人教A版高一数学必修第一册第三章3.1函数的概念及其表示

人教A版高一数学必修1第一学期第三章3.1函数的概念及其表示第三章函数的概念及性质3.1

函数的概念及其表示核心素养目标1.数学抽象：理解函数的定义;了解构成函数的要素.2.直观想象：能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数3.逻辑推理：体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用，在图形的变化中感受数学的直观美。4.数学运算：掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点。教学目标教学重点：掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点。教学难点：能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用，在图形的变化中感受数学的直观美。知识讲解情境导入天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化！中国高铁营业里程逐年增加，已突破2万公里！所有这些都表现为变量间的对应关系！这种关系常常可用函数模型来描述，通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律！知识讲解设在一个变化过程中有

，如果对于x的

，y都有

与它对应，那么就称y是x的函数；其中x是

，y是因变量.初中我们已经接触过函数的概念，初中函数是如何定义的？初中学过哪些函数？唯一的值自变量两个变量x与y每一个值知识讲解问题一：初中阶段我们都学过那些函数呢？一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

反比例函数：y＝k／x(k为常数且k≠0)知识讲解问题二：大家还记得初中函数的定义是什么?在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量．思考：y=2是函数吗？

要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念.知识讲解

10知识讲解实例二：某市一天24小时的气温变化图：根据上图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A=(t/0≤t≤24}.温度的变化范围是数集B={θ|-2≤θ≤9}并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确定的温度θ和它对应知识讲解例三：1998-2003年，我国普通高等学校招生人数情况：招生的年份为数集A={1998,1999,2000,2001,2002,2003}招生人数数集B={108.4,157.9,220,268.3,320,335}并且，对于数集A中的每一个年份，按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确定的人数和它对应问题二：（1）在每个实例中，变量所构成的两个集合的元素之间具有怎样的关系？（2）实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？（3）以上三个实例有什么相同的特征？知识讲解不同点：实例1是用解析式刻画变量之间的对应关系实例2是用图象刻画变量之间的对应关系实例3是用表格刻画变量之间的对应关系共同共同点：(1)都有两个非空数集;(2)A中的任意一个元素B中都有唯一的元素与之对应;(3)两个数集之间都有一种确定的对应关系.结论：对于集合A中的每一个元素，按照某种确定的对应关系在集合B中都有唯一确定的元素和它对应.记作：f：A→B13知识讲解设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，函数的概念记作y=f(x),x∈A1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。2）函数三要素：定义域

对应关系

值域3）函数表示方法：解析法

图像法

列表法注意：1、f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，不是f乘x2、f(a)表示当x=a时，f(x)对应的函数值3、函数符号y=f(x),也可以用其他字母表示如y=g(x),y=φ(x)等14知识讲解集合A、B与对应关系f如下图所示：f：A→B是集合A到集合B的函数吗？AB平方12-114910函数只能是一对一或多对一，不能一对多注意：1、函数概念的要点：任意性，唯一性，对应法则XV2、值域是集合B的子集，即：{f(x)|x∈A}⊆B(集合B中可以有剩余）知识讲解函数解析式一次函数y=ax+b（a≠0)二次函数y=ax²+bx+c（a>0)二次函数y=ax²+bx+c（a<0)反比例函数

y

=（k≠0)定义域（-∞，+∞）R或（-∞，+∞）R或（-∞，+∞）(-∞,0)∪(0,+∞)值域R或（-∞，+∞）【fmin,+∞][-∞,fmax](-∞,0)∪(0,+∞)知识讲解区间概念的引入设a,b是两个实数，而且a＜b，我们规定这里实数a与b都叫做相应区间的端点.知识讲解∞的概念实数集R可用区间表示为（-∞，+∞）知识讲解如下图所示的xy的对应，能表示函数的是_____A.D函数三要素：定义域、对应关系、值域X19知识讲解用函数定义描述以下函数函数定义域对应关系值域一次函数二次函数反比例函数RRR知识讲解构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x（10-x）来描述。解：如果对x的取值范围做出限制，那么可构建以下情境。长方形的周长为20，设一边长为x，则另一边为（10-x），面积为y那么y=x（10-x）其中，定义域为=A={x/0＜x＜10}值域为B={y/0＜y≤25}对应关系f把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积x（10-x）.21知识讲解(1)、集合A与集合B是一个怎样的集合？A,B是两个非空的数集(2)如何理解“对于A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应”？知识讲解(3)、集合B和值域C是什么关系?值域C是集合B的子集(4)、f(x)一定表示解析式吗？函数符号y=f(x)表示f与x的乘积吗？f(2)表示什么意思？f(a)又表示什么意思？f符号y=f(x)表示“y是变量x的函数”，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积。f(2)表示自变量为2时的函数值。f(a)表示自变量为a时的函数值.知识讲解(5)、一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？函数三要素：定义域、对应关系、值域。函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；(6)、“按照某种确定的对应关系”是什么意思？f可以看作是对“x”施加的某种运算或法则。例如：

，f就是对自变量x求平方。知识讲解初中各类函数的对应关系定义域值域分别是什么？知识讲解下列可作为函数y=f(x)的图象的是（

）【答案】D【解析】【解答】解：∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x=c都只有一个交点；选项A、B、C中均存在直线x=C，与图象有两个交点，故不能构成函数：故选D【分析】利用函数的定义分别对A、B、C、D四个选项进行判断，即可得答案D知识讲解1、.如下图所示的xy的对应，能表示函数的是_____A.D2、判断下列对应能否表示y是x的函数：（1）|y|=x（2）y=x2（3）y2=x3、下列函数中哪个与函数y=x相等()BXVX知识讲解

设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作:y=f(x),x∈A

注意：（1）x叫做自变量，x的取值范围构成的集合A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值；函数值组成的集合

叫做函数的值域。函数的概念C={y|y=f(x),x∈A}区别定义的扩展：初中强调变量之间的关系；高中是在映射概念和集合的概念的基础上进行定义及理解;知识容量的扩充：初中主要研究的函数为一次函数、二次函数、反比例函数及其图像；高中主要研究基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数及其图像性质;学习要求的全面提升：初中阶段只要求掌握什么是函数，会求函数的解析式及简单的函数的应用；高中涉及要求会求定义域、值域以及之后接触的反函数.联系对应法则本质是相同的；初高中函数应用上都用到了数形结合的思想；初中函数的定义能更好地理解高中函数定义中强调的一一对应关系。高中和初中函数概念的区别和联系知识讲解三种表示方法的优点解析法图象法列表法①函数关系清楚、精确②容易从自变量的值求出其对应的函数值③便于研究函数的性质。解析法是中学研究函数的主要表达方法。能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础。不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。知识讲解知识讲解函数三种表示方法：列表法

列出表格来表示两个变量的关系图像法

用图像表示两个变量之间的关系解析式法

数学表达式来表达两个变量的关系知识讲解某种笔记本的单价是5元，买x本笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数。知识讲解知识讲解(1）用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？函数的定义域的函数存在的前提，再写函数解析式的时候，一定要写出函数的定义域。(2）用描点法画函数图象的一般步骤是什么？本题中的图象，为什么不是一条直线？列表、描点、连线（视其定义域决定是否连线）离散的点等。函数的图象既可以是连续的曲线，