北师大版数学九上前三章-易错点、难点

第一章特殊的平行四边形【八下知识回顾】平行四边形(□)性质：(1)两组对边分别平行；两组对边分别相等；(3)两组对角分别相等；(4)对角线互相平分(即交点是两条对角线的中点)；(5)是中心对称图形(对称中心是对角线的交点)，对角线分成的四个三角形面积相等(且有两组全等)，面积=底×高(S=ah).补充：(中心对称图形)过对称中心的任意一条直线都可将其面积平分.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；☆☆(5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等.这个距离称为平行线之间的距离.【特别提示：经常用该性质来转化三角形的面积：同底等高】例：正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A.10B.12C.14D.16（同底等高），（同底等高）一.菱形1.性质：(1)具有一般平行四边形的一切性质；(2)四条边都相等；(3)两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角【具有角平分线的作用】(4)菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形.对角线分成的四个小直角三角形全等.）☆☆(5)面积=底×高=对角线乘积(S=CD.BE=AC.BD)【补充】在60°(或120°)的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的倍.①△ABC和△ACD均为等边△，△ABD和△BCD均为顶角为120°的等腰△；②AC=AB，BD=AC=AB.2.判定(1)四条边都相等的四边形是菱形.【证三组邻边相等】(2)一组邻边相等的平行四边形是菱形.(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.二.矩形1.性质(1)具有一般平行四边形的一切性质；(2)四个角都是直角；(3)两条对角线相等，两条对角线将矩形分成了四个面积相等的等腰三角形(互为对顶角的全等)；(4)既是中心对称图形，又是轴对称图形，有两条对称轴，是分别过对边中点的两条直线；(5)面积=长×宽(S=ab)2.判定(1)有三个角是直角的四边形是矩形(或四个角都相等的四边形是矩形)(2)有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)；(3)对角线相等的平行四边形是矩形.※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(切记：任意直角三角形都有这个性质)该中线将直角三角形分成了两个等腰三角形(注意:当为等腰直角三角形时，斜边的中线分出的两个等腰△为全等的等腰直角△)※推论的逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边.如图，在△ABC中，点D为AB的中点，连接CD，且CD=AB，则∠C=90°.思路:∵CD=AD，∴∠1=∠A，∵CD=BD，∴∠2=∠B，∵∠A+∠1+∠2+∠B=180°，∴2∠1+2∠2=180°，∴∠1+∠2=90°，即∠C=90°.三.正方形1.性质(1)正方形具有一般平行四边形、矩形、菱形的一切性质；(2)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有四条对称轴)；(3)对角线分成的四个等腰直角三角形全等；(4)面积=边长的平方=对角线的平方(S=a²=b²)2.判定(1)有一个内角是直角的菱形是正方形；(2)邻边相等的矩形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：知识补充补充一:直角三角形的定义、性质及判定三角形类型定义性质判定直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“Rt△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半(逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°)4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线.☆☆逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线.几个特殊的三角形补充二:☆☆☆中点四边形：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.(中点四边形只与原四边形的对角线有关：与对角线是相等还是垂直有关，与对角线互不互相平分无关）名称中点四边形任意四边形平行四边形平行四边形平行四边形菱形矩形矩形菱形正方形正方形对角线相等的四边形菱形对角线互相垂直的四边形矩形对角线既相等又互相垂直的四边形正方形对角线互垂直的四边形：S=b.c(b、c为两条对角线的长)倍长中线用法:延长过中点的直线与某一边相交，然后证“8”型的三角形全等.例:如图，四边形ABCD是矩形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．证明：AM＝AD+MC；证明：延长AE、BC交于点P，如图右上图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DAE＝∠EPC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE．∴∠EPC＝∠MAE．∴MA＝MP．在△ADE和△PCE中，∴△ADE≌△PCE（AAS）．∴AD＝PC．∴MA＝MP＝PC+MC＝AD+MC．习题：等分面积问题探究：（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．问题解决：（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．解析:(1)如图①所示：(2)如图②，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分.理由如下：∵点O是正方形ABCD对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的对称中心.∴AP=CQ，EB=DF.在△AOP和△EOB中，∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，∴∠AOP=∠BOE.∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，∴△AOP≌△EOB（ASA）.∴AP=BE=DF=CQ.∴AE=BQ=CF=PD.设点O到正方形ABCD一边的距离为d(角平分线上的点到角两边的距离相等)∴(AP+AE)d=(BE+BQ)d=(CQ+CF)d=(PD+DF)d.∴.∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分.(3)存在.当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD面积二等分.理由如下：如图③，延长BA至点E，使AE=b，延长CD至点F，使DF=a，连接EF.∴BE∥CF，BE=CF=a+b，∴四边形BCFE为平行四边形.∵BC=BE=a+b，∴平行四边形DBFE为菱形.连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF.∴AM=DM，即点P、M重合.∴点P是菱形EBCF对角线的交点.在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a.设点P到菱形EBCF一边的距离为d，∴=.∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.