4.2.1 指数函数的概念 课件高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2指数函数问题１随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．一、创设情境、导入新课

探究1：

比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？

用什么方法更易发现规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图，根据图像并结合年增长量，发现了什么规律？Ａ地：游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次）Ｂ地：游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．思考:景区人次与年份是不是函数关系？如果是，你能用函数表达式表示吗？对于景区B呢?用同样方法可以求出函数关系吗？我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.那么能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？增加量=变后量-变前量从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到【结论】结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.……增长率=增加量变前量=变前量变后量-变前量=变前量变后量-1像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：这是一个函数，其中指数x是自变量问题２当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间

称为“半衰期”．

按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？常数这是一个函数，其中指数x是自变量像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减。追问：某生物死亡10000年后，它体碳14内含量衰减为原来的百分之几？提炼：问题：以上两个式子有何共同特征？(1)均是幂形式；(2)底是一个常数；(3)自变量x在指数位置上；y=1.11x二、抽象特征，形成概念三指数函数的定义

一般地：形如y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数.其中x是自变量,函数的定义域是R观察指数函数的特点:系数为1底数为正数且不为1x系数为1探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？①若a=0，则当x≤0时，③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性.

②若a<0，对于x的某些数值，可能使判断下列函数是否为指数函数？小试牛刀三、概念应用，加深理解例1．已知指数函数设f(x)＝ax(a>0,且a≠1),且f(3)=π求f(0)，f(1)，f(-3)的值；例２（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x），这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．例3.若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(

)A．a＝1或2

B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠1变式1：若函数f(x)＝(a2－4a＋4)·(3a－2)x是指数函数，则a的值为______．

x-3-2-1-0.500.51230.130.250.50.7111.42488421.410.710.50.250.13四、指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：

列表如下：87654321-6-4-2246和用描点法来作出函数的图像.

图像都在x轴上方(y>0)，向上无限伸展，向下无限接近于x轴

x∈R图像都经过点（0，1）

都是增函数非奇非偶函数底数越大，向上的方向越靠近y轴底数都大于1用描点法来作出函数的图像.

和图像都在x轴上方(y>0)，向上无限伸展，向下无限接近于x轴x∈R图像都经过点（0，1）

都是减函数非奇非偶函数底数越小，向上的方向越靠近y轴底数都小于1654321-4-224qx()=()13xhx()=3xgx()=()12xfx()=2x若干不同底的图像的特征关于y对称的图象和性质：

图象在y轴左边平缓，右边陡峭图象在y轴左边陡峭，右边平缓a>10<a<1图象性质1.定义域：2.值域：3.过点，即x=时，y=4.在R上是函数在R上是函数例4.比较下列各题中两个值的大小：课本P117五、指数幂的比较大小(1)定义域的求法：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．(2)值域的求法：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．六、函数y＝af(x)定义域、值域的求法

七、解简单指数方程、指数不等式。例6（1）方程4x－2×2x－8＝0的解是x＝________．（2）若3x＋1<1，则x的取值范围是(

)A．(－1，1) B．(－1，＋∞)C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)（3）如果a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)，求实数x的