03-多相流动的基本方程

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多相流动的基本方程《多相流体力学》2012.09程丽1主要内容1.输运定理2.连续介质模型2.1连续方程2.4能量守恒原理

2.2动量方程2.5守恒方程的统一形式

2.3动量矩方程3.唯象方法3.1均相模型3.4简化模型

3.2分相模型

3.3多相体系中相界面的表面张力多相流及其应用，车得福李会雄，西安交通大学出版社，2007.11二相流体动力学，刘大有，高等教育出版社，1993.0921.输运定理TheReynoldstransporttheorem（1）系统(system)——由确定的流体质点组成的流体团或有限的流体体积V*(t)。系统的边界面S*(t)。运动流体质点的集合，系统的体积和边界面的形状可以随时间变化；系统边界上没有质量的输入输出，系统质量不变，但有动量和能量的变化；

系统边界面上有力的相互作用。系统导数——系统内物理量的总和对时间的变化率。如：系统总质量及其系统导数SystemControlVolumeControlSurfaceV3SystemControlVolumeControlSurface（2）控制体(controlvolume)——相对于坐标系固定不变的空间体积V。控制体的边界面S称为控制面。控制体的几何外形和体积相对于选定的坐标系是固定不变的；

控制面上可以有流体的流入、流出，有质量、动量和能量的交换；控制面上有力的相互作用。控制体导数（局部导数）——控制体内某物理量的总和对时间的变化率。如：控制体内的总质量及其局部导数V4（3）输运公式——系统导数的Euler表达式

经典力学定律建立在固定对象上，流体力学中这些定律建立在系统上。由于流体的流动性，系统的体积和边界面形状不断变化，不利于实际应用。需要将建立在系统上的定律转换到具有固定体积的控制体上。定理：任一瞬时系统内物理量Q(p;t)

随时间的变化率等于该瞬时同形状、同体积控制体内物理量的变化率与通过控制面S的输运量之和。

说明：Q可以是标量，也可以是矢量。当时，表示单位时间内通过S的质量；当时，表示单位时间内通过的动量。52.连续介质模型采用该模型建立二相流方程时，只需假设每一相在局部范围内都是连续介质，不必引入其它各种人为假设，而且对二相流的种类和流型（flowpattern）没有任何限制。在逻辑上和数学推导上是目前最严密的方法。分析方法将流体力学的基本理论用于多相流，不同研究者给出的多相流方程差别很大。主要原因：除了对各相列出各自的守恒方程外，还要考虑两相间的相互作用，对于相间作用的处理差别，导致了不同形式的方程。目前，从连续介质模型出发得到的两相流动基本方程组应用最广泛。在下面的推导中，忽略表面张力，把相界面视为无质量、无动量、无能量的几何面。包括表面张力和表面能量效应的二相流基本方程的系统推导，可参阅Ishii的专著。Ishii,M.,Thermo-FluidDynamicTheoryofTwo-PhaseFlow,Eyrolles,Paris,1975.6控制体V包含有相1和相2两种运动介质，两相分界面Ai(t)将V划分为V1(t)和V2(t)两部分。相1、相2在相界面的外法线分别为n1(t)和n2(t)，n1(t)=-n2(t)。相1所占体积V1(t)的全部边界为A1(t)和Ai(t)，相2所占体积V2(t)的全部边界为A2(t)和Ai(t)。外表面A=A1(t)+A2(t)，外法线方向n。其中，A1(t)位于相1内部，A2(t)位于相2内部。V是由静止的封闭曲面A所围的控制体。时刻t该控制体包围的流体介质为V*(t)。控制体和相界面72.1连续方程——质量守恒定律在流体力学中的应用。

流体系统的体积V*(t)，边界面S*(t)。在系统边界上没有质量的输入输出，即总质量不变。SV——Lagrange型连续方程——Euler型连续方程8它反映了cs上速度分布与cv内密度变化之间的积分关系。