综合习题如图，正方形ABCD中，G为射线BC上一点，连接AG，过G点作GN⊥AG，再作∠DCM的平分线，交GN于点H．(1)如图1，当G是线段BC的中点时，求证：AG=GH；小华是这样思考的：在AB上截取BE=BG，∵G是BC的中点，∴E为AB的中点，∴AE=GC，∠BEG=∠BGE=45°，∴∠AEG=135°，∵∠AGB+∠BAG=90°，∠AGB+∠HGC=90°，∴∠BAG=∠HGC，∵∠GCH=90°+45°=135°，∴△AEG≌△GCH(ASA)，∴AG=GH；参照小华的证明思路，思考如下问题：(2)如图2，当G是线段BC上任意一点时，(1)中结论还成立吗？若不成立请说明理由；若成立，请写出证明过程．(3)当G是线段BC的延长线上任意一点时，(1)中结论还成立吗？若不成立请说明理由；若成立，请写出证明过程．(2)解：当G是线段BC上任意一点时，AG＝GH仍成立．理由如下：如图2，在AB上取一点E，使AE＝GC，连接EG．∵四边形ABCD是正方形，CH平分∠DCM，∴∠GCH＝135°．∵BE＝BG，∴∠BEG＝45°，∴∠AEG＝135°，∴∠AEG＝∠GCH．∵AG⊥GH，∴∠CGH+∠AGB＝90°，又∵∠EAG+∠AGB＝90°，∴∠EAG＝∠CGH．在△AEG与△GCH中，，∴△AEG≌△GCH（ASA），∴AG＝GH；(3)解：当G是线段BC的延长线上任意一点时，AG＝GH仍成立．理由如下：如图3，在BA的延长线上取一点E，使AE＝GC，连接EG，则BE＝BG．∵∠B＝90°，BG＝BE，∴∠AEG＝45°，又∠GCH＝45°，∴∠AEG＝∠GCH．∵∠EAG＝90°+∠DAG，∠CGH＝90°+∠BGA，∵AD∥CB，∴∠DAG＝∠BGA，∴∠EAG＝∠CGH．在△AEG与△GCH中，，∴△AEG≌△GCH（ASA），∴AG＝GH．第二章一元二次方程1.认识一元二次方程（1）概念：只含有一个未知数且未知数的最高次数为“2”的整式方程，叫做一元二次方程，它的一般式是ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）.警示:①必须化成一般式(ax²+bx+c=0)后再进行判断；②必须满足四个条件：一个未知数；未知数的最高次数为“2”；化简后二次项系数不为0；整式方程；(可以没有一次项，也可以没有常数项，但必须要有二次项，例如x²=0是一元二次方程）（2）在一元二次方程的一般式ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）中，ax²叫做二次项、a为二次项系数；bx叫做一次项、b为一次项系数；c为常数项.警示:必须要化成一般式ax²+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)后，再进行判断.2.解一元二次方程的方法：（1）配方法<即将其变为(x+m)²=0的形式>※用配方法解一元二次方程的基本步骤：二次项系数为“1”：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到方程的右边；③两边加上一次项系数的一半的平方；④把方程转化成(x+m)²=0的形式；⑤两边开方求其根.二次项系数不为“1”：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；其它步骤同上②—⑤.【补充】代数式“ax²+bx+c(a≠0)”的配方：ax²+bx+c=a(x²+x)+c=a[x²+x+()²-()²]+c=a(x+)²-+c=a(x+)²+∵(x+)²≥0，∴当a＞0时，a(x+)²≥0，∴a(x+)²+≥当a＜0时，a(x+)²≤0，∴a(x+)²+≤综上所述：当a＞0时，ax²+bx+c(a≠0)有最小值，最小值为，当x=-时，取得最小值；当a＜0时，ax²+bx+c(a≠0)有最大值，最大值为，当x=-时，取得最大值.提醒：二次函数的配方方法和代数式的相同.(2)用公式法求解一元二次方程【必须为一般式ax²+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)】公式法（△=）【注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式】根的判别式△=b²-4ac：当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△＜0时，一元二次方程没有实数根.特别提示：方程有实数根即△≥0；反之，△≥0，方程有实数根(这里的“方程”可能是一元一次方程也可能是一元二次方程).（3）用因式分解法求解一元二次方程分解因式法：把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解.（主要包括“提公因式”、“公式法”和“十字相乘”）3.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：，☆☆☆警示:首先必须是一般式ax²+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)；其次要判断“△”，最后才能用根与系数的关系.※一元二次方程的根与系数的关系的作用：(1)已知方程的一根，求另一根；(2)不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：①②③④☆(3)已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：(4)已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程的根4.应用一元二次方程※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。※处理问题的过程可以进一步概括为：一元二次方程应用题公式总结一.平均增长率问题变化前数量×(1x)n＝变化后数量即a(1x)n＝b【n是增长的次数】注意:①如果是增长，则用a(1+x)n＝b；①如果是下降(即负增长)，则用a(1-x)n＝b；二.传播问题(如病毒感染、细胞分裂等)最初的量×(1+x)n＝总量即a(1+x)n＝b【n是传播或分裂的次数】例如：有两人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：2(1+x)²=242【特例】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出．解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得1+x+x•x=13，整理得x²+x﹣12=0，解得x=3或x=﹣4（舍去）．即：每个支干长出3个小分支．三.计数问题(一)握手、单循环比赛等问题：x(x-1)=m【m为总数】例如：参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？解：设共有x个队参加比赛，由题意可得：x(x-1)=45互发信息、互送贺卡、双循环比赛等问题：x(x-1)=m【m为总数】例如：1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个多少个队参加比赛？解：设共有x个队参加比赛，由题意可得：x(x-1)=902.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？解：这个小组共有x名同学，由题意可得：x(x-1)=1823.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？解:这个小组共有x人，由题意可得：x(x-1)=72四.数字问题：两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字☆☆☆☆☆五.商品营销问题(一)解决利润问题常用的关系有：(1)利润=售价-进价；(2)利润率=；(3)售价=进价×(1+利润率)；(4)总利润=单品利润×销售量=总收入-总支出.具体问题例如:某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．

