集合，则为闭集合．其中正确结论的个数是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】对于命题①，取，，则，则集合不是闭集合，①错误；对于命题②，任取、，则存在、，使得，，且，，所以，，，所以，集合为闭集合，②正确；对于命题③，若集合、为闭集合，取，，则或，取，，则，，所以，集合不是闭集合，③错误.因此，正确的结论个数为.故选：B.【题型专练】1.已知集合中的元素均为整数，对于，如果且，那么称是的一个“孤立元”．给定集合，由中的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案：6解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．2.设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数）则称数集是一个数域．例如有理数集是数域；数集也是数域．下列命题是真命题的是（） A．整数集是数域 B．若有理数集，则数集必为数域 C．数域必为无限集 D．存在无穷多个数域【答案】CD【详解】要满足对四种运算的封闭，逐个检验；A.对除法如∉Z不满足，所以排除；B.当有理数集增加一个元素得，而不属于集合，所以不是一个数域,排除；C.域中任取两个元素，由运算可以生成无穷多个元素，所以正确；D.把集合中替换成以外的无理数，可得有无数个数域，所以正确