在流场中任取一空间固定的封闭曲面S（控制面），包围的流体体积为V（控制体）。质量守恒：单位时间流出控制面的净质量=控制体内流体质量的减少

——Euler型连续方程SV控制体上的质量守恒方程：9特例：沿流管不可压流动：

不可压缩流动：流管的截面积与流速成反比，S小的地方流速快，S大的地方流速慢。平面流动：流线间距大，流速慢；间距小，流速快。即流线的疏密反映了流速的大小。

S1S2v1v2流入、流出CS体积相等流动定常、不可压缩均质：沿流管：10连续方程（二相流动）质量守恒：单位时间流出控制面A1(t)和A2(t)的净质量=控制体V内质量的减少。式中，和（k=1,2）是相k的相密度和速度。针对控制体V112.2动量方程时刻

t任取一流体系统，体积V*(t)、边界面S*(t)，外法向量n，系统受到的合外力FnV*(t)S*(t)F动量定理：系统内动量的变化率等于作用在系统上的合外力。

12——控制体内（CV内）流体动量对时间的变化率与单位时间内（净）流出控制面（CS）的动量之和，等于外界作用在CV和CS上的合力。VSnF控制体：输运公式若流动定常，流体流入控制体时，流出控制体时，13动量方程（二相流动）单位时间内系统V*(t)的动量增加（动量增长率）=外界施于系统各部分的质量力之和+外界施于系统各部分的表面力之和式中，是外界作用于相k单位质量上的质量力，是相k内的应力张量。14输运公式针对封闭的表面使用，即A1(t)+Ai(t)，对于单独的表面A1(t)，不能直接使用输运公式。右边第二项：单位时间内相2流出控制面A2(t)的动量，第三项：单位时间内相2流出相界面Ai(t)的动量。相1和相2之间通过相界面Ai(t)进行的动量交换，对于控制体V内的总动量变化没有任何贡献，加和以后相1和相2的这两项互相抵消。15针对控制体V=V1(t)+V2(t)，单位时间内控制体V的动量增加=单位时间内（净）流入控制面的动量+外界作用在控制体上的质量力+外界作用在控制面上的表面力162.3动量矩方程动量矩定理：流体系统相对于某一点动量矩的变化率，等于该瞬时外界作用在流体系统上的力相对于同一点的矩。

时刻t任取一流体系统，体积V*(t)、边界面S*(t)，外法向量n，系统受到的合外力F，任取一点为力矩参考点，r为流体质点到参考点的矢径。向量叉乘的结合律：17根据输运公式，动量矩定理：控制体（cv）内关于某一点动量矩的变化率与单位时间内流出cs的动量矩之和，等于外界作用在cv和cs上的力关于同一点的矩。

