五年级奥数完整版本.数论.因数个数(A级).教师版

MSDC模块化分级讲义体系 五年级奥数.数论.因数个数（A级）.教师版 Page因数个数因数个数课前预习课前预习富翁打赌有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻。贪财好利是他们的共同特点。一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来。精明的富翁说：“我可以每天给你1万元，只收回你1分钱。”吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：“你若真的每天给我1万元，别说我给你1分钱，就是再给你1千我也干！”“不！”精明的富翁说，“条件只是第一天，你给我1分。”“难道你第二天还要给我1万？”“是的”，精明的富翁说：“只是你第二天收了我的1万，要给我2分。第3天……”没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：“第三天你再给我1万，我给你“4分！就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍。”吝啬的富翁心想：这家伙可能神经出了毛病，便问：“每天送我1万，这样下去，你的钱够送多少天呢？”“我是人人都知道的百万富翁。”精明的富翁说：“我不打算都送给你，只拿出30万，先送你一个月足够了。但是你给我的钱也1分不能少！”吝啬的富翁怕精明的富翁反悔，提出要签协议。吝啬的富翁说：“你敢签订协议吗？”于是他们找来了几个公证人，签了协议。吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼。天刚亮，对方提着1万元送上门来，按约定他给了对方1分钱。第二天，对方仍然如约送来了1万元。他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方2分钱。对方高高兴兴地拿走了2分钱，还叮嘱：“别忘了，明天给我4分钱！”可是，20多天以后，吝啬的富翁突然要求终止打赌。对方以及一些证人当然不会同意，30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议。到最后，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了。聪明的小朋友，你们说这是为什么？原来呀，吝啬的富翁在1个月内共得到300000元。他需要付给对方的钱，总数是：1＋2＋4＋8＋16＋32……＋536870912＝1073741823（分）＝10737418.23（元）。即：一千零七十三万七千四百一十八元二角三分。这是一个何等大的数目呀，吝啬的富翁当然会把全部家当都输光了。知识框架知识框架约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外1．求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：，所以；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：；；；；；所以1515和600的最大公约数是15．2．最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以．3．求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求．二、倍数的概念与最小公倍数1.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：，，所以；②短除法求最小公倍数；例如：，所以；③．2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求．例如：注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数．2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即，此性质比较简单，学生比较容易掌握。3．对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍数为性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。四、求约数个数与所有约数的和1．求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。如:1400严格分解质因数之后为，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。2．求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：，所以21000所有约数的和为此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。重难点重难点重点：本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.难点：核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为的结构”例题精讲例题精讲【例1】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．【答案】（1）1170【巩固】数的约数个数是多少？它们的和是多少？它们的积呢?【考点】因数个数【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】对任意一个自然数，我们首先可以将它作因式分解，化成质数及其次数的乘积，以为例，我们有.要算它的约数的个数，我们可以这样来理解：约数的因数只可能是,.并且它们的次数不会超过原数的次数，从而约数的因数的的次数可以为，,,,,；而的次数也只可能是或.把它展开你就可以发现它就是我们要求的：情况：不包含的约数：,,,,,,情况：包含的约数:，，，，，.从而我们可以任意地从中选若干个，的次数，即：()().(个)所以它的约数的和：()()至于要算它们的约数的积，我们可以将它的约数配对：一个约数和它被原数除的数组成一对(如和是的一对).这样，对于非平方数而言，我们得到整数对，并且它们的积就是原数本身；而对于平方数而言，仅仅是多了一个数(它的开方)，从而通过对它的约数的个数，可以求出它们的积.对本题而言，我们有(;)，(;)，(;)，(;)，(;)，(;)共对.从而它们的积为.【答案】（1）12（2）()()（3）.【例2】求在到中，恰好有个约数的所有自然数.【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】逆用约数个数定理：或，所以自然数只有两种分解可能，一种是一种是,但第一种情况以内这样的数不存在，第二种情况只有等于的可能，所以或因此满足条件的自然数只有和.【巩固】在到中，恰好有个约数的数有多少个？【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】只能表示为()或()()，所以恰好有个约数的数要么能表示成某个质数的次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，以内符合前者的只有，符合后者的数枚举如下：所以符合条件的自然数一共有种．【答案】（1）16【例3】甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是.乙数是_____.【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】由(甲，乙)，且甲：乙，由于8与9互质，所以乙数.【答案】（1）56【巩固】甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？（★★）【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】法1：根据两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数，有：甲数乙数，所以，乙数；法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数，设乙数，则．因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则，得．所以，乙数．【答案】（1）32【例4】如图，鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞。老鼠对鼹鼠说：“你挖完后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少个洞？【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】因为157除以5的余数是2，可得下图，由图中很明显可知，鼹鼠和老鼠重合的第一个洞在距离A点12米处．因为[3，5]，，所以，老鼠和鼹鼠要挖的洞里重合的有(个)．