3.1.2 课时1 函数的表示法与分段函数 课件-2024~2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.2课时1函数的表示法与分段函数学习目标1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能画出分段函数的图象.3.掌握求函数解析式的常用方法.情境引入我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是哪三种方法吗？请结合教材P60--61的问题1，2，3，4来说明.（1）解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.例如：问题1中的S=350t,t∈{t|0≤t≤0.5}

问题2中的w=350d,d∈{1,2,3,4,5}（2）图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系.例如：问题3中的图象(3)列表法:用列出的表格来表示两个变量之间的对应关系.例如：问题4中的表格新课讲授例1

某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5,用列表法可将函数y=f(x)表示为x∈{1,2,3,4,5}用图像法，可将函数y=f(x)表示为右图.笔记本数x12345钱数y510152025函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线，折线，离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？依据是函数的定义.要判断一个图形是否为某个函数的图像，其法则为：在定义域内过点任意一点（x，0）作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为再次定义域内的函数图象，若无交点或多于1个交点，则不是函数图象.思考:（1）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？（2）所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图像法呢？请你举出实例加以说明.表示法优点缺点备注解析法（1）简明全面的概括变量间的对应关系；（2）通过解析式可以求出任意一个变量的值所对应的函数值.不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示.

解析法、图像法、列表法各有各的优缺点，面对实际情况时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.列表法不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.只能表示出自变量取较少的有限值时的对应关系.图象法（1）能直观形象的表示出随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势；（2）便于研究函数的某些性质.只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大.思考:（2）所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图像法呢？请你举出实例加以说明.并不是所有函数都能用解析法表示.（1）如某地一年中每天的最高气温是日期的函数，该函数就不能用解析法表示；（2）同样，并不是所有的函数都能用图像法表示，如函数不能用图像法表示；（3）列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无限个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.练1.已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x).解：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示.用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示.x1234y－2－3－4－521例2

画出函数y=|x|的图象.

解：

所以，函数y=|x|的图象如图所示.

概念讲解在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同对应关系的函数称为分段函数.注意：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式.（2）处理分段函数问题时，要先明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.（3）分段函数在书写时，用大括号的左半部分把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围.（4）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.（5）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.例3

已知（1）在同一直角坐标系统画出函数

的图像；（2）请分别用图象法和解析法表示函数M(x).解：（1）如图所示.（2）请分别用图象法和解析法表示函数M(x).（2）由(1)中图所示函数值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象.由(x+1)2＝x+1解得x＝-1或x＝0，

练3.李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是()D练4.函数f(x)＝|x－1|的图象是()B练5.下列图象是函数y＝x|x|的图象的是()D例4

已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x).

解析式的求法-

待定系数法例5x2－1(x≥1)

解析式的求法-

换元法例6

已知f(x)＋2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式.解：因为f(x)＋2f(－x)＝9x＋2，①所以f(－x)＋2f(x)＝9(－x)＋2，②②×2－①得3f(x)＝－27x＋2，解析式的求法-

消元法课堂总结根据本节课，回答下列问题：①函数的三种表示.②画分段函数的图象.③求函数解析式的方法.当堂检测1.已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是()A.f(x)＝2x＋8 B.f(x)＝2x＋1C.f(