nVSFr若流动定常，18动量矩方程（二相流动）针对流体系统V*(t)=V*1(t)+V*2(t)，动量矩定理：一个封闭表面19针对控制体V=V1(t)+V2(t)，动量矩定理：控制体V内两相关于某一点的动量矩的变化率=单位时间内（净）流入两相控制面的动量矩+外界作用在两相控制体和控制面上的力关于同一点的矩202.4能量守恒原理热力学第一定律：流体系统内总能量的增长率（单位时间内流体系统总能量的增加）等于单位时间内的外力作功和输入流体系统的热量之和。从左到右，方程各项分别表示：系统总能量的增长率，体积力所作功率，表面力所作功率，（单位时间内）系统内由于辐射或其它物理、化学原因传入的热量（如生成热），边界面上由于热传导输入的热量。系统的总能量等于动能和内能之和，是单位质量的动能，e为流体单位质量的内能。21外界封闭曲面S，包围区域为V，t时刻M(x,y,z)点的温度为T，DS的外法线单位向量n。由传热学中Fourier实验定律可知，物体在无穷小时间段dt内，流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt，曲面面积dS，以及物体温度T沿曲面dS的法线方向的方向导数三者成正比，即对于均匀且各向同性的物体，热传导系数k为常数。负号表示热量的流向和温度梯度的正向相反。单位时间内，通过曲面S流入区域V的全部热量为时，物体温度沿n方向增加，热量从外界向区域V内部传递，大小为│dQ│。22单位时间内，系统内由于辐射或其它物理、化学原因传入的热量（如生成热）：——由于辐射或其它原因在单位时间内传入单位质量的热量分布函数。其中，Dm为包围M点的体积DV内的质量，DQ为其它方式传入DV内的热量。23根据输运公式，流体系统V*(t)的能量增长率可写为控制体V上满足的能量守恒方程形式如下：24熵平衡方程按照Fourier热传导定律，有为相k的热流通量，为单位质量相k介质在单位时间内的生成热。其中，是内发生的不可逆过程产生的熵增率；是相界面上发生的不可逆过程产生的熵增率。根据热力学第二定律，都是非负的。控制体V内的熵增加的来源：通过表面A1(t)和A2(t)流入的质量所携带的熵；通过表面传入的热引起的体系熵的增加；外界对控制体V的体加热引起的体系熵的增加；子系V1(t)和V2(t)中发生的不可逆过程引起的熵增；相界面Ai(t)上发生的不可逆过程引起的熵增。252.5守恒方程的统一形式相1和相2之间通过相界面Ai(t)进行的质量、动量、动量矩（角动量）和能量交换，对控制体V内的总质量、总动量、总能量没有任何贡献。控制体V包含有相1和相2两种运动介质，两相分界面Ai(t)将V划分为V1(t)和V2(t)两部分。相1、相2在相界面的外法线分别为n1(t)和n2(t)，n1(t)=-n2(t)，相界面的运动速度vi(t)。外表面A=A1(t)+A2(t)，外法线方向n。在外表面A处，相1、相2流体质点的运动速度分别为v1(t)和v2(t)。263.唯象方法确定被研究的多相流工况的流型，根据不同流型，推导出不同的多相流体基本方程式。气液两相流的两种基本流动型式：

均相模型：两相均匀混合流动的流型，如细泡状流型、雾状流型就接近这种流型。（单流体模型）

分相模型：两相完全分开流动的流型，如环状流型、分层流型就接近这种流型。（双流体模型）273.1均相模型二相流体动力学，刘大有，高等教育出版社，1993.09当流场中的多个相混合均匀时，将多相流视为单一混合物的连续介质。使用单相流动的控制方程确定二相混合介质的平衡热力学性质28二相混合介质的平衡热力学性质用一种等效的流体代替实际的二相混合介质，若这种流体的各种热力学性质和热力学关系已经确定，那么就可以用普通的流体力学方法或非牛顿流方法处理二相流问题。问题：如何由各相的热力学性质和浓度求出混合介质的等效热力学性质，并且建立混合介质的各热力学参数之间的平衡关系。说明：这里的两相，一相是气体（用下标g表示），另一相是密度很高、压缩性很小的固相或液相（用下标d表示）。不考虑表面张力以及与此相关的表面能量等问题。293.2分相模型对于两相完全分开流动的流型，如环状流型、分层流型，可考虑分相模型。瞬时的、局部的相守恒方程二相流方程的时间平均、空间平均30前面已推导各守恒方程的统一形式如下：微分形式的推导：将对时间的求导提到积分符号内部，Vk(t)的表面由Ak(t)+Ai(t)组成，对于控制体，外表面Ak(t)的运动速度vA=0，而相界面Ai(t)的运动速度为vi(t)。根据Gauss公式，将面积分转换为体积分，要注意封闭表面的组成。在外表面A处，相1、相2流体质点的运动速度分别为v1(t)和v2(t)。在相界面的两侧，相1、相2流体质点的运动速度分别为v1i(t)和v2i(t)。31瞬时的、局部的相守恒方程输运公式控制体Vk(t)，外边界Ak(t)的运动速度vA=0，相界面Ai(t)的运动速度vi(t)。统一形式的变换如下：Leibniz法则相界面上的输运量32将Gauss定理应用于上式，得到33将Ai(t)上的各个面积分合并，得到，下标i表示相界面，vi是相界面的速度；下标ki表示相界面附近相k的值，例如，vki、Pki和Tki等分别为相界面附近相k的速度、压强张量和温度。是从相k进入相界面的质量通量，其定义为：（11.3.2）34因为以上的控制体是任意选取的，对于任何这种控制体，（11.3.1）式均成立，则三个被积函数都为0，（k=1,2）方程（11.3.3）是相k内的任意一点应该满足的微分方程，方程（11.3.4）是任意一个相界面面元应满足的条件。35瞬时的、局部的相守恒方程的具体形式，如质量守恒方程：多相流动（流场中）Gauss公式

