专题03四类立体几何题型-2023年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项练习（新高考专用）

专题03四类立体几何题型2023年高考数学大题秒杀技巧及专项练习（解析版）立体几何问题一般分为四类：类型1：线面平行问题；类型2：线面垂直问题；类型3：点面距离问题；类型4：线面及面面夹角问题；下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.技巧：法向量的求算待定系数法：步骤如下：①设出平面的法向量为．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量，．③根据法向量的定义建立关于的方程组④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．秒杀：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.类型1：线面平行问题方法一：中位线型：如图=1\*GB2⑴，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面.分析：方法二：构造平行四边形如图=2\*GB2⑵,平行四边形和梯形所在平面相交，//，求证：//平面.分析：过点作//交于，就是平面与平面的交线，那么只要证明//即可。方法三：作辅助面使两个平面是平行如图⑶，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，为的中点，证明：直线分析：：取中点，连接，只需证平面∥平面。方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．如图=5\*GB2⑸，已知三棱锥，是,,的重心.(1)求证：∥面；方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。线面平行问题专项训练1．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC=AA1=2.(1)求证：DE∥平面A1BC；(2)求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：∵点D、E分别为AC、AA1的中点，∴DE为三角形ACA1的中位线，即DE∥CA1，平面，平面，∴DE∥平面A1BC（2）过点A1作B1C1的垂线，垂足为F，连结，因为平面平面，且平面平面，，所以平面，所以为在平面的射影，即为所求角，，，所以.2．如图，在多面体中，已知是正方形，，平面分别是的中点，且．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，设是的中点，连接．为的中点，．又平面平面，平面．同理可得，平面．平面，∴平面平面．又平面，平面．（2）平面平面，．以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，，，设平面的一个法向量为．由得令，得，设与平面所成角为，则．∴直线与平面所成角的正弦值为3．如图，在四棱锥中，为直角梯形，，，平面平面.是以为斜边的等腰直角三角形，，为上一点，且.(1)证明：直线平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接交于点，连接．因为，所以与相似．所以．又，所以．因为平面，平面，所以直线平面．（2）平面平面，平面平面，平面，，所以平面．以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴的正方向，与均垂直的方向作为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，0，，，1，，，2，，，，2，，．设平面的一个法向量为，，，则，令，得，设平面的一个法向量为，，，则，令，得，，．设二面角的平面角的大小为，则．所以二面角的余弦值为．4．如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径.(1)求证：平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：连接，，则，且，，连接，，由圆柱的性质可得，所以四边形是平行四边形，，所以为中点，所以易知，平面，平面，所以平面；（2）设，则，，当且仅当时取等，如图所示，建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，所以，令，，所以，取平面的法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值，所以平面与平面夹角的余弦值为.5．在直三棱柱中，，M、N分别为棱BC和的中点，点P是侧面上的动点.(1)若平面AMN，试求点P的轨迹，并证明；(2)若P是线段的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点为Q，连，QB，，则点P的轨迹为线段BQ.证明：因为M，N分别为BC和的中点，所以又因为平面ANN，平面AMN所以平面AMN又因为Q是的中点，所以而，所以且所以四边形为平行四边形所以又因为平面ANN，平面AMN所以平面AMN因为，所以平面平面AMN因为点P在侧面上，且平面所以在平面内，所以点P在线段BQ上，所以点P的轨迹为线段BQ.（2）依题设可知直三棱柱为正三棱柱，以M为原点，建立空间直角坐标系，如图所示则，，，，，，设平面的法向量为，则.取，得设平面的法向量为，则.取，得∴所以，二面角的余弦值为.类型2：线面垂直问题必记结论：①特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直②特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直③等腰三角形三线合一，三线与底垂直④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系线面垂直问题专项训练6．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．(1)求证：平面；(2)求点D到平面ABE的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）证明：∵，D，E分别为AC，的中点，∴，且，又平面，∴平面，又平面，∴，又，且，平面，∴平面．（2）∵，，，∴，∴，，．在中，，，∴边上的高为．∴．设点D到平面ABE的距离为d，根据，得，解得，所以点D到平面ABE的距离为．7．如图，四边形为菱形，平面，，.(1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）设BD交AC于点O，连接EO，FO，因为四边形ABCD为菱形，所以.因为ED平面ABCD,AC平面ABCD，所以.又，平面BDEF，所以平面BDEF；又平面BDEF，所以.设FB=1，由题意得ED=2，.因为FB//ED，且面，则FB平面ABCD，而平面ABCD，故，，所以，，.

因为，所以.

因为，平面ACF，所以EO平面ACF.

