81成对数据的统计相关性（五大题型）（原卷版）

8．1成对数据的统计相关性【题型归纳目录】题型一：相关关系的理解题型二：散点图与相关性题型三：散点图及其应用题型四：线性相关性的检验题型五：判断线性相关的强弱【知识点梳理】1、相关关系两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．2、正相关、负相关从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关．3、线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．4、相关系数的计算注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，，分别除和（和分别为，和的均值），得，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，则变量和变量的样本相关系数的计算公式如下：．【典型例题】题型一：相关关系的理解【方法技巧与总结】函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例1．（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．中的x，y是具有相关关系的两个变量B．正四面体的体积与棱长具有相关关系C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病人数是具有相关关系的两个变量例2．（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．任何两个变量都具有相关关系B．球的体积与该球的半径具有相关关系C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系例3．（2023·全国·高二专题练习）对于变量x与y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫做（

）A．函数关系 B．线性关系C．相关关系 D．回归关系变式1．（2023·全国·高二专题练习）下列两个变量之间的关系是相关关系的是（

）．A．正方体的棱长和体积B．单位圆中圆心角的度数和所对弧长C．学生的学籍号与学生的数学成绩D．日照时间与水稻的亩产量题型二：散点图与相关性【方法技巧与总结】判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．例4．（2023·高二课时练习）已知变量和满足关系，变量与正相关，则下列结论中正确的是（

）．A．与正相关，与负相关 B．与正相关，与正相关C．与负相关，与负相关 D．与负相关，与正相关例5．（2023·全国·高三专题练习）相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下的数据得到回归直线方程，相关系数为．则（

）A． B．C． D．例6．（2023·高三课时练习）变量X与Y相对应的一组数据为，，，，；变量U与V相对应的一组数据为，，，，.表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则（

）.A． B．C． D．变式2．（2023·全国·高二专题练习）如下四个散点图中，正相关的是（

）A． B．C． D．变式3．（2023·高二课时练习）某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率(%)12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是（

）A．利润率与人均销售额成正相关关系B．利润率与人均销售额成负相关关系C．利润率与人均销售额成正比例函数关系D．利润率与人均销售额成反比例函数关系题型三：散点图及其应用【方法技巧与总结】1、画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．2、在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现．例7．（2023·全国·高二课时练习）两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，分别判断它们是否具有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别．表1A261813104B202434385064表2C05101520253035D541．67602．66672．09704．99806．71908．59975．421034．75题型四：线性相关性的检验【方法技巧与总结】当相关系数越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数越接近0时，两个变量的相关关系越弱．例8．（2023·全国·高二专题练习）现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试数学成绩(y)，数据如下表：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771计算这10个学生的两次数学考试成绩的样本相关系数r，并判断两者是否具有线性相关关系．例9．（2023·全国·高二专题练习）为研究鲈鱼身长与体重的关系，芬兰某渔业公司记录了如下表所示的鲈鱼身长X（单位：cm）与体重Y（单位：）的数据：身长X/cm30.031.231.133.534.034.734.535.035.136.2体重Y/g242.0290.0340.0363.0430.0450.0500.0390.0450.0500.0身长X/cm36.236.236.437.237.238.338.538.638.7体重Y/g475.0500.0500.0600.0600.0700.0700.0610.0650.0请画出散点图，并求鲈鱼身长X与体重Y间的样本相关系数.例10．（2023·全国·高二课时练习）两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，分别判断它们是否具有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别．表1A261813104－1B202434385064表2C05101520253035D541．67602．66672．09704．99806．71908．59975．421034．75变式4．（2023·全国·高二课时练习）某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．年龄x（岁）123456身高y（cm）788798108115120（1）画出散点图；（2）判断y与x是否具有线性相关关系．题型五：判断线性相关的强弱例11．（2023·河南·校联考模拟预测）某学校组织学生观看了“天宫课堂”第二课的直播后，极大地激发了学生学习科学知识的兴趣，提高了学生学习的积极性，特别是对实验操作的研究与探究.现有某化学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展了某项化学实验操作，为了解实验效度与实验中原料的消耗量（单位：）的关系，该校实验员随机选取了10个小组的实验数据如下表.小组编号12345678910总计实验效度6原料的消耗量15并计算得.(1)求这10个小组的实验效度与实验中原料的消耗量的平均值；(2)求这10个小组的实验效度与实验中原料的消耗量的相关系数（精确到）；(3)经该校实验员统计，以往一个学年各种实验中需用到原料的实验有200次左右.假设在一定的范围内，每次实验中原料的消耗量与实验效度近似成正比，其比例系数可近似为样本中相应的平均值的比值.根据要求，实验效度平均值需达到.请根据上述数据信息，估计该校本学年原料的消耗量.附：相关系数例12．（2023·全国·高三专题练习）某沙漠地区经过治理，生态环境得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得：，，，，．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值；(2)求样本的相关系数（精确到）；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．例13．（2023·全国·高三专题练习）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）做好记录．下表是检验员在一天内依次抽取的个零件的尺寸：抽取次序零件尺寸（）抽取次序910111213141516零件尺寸（）经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸（）．(1)求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；(2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到）【同步练习】一、单选题1．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）下列关于统计概率知识的判断，正确的是（

）A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1C．已知随机变量服从正态分布，若，则D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则2．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（

）A．条形图 B．茎叶图 C．散点图 D．扇形图3．（2023秋·辽宁阜新·高二校考期末）如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是（

）A．城镇人口与年份呈现正相关 B．乡村人口与年份的相关系数接近C．城镇人口逐年增长率大致相同 D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势4．（2023·上海·高三专题练习）通过抽样调研发现，当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，甲认为这是巧合，两者其实没有关系：乙认为冷饮的某种摄入成分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求：丁认为两者的相关关系是存在的，但不能视为因果，请判断哪位成员的意见最可能成立（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2023·全国·高三专题练习）在一次试验中，测得的五组数据分别为，，，，，去掉一组数据后，下列说法正确的是（

）A．样本数据由正相关变成负相关 B．样本的相关系数不变C．样本的相关性变弱 D．样本的相关系数变大6．（2023·全国·高三专题练习）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（

）A． B．C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）对两个变量与进行回归分析，有个不同模型可供选择，其中拟合效果最好的是（

）A．模型的相关系数为 B．模型的相关系数为C．模型的相关系数为 D．模型的相关系数为8．（2023·全国·高三专题练习）对三组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数依次是，，，则它们的大小关系是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是(

)A． B． C． D．10．（2023·全国·高二专题练习）（多选）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量间具有相关关系的是（

）．A． B． C． D．11．（2023·全国·高三专题练习）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（

）A． B． C． D．12．（2023春·广东·高三统考开学考试）给出下列说法，其中正确的是（

）A．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为B．已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别为5，13C．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定D．样本相关系数三、填空题13．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）以下两个变量成负相关的是_____．①学生的学籍号与学生的数学成绩；②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；③气温与冷饮销售量；④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．14．（2023·高二课时练习）对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为______．15．（2023·全国·高三专题练习）若一组观测值，，…，（）对应的点位于同一直线上，则x，y的相关系数为______．16．（2023·高三课时练习）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为___________.四、解答题17．（2023·全国·高二专题练习）近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心，某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表：年