单相流动36二相流方程的时间平均、空间平均在实用意义上，不可能如此细微地去描述每一相的瞬时的和局部的各种变化。考虑瞬时、局部的流场，流动几乎不可能是定常的；为了求解非定常流动，必须先给定初始条件，很难如此细微地给出初始条件。人们通常关心的是二相混合介质某种平均意义上的运动和各物理量平均值的变化。这些平均量满足的方程，可通过对瞬时的、局部的二相流方程求平均，并进行适当的数学推导得到。37求平均的方法：对时间求平均；对空间求平均；双重的对空间求平均的方法（Drew）；先对时间求平均、再对空间求平均的方法（Delhaye）；先对空间再对时间求平均的方法。这些方法得到的结果基本上相同，只是平均量在时间序列上和在空间分布上的光滑性略有差异。383.3多相体系中相界面的表面张力表面张力测量方法表面张力公式39（1）表面张力L在液面上作一长为L的线段，表面张力F的方向与L垂直，大小与线段长度成正比。表面张力系数a

：作用在液面单位长度上的表面张力，单位N/m。水平液面有水平的表面张力；对于弯曲的液面，表面张力沿着与液面相切的方向，因此弯曲的液面对液体内部施以附加压力。对于凸面，附加压强为正，对于凹下的液面，附加压力为负。对于液膜，40从能量的角度看将水分散成雾滴，即扩大其表面，有许多内部水分子移到表面，就必须克服表面张力对体系做功——表面功。显然，分散的体系储存了较多的表面能。通常根据分子间的互相吸引力来解释液体的性质，这种分子间的吸引力被称为分子内聚力或范德华力。在本体内，分子所受的力是对称的、平衡的。在表面上的分子，受到本体内分子吸引而无反向的平衡力。此时，表面积有缩小的趋势，使这种不平衡的状态趋向平衡状态。热力学的说法：要将体系的表面能降至最小，表面张力（系数）就是形成或扩张单位面积的界面所需的最低能量，即单位面积上的自由能。[J/m2]=[N/m]热力学定义：吉布斯自由能G、面积A。41（2）测量方法

毛细管上升法：将毛细管插入液体，精度不高。

挂环法：可在很难浸湿的情况下使用。用一个初始浸在液体的环从液体中拉出一个液体膜（类似肥皂泡），同时测量提高环的高度所需施加的力。

威廉米平板法：适用于长时间测量表面张力。测量的量是一块垂直于液面的平板在浸湿过程中所受的力。

旋转滴法：用来确定界面张力，尤其适应于张力低的或非常低的范围内。测量的值是一个处于比较密集的物态状态下旋转的液滴的直径。

悬滴法：适用于界面张力和表面张力的测量，可在高压、高温下，测量液滴的几何形状。

最大气泡法：测量表面张力随时间的变化，测量气泡最高的压力。

滴体积法：适用于动态测量界面张力，测量的值是一定体积的液体分成的液滴数量。使用环、片、张力表或毛细现象，对悬着的液滴进行光学分析和测量。42测量数据水在20℃时的表面张力为73mN/m，20℃时其他物质的表面张力系数如下：水的表面张力系数较高，汞的数值最高。一般情况下，表面张力随温度的升高而降低，在临界点其值下降到0。——约特弗斯公式43（3）表面张力公式原油-天然气的表面张力可以按下式计算：——标准条件下原油（oil）的相对密度，无因次。t——温度，℃，p——压力（绝对），kPa，——原油-天然气的表面张力，mN/m。《抽油机井的气液两相流动》，陈家琅陈涛平魏兆胜，石油工业出版社，1994.0644管路条件下溶气原油-天然气的表面张力可以按下式计算：其中，——大气压力下脱气原油-天然气的