又EO平面EAC，所以平面EAC平面FAC.（2）取EF中点G，连接OG，所以OG//ED，OG底面ABCD.以O为原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，由（1）中所设知，，所以，,所以.所以，，，设平面FAE的一个法向量为，则，所以；平面AEC的一个法向量为，则，所以；所以，由图形可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的大小为.8．如图，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，且，平面平面．(1)求证：；(2)若点E是线段上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥的体积为?【答案】(1)证明见解析(2)E为线段上靠近点D的三等分点【详解】（1）四边形是直角梯形，，，，∴，则，∴，∵平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；（2）由（1）可知平面，，设，则E到平面的距离为到平面的距离的倍，即E到平面的距离，是等腰直角三角形，，，，，即，，E为线段上靠近点D的三等分点．9．如图，在直三棱柱中，，，，D为棱的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：BE⊥平面；(2)求三棱锥BDEF的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）∵，，，∴，，则．∵为直三棱柱，故侧面为矩形，∴，综上，，故，又，∴，则．∵平面ABC，平面ABC，∴，又AC⊥AB，，平面，平面，∴平面，又平面，则．∵，平面，平面，∴平面．（2）连接AF，，平面，平面，∴平面，∴三棱锥BDEF的体积．∵，∠BAC=90°，F为BC的中点，∴，，∴，∴，∴三棱锥BDEF的体积．10．如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点.(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为为直三棱柱，所以平面.又平面，所以.因为为棱的中点，，所以.因为平面，平面，，所以平面.又平面，所以.因为为棱的中点，所以.又，所以，同理，所以.因为平面，平面，，所以平面.（2）因为，，，所以，，所以.由（1）知平面，所以，即三棱锥的体积为.类型3：点面距离问题结论1：《点线距离》《异面直线求距离问题》结论2：《点面距离》结论3：《线面距离》结论4：《面面距离》结论5：《点点距离》11．如图，在底面是矩形的四棱雉中，平面，，，是PD的中点.(1)求证：平面平面PAD；(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；(3)求B点到平面EAC的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）由题可知，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示则所以所以即,所以即,又,平面PAD,所以平面PAD,又平面，所以平面平面PAD.（2）设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，由题意知，平面，平面ACD的法向量为,设平面EAC与平面ACD夹角的，则，所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为.（3）由（2）知，平面的法向量为，设B点到平面EAC的距离为，则，所以B点到平面EAC的距离为.12．如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，点P，M分别为，上靠近的三等分点．(1)求点M到直线的距离；(2)求直线PD与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题可得AD=2，，又点P为AB上靠近A的三等分点，所以AP=1．在中，由余弦定理可得，，故，所以为直角三角形，故DP⊥AB．因为底面ABCD为平行四边形，所以DP⊥CD．由直四棱柱性质可知，，即DP，CD，两两垂直．故以D为坐标原点，分别以DP，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．则．因为，过点M作，（点到直线的距离即为通过该点向直线做垂线，点到垂足的距离）令，所以，故．由，解得，所以，故点M到直线的距离为．（2）因为，，，设平面的法向量为，则即令，得，，故．设直线PD与平面所成角为，则．所以直线PD与平面所成角的正弦值为．13．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点.(1)求二面角的余弦值；(2)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由.【答案】(1)(2)平行，距离为【详解】（1）连接AC，交BD于点O，连接SO，因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC，BD的中点，且，因为三棱锥是正三棱锥，，O为BD的中点，所以，平面SAC,平面SAC,又，所以平面SAC.作平面BCD于H，则H为正三角形BCD的中点，H在线段OC上，且，，，.如图，以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，C.，D.，，，，所以，，，设是平面EBF的法向量，则，则，设是平面DBF的法向量，则，取，所以，又因为二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为.（2）直线SA与平面BDF平行.法1:连接OF，由（1）知O为AC的中点，又F为SC的中点，所以，又因为平面BDF，平面BDF，所以直线平面BDF.法2:由（1）知是平面BDF的一个法向量，又，，所以，所以，所以，又因为平面BDF，所以直线平面BDF.设点A与平面BDF的距离为h，则h即为直线SA与平面BDF的距离，因为，是平面DBF的一个法向量，所以，所以点A与平面BDF的距离为，所以直线SA与平面BDF的距离为.14．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．(1)求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；(2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．【答案】(1)(2)证明见解析，【详解】（1）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，菱形中，，所以,在中，因为底面ABCD，所以PB与底面ABCD所成的角为，所以，则点A、B、D、P的坐标分别是，E是PB的中点，则，于是，.设的夹角为θ，则有，故，∴异面直线DE与PA所成角的大小是.（2）连接，分别是的中点，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.因为，,设平面PAD的法向量，则，令，则，所以，又，则点E到平面PAD的距离.15．斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．(1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)存在，(2)【详解】（1）连接，因为，为的中点，所以，由题意知平面ABC，又，，所以，以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，则，，，，由得，同理得，设，得，又，，由，得，得，又，∴，∴存在点D且满足条件；（2）设平面的法向量为，，，则有，可取，又，∴点到平面的距离为，∴所求距离为.类型4：线面及面面夹角问题结论1：异面直线所成角①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出关键是求出及与结论2：线面角 结论3：二面角的平面角 线面及面面夹角问题专项训练16．如图，在四边形中，，以为折痕将折起，使点D到达点P的位置，且．(1)证明：平面；(2)若M为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）因为，又，所以，所以，由，可知，因为平面，所以平面，因为平面，所以，又平面，所以平面；（2）取的中点O，连接，由（1）知，平面，为的中位线，，所以平面，又平面，所以，即两两垂直，如图，以O为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，所以，设平面的一个法向量为，则由令，得，，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17．在四棱锥中，面面，，是线段上的靠近点的三等分点.(1)求证：面；(2)若面和面的夹角为，求线段的长.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）法一：由，面面，面，面面，所以面，面，故，由勾股定理得：，而，又，所以，所以，易得：，所以，故，又，面，所以面.法二：因为面面，在平面内作，则面，以点为原点建立空间直角坐标系，则，设，因为，所以，可得.所以，又，故，所以，又，面，所以面.（2）法一：取的中点，连结，交于点，则，所以为平行四边形，则，由（1）知：面，过作于点，连结就是二面角的平面角，即，而，则，且，，故，而，由（1）知：面，则面，面，所以，故在直角中.法二：因为，若平面的法向量，所以，令，则，面的法向量为：，所以，所以（负值舍），则.18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，且直线PD与底面ABCD所成的角为．(1)求证：平面平面PAC；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）证明：∵平面，