(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？解：(1)设每千克应涨价x元，则(10+x)(500﹣×20)=6000解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5．(2)设涨价m元时总利润为y，

则y=(10+m)(500﹣×20)=﹣20m2+300m+5000

=-20（m2﹣15m）+5000

=-20[m2﹣15m+(7.5)²-(7.5)²]+5000

=-20(m﹣7.5)2+6125

当m=7.5时，y取得最大值，最大值为6125．答：(1)要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；

(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．(2)若设的是“售价(定价)x元”，则：（x-进价）（原销售量-）=总利润有其它支出费用的：（x-进价）（原销售量-）-其它支出费用=总利润例如:将进货单价为50元的商品按60元出售，就能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个．问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少？解:售价应定为x元，由题意可得：(x-50)(500-)=8000整理，得:x²-160x+6300=0，(x-70)(x-90)=0解得：x=70或x=90.当售价为70元时，应进货为500-10×10=400个；当售价为90元时，应进货为500-30×10=200个.答:________________________________________________.例如：西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克.为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元，根据题意，得：(3-2-x)(200+)-24=200，解这个方程，得：x=0.2或x=0.3，答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元.例如:某品牌童装进价为20元/件，如果以60元/件卖出，平均每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利800元，那么每件童装应定价为多少元？解:设每件童装应定价为x元，由题意，得：(x-20)(20+)=800整理，得：x²-90x+1800=0(x-30)(x-60)=0解得：x=30或x=60因为商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x=30.答:__________________________________________.其它例题1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关系：P=100-2x销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？解：设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件．