【答案】（1）10【巩固】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？（★★）【考点】因数个数【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】苹果每3人发1个，桔子每5人发1个.因为，所以苹果和桔子都拿到的10个小朋友之间共有(人).在他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果，所以左边最多还有(人)；右边最多有2个小朋友拿到桔子，所以右边最多还有(人).所以最多有：(人).【答案】（1）158【例5】已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】设，有，又设，，，，且，则，有，所以．因为，所以是120的约数．①若，，则，不符合；②若，，则，不符合；③若，，则，不符合；④若，，则，符合条件．由，得，从而a、b中较大的数．【答案】（1）225【巩固】已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数．设这【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】两个自然数分别是、，其中为它们的最大公约数，与互质(不妨设)，根据题意有：所以可以得到是54和114的公约数，所以是的约数．，2，3或6．如果，由，有；又由，有．，但是，，所以.如果，由，有；又由，有．，但是，，所以．如果，由，有；又由，有．，但是，，所以．如果，由，有；又由，有．20表示成两个互质的数的乘积有两种形式：，虽然，但是有，所以取是合适的，此时，，这两个数分别为24和30．【例6】（2008第四届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）六年级复赛）如图，A、B、C是三个顺次咬和的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当B转4圈时，C恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】当A转4圈时，B恰好转3圈，则A、B齿数的比值为，同理，B、C的齿数比值为。所以A、B、C齿数比值为，所以此时A齿数至少为15，B的齿数至少是20，C齿数至少是16。【答案】（1）所以此时A齿数至少为15，B的齿数至少是20，C齿数至少是16。【巩固】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．【答案】（1）98【例7】恰有8个约数的两位数有________个．【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】根据约数个数公式，先将8进行分解：，所以恰有8个约数的数至多有3个不同的质因数，分解质因数后的形式可能为，，．其中由于，所以形式的没有符合条件的两位数；形式中，B不能超过3，即可能为2或3，有、、、、，共5个；形式的有、、、、，共5个．所以共有个符合条件的数．【答案】（1）10【巩固】能被2145整除且恰有2145个约数的数有个．【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】先将2145分解质因数：，所以能被2145整除的数必定含有3，5，11，13这4个质因数；由于这样的数恰有2145个约数，所以它至多只有4个质因数，否则至少有5个质因数，根据约数个数的计算公式，则有5个大于1的整数的乘积等于2145，而2145只能分解成3，5，11，13的乘积，矛盾．所以所求的数恰好只有3，5，11，13这4个质因数．对于这样的每一个数，分解质因数后3，5，11，13这4个因子的幂次都恰好是，，，的一个排列，所以共有种【答案】（1）24【例8】已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A的约数的个数.【考点】因数个数【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】由于A是偶数但不是4的倍数，所以A只含有1个因子2，可将A分解成，其中B是奇数，根据约数个数公式，它的约数的个数为(其中N为B的约数个数)，则，它的约数个数为个．【答案】（1）24【巩固】自然数N有45个正约数。N的最小值为。【考点】因数个数【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】由于，根据约数个数公式，自然数N可能分解成、、、等形式，在以上各种形式下，N的最小值分别为、、、，比较这些数的大小，可知，所以最小值是．【答案】（1）3600【例9】已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数，则．【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】，由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有2和3这两个质因数，如果A为，那么1728不是A的倍数，不符题意，所以，那么为B的约数，设，则，得，所以．【答案】（1）108【巩固】如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍．现有一个整数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】设整数n除掉约数1和n外，最小约数为a，可得最大约数为，那么．则3、5、a都为n的约数．因为a是n的除掉约数1外的最小约数，那么．当时，；当时，．所以满足条件的整数n有60和135．【答案】（1）n有60和135课堂检测课堂检测1、有多少个约数？这些约数的和是多少？【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】.的约数：，，，共个.的约数：，共个.根据乘法原理，的约数个数为：()().这些约数的和()().【答案】（1）8（2）602、筐里有个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】，共有个约数，去掉和还有个约数.所以共有种不同拿法【答案】（1）163、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【考点】因数个数【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】从题目中可以知道，木棍锯成的段数，比锯的次数大1；而锯的次数并不一定是三种刻度线的总和，因为当两种刻度线重合在一起的时候，就会少锯一次．所以本题的关键在于计算出有多少两种刻度线或者三种刻度线重叠在一起的位置．把木棍看成是10、12、15的最小公倍数个单位，那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的公倍数，利用求公倍数的个数的方法计算出重合的刻度线的条数．，先把木棍60等分，每一等分作为一个单位，则第一种刻度线相邻两刻度间占6个单位，第二种占5个单位，第三种占4个单位，分点共有(个)．，故在30单位处二种刻度重合1次；，故在20、40单位处二种刻度重合2次；，故在12、24、36、48单位处二种刻度重合4次；，所以没有三种刻度线重叠在一起的位置．所以共有不重合刻度个．从而分成28段．【答案】（1）284、在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】由于，根据约数个数公式，可知9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有符合条件，后者中符合条件有、、、、、，所以符合条件的有7个．【答案】（1）75、1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】1001的倍数可以表示为，由于，如果k有不同于7，11，13的质因数，那么至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为，其中．如果这个数恰有1001个约数，则，但是1001不能分解成4个大于1的数的乘积，所以时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那么只有7，11，13这3个质因数．设，则，、、分别为7，11，13，共有种选择，每种选择对应一个，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．【答案】（1）10016、A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?【考点】因数个数【难度】☆☆【题型】解答【解析】由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)=3×(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．【答案】（1）2550.复习总结复习总结1、最大公约数