根据题意得：(x-30)(100-2x)=200，

整理得：x²-80x+1600=0，

∴(x-40)²=0，

∴==40答:__________________________________________.六.几何问题(一)静态几何问题例1.(1)一块长方形草地的长和宽分别为20m和16m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为160m²，则小路的宽度是______．解：如上图所示，设小路宽为xm，由题意，得2(16+2)+2×20=160.整理，得：²+18-40=0.解得=2，=-20（舍去）.答：小路的宽为2m.(2)如图，长方形ABCD，AB=16m，BC=20m，在它的内部四周环绕着宽度相等的小路．已知小路的面积为160m²，求小路的宽度．解：如上图所示，设小路宽为xm，由题意，得2×16+2(20-2)=160也可列式为：(20-2x)(16-2x)=20×16-160例2.某小区有一块长方形的草地（如图），长18米，宽10米，空白部分为两条宽度相等的小路，草地的实际面积为128m²，则小路的宽为_____米.解:设小路的宽为x米，由题意，得：x)(10-x)=128变式：某校准备将两幢教学楼间一块长30m、宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园．为方便同学们行走和观赏，准备在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图，要使种植花草的面积为532m²，那么小道的宽度应为多少米？（注：阴影部分表示道路，所有小道的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）解:设小路的宽为x米，由题意，得：(30-2x)(20-x)=532例3.利用一面墙(墙的长度为18米)，另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m²的矩形场地.求矩形的长和宽.(提示:墙长对列方程没什么用，只对方程的解起限制作用)解:设垂直于墙的一边为长x米，则平行于墙的一边长为(58-2x)米，由题意，得：X(58-2x)=200，解得：=25，=4，当x=25时，58-2x=58-2×25=8，当x=4时，58-2x=58-2×4=50＞18(不符合题，舍去).所以墙的长为25米，宽为8米.变式:如图，学校要用长24米的篱笆围成一个长方形生物园ABCD，EF是ABCD内用篱笆做成的竖直隔断．为了节约材料，场地的一边CD借助原有的一面墙，墙长为12米，长方形生物园ABCD的面积为45平方米，求长方形场地的边AD的长．(提示:墙长对列方程没什么用，只对方程的解起限制作用)解:设AD长为x米，则AB长为(24-3x)米，由题意，得：x(24-3x)=45，整理，得：x²-8x+15=0，解得：x=3或x=5，当x=3时，24-3x=24-3×3=15＞12(不符合题，舍去)，当x=5时，24-3x=24-3×5=9.答:长方形场地的边AD的长为5米.例4.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m²？(特别提醒：墙上开门的，原来的长度+门的宽度才是总周长)解:设矩形猪舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形猪舍的另一边长为(25-2x+1)m．依题意，得x(25-2x+1)=80，解得x=5或x=8．当x=5时，26-2x=16>12(舍去)，当x=8时，26-2x=10<12．答：矩形猪舍的长为10m，宽为8m．(二)动态几何问题例9.如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果Q、P分别从A、B两点出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm²？(2)在(1)中，△PBQ的面积能否等于10cm²？试说明理由.解：(1)设t秒后，△PBQ的面积等于8cm²，由题意，可得：×2t(6-t)=8，解得：t=2或t=4.答2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm².△PBQ的面积不能等于10cm².理由如下：由题意，得：×2t(6-t)=10，整理，得：t²-6t+10=0，b²-4ac=36-40=-4＜0，此方程无解，所以△PBQ的面积不能等于10cm².易错点1.用“十字相乘”分解因式(式子是二次三项式)思路：对于二次三项式ax²+bx+c，将a和c分别分解成两个因数的乘积，往往写成a=a1•a2,c=c1•c2,b=a1c2+a2c1的形式，将二次三项式进行分解.即ax²+bx+c=（a1x+c1）(a2x+c2)2.解一元二次方程的方法：(1)配方法(注意方程的配方和“代数式的配方”的区别)(2)求根公式法【必须在一般式ax²+bx+c=0(a≠0)下，写a，b，c，判断△】(3)因式分解法:①提公因式法；②公式法(完全平方公式和平方差公式)；③十字相乘法.【必须化成“=”右边为“0”再进行解】如果题目没有限定用哪种方法解方程的话，优先考虑“因式分解法”，因式分解法行不通时，再考虑“求根公式法”.【注意:“因式分解法”只适用于一部分题目，而“求根公式法”只要△≥0时都能用，应用更广泛，但计算没有因式分解简便.】3.一元二次方程有实数根即△≥0，反之，△≥0即一元二次方程有实数根.特别注意:当二次项系数里含有字母时，除了要保证△满足题意外，还要保证二次项系数≠0；例如：关于x的一元二次方程(k+1)x²-2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是_______.提示：由题意，可得方程有实数根时，一定要看清楚二次项系数是否是已知数，如果已知，直接用△判断，如果未知，就需要分“二次项系数=0”和“二次项系数≠0”两种情况讨论.例如:已知关于x的方程kx²-3x+1=0有实数根.求k的取范围；提示:①当k=0时，原方程为-3x+1=0，解得x=，∴k=0符合题意；②当k≠0时，原方程为一元二次方程，因为该一元二次方程有实数根，∴△=(-3)²-4×k×1≥0，解得:k≤，所以此时k≤且k≠0综上所述:k的取值范围为k≤.4.涉及到根与系数的关系的题目，首先看方程是不是一般式，不是一般式的，要化成一般式，其次要保证△满足题意，最后再用根与系数的关系进行解答.例如:已知、是关于x的方程x²+(3k+1)x+2k²+1=0的两个不相等实数根，且满足(-1)(-1)=8k²，则k的值为______.提示:由题意可得：△=(3k+1)²-4×1×(2k²+1)＞0，即k²+6k-3＞0，=-(3k+1)，=2k²+1，∵(-1)(-1)=8k²，∴-()+1=8k²，∴2k²+1+3k+1+1=8k²,解得:k=1或