重庆科创职业学院教案第十一章概率论初步海敏娟

第十一章概率一、学习要点1.了解随机事件的概念及表示，掌握事件之间的关系及其运算．2.理解古典概型的定义，会计算简单的古典概型问题，了解几何概型．3.理解条件概率概念，会用乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式进行概率计算．4.理解事件独立性的概念，会用事件独立性进行概率计算．5.理解随机变量的概念，理解离散型随机变量及其分布律的概念．6.掌握简单的离散型随机变量的分布律的计算．7.理解期望和方差的概念，掌握离散型随机变量期望和方差的性质及运算．二、相关知识总结1．事件的3种运算：事件的并、事件的交、事件的差2．事件的关系：包含关系、相等关系、互斥关系、对立关系3．事件的运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律4．古典概型中的相关概率：5．概率的基本性质和定理性质：（1）．（2）．（3）如果和互斥，则．加法定理乘法定理或6．条件概率：7．事件的独立：（1）定义：（2）独立的充要条件：或（3）性质：事件A、B相互独立，则事件与B、A与、与也是相互独立的．8．全概率公式：9．贝叶斯公式：（）10．二项分布：若X~，则（）11．期望：（1）定义：E(X)=（2）性质：E(C)=C，E(aX+b)=aE(X)+b12．方差：（1）定义：D(X)=常用式：（2）性质：，，三、重点例题剖析（一）基础题1.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.解（1）A.（2）AB.（3）ABC.（4）A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=.(5)=.(6).(7)BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪.(8)AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC.2.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.解设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.故3.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：(1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.解设A={下雨}，B={下雪}.(1).(2).4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：(1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.解设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）(1).(2).(3).5.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（）.解P（）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]=1[0.70.3]=0.6.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.解P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=++=.7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.解设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式.8.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.解①②故故③由A,B的独立性，及①、③式有故故或（舍去）即P（A）=.9.设随机变量X的分布律为P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，试确定常数a.解由分布律的性质知即.10.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解故所求分布律为X345P0.10.30.611.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.解设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数.12.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.解（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）.(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）.13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.解.14.设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.解(1)(2)(3).15.设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X），D（X）.解故（二）提高题1.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？解p=.2.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.解(1)设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）==（）5（亦可用独立性求解，下同）(2)设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P（A2）==()5(3)设A3={五个人的生日不都在星期日}P（A3）=1P(A1)=1()53.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.解设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则=0.32076.4.从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.解.5.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？解设A={被调查学生是努力学习的}，则={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知(1).即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2).即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.6.证明：若P（A｜B）=P(A｜)，则A，B相互独立.证即亦即因此故A与B相互独立.7.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.解设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.458.8.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.解设={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故因此或.9.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.解由故或,按题设P（A）<,故P（A）=.10.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}.11.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.解设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P故.12.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率.解分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)(1)(2)13.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.解设在每次试验中成功的概率为p，则故所以.14.设随机变量X的分布律为X101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.解因……①,又……②,……③由①②③联立解得15.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？解记A={从袋中任取1球为白球}，则16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率.解（1）(2).17.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.解X~U[2,5]，即故所求概率为.18.设随机变量X的概率密度为f（x）=求（1）系数c；（2）E（X）；（3）D（X）.解(1)由得.(2)(3)故四、测试题（一）选择题：1.一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为（）.A.B.C.D.2.设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（）.A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.A=D.P(A|B)=P(A)3.设P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，则事件A与B（）.A.相互独立B.相等C.互不相容D.互为对立事件4.设事件{X=K}表示在n次独立重复试验中恰好成功K次，则称随机变量X服从（）.A.两点分布B.二项分布C.泊松分布D.均匀分布5.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（）.A.E（X）=0.5，D（X）=0.5B.E（X）=0.5，D（X）=0.25C.E（X）=2，D（X）=4D.E（X）=2，D（X）=26.若随机变量X的概率密度为，则X~().A.N(-1,2)B.N(-1,4)C.N(-1,8)D.N(-1,16)7．设随机变量X在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度f(x)为（）.A. B.C. D.8.设随机变量X~B，则P{X1}=（）.A.B.C. D.9.已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为().A.-2B.0 C. D.10.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为().A.0.12B.0.25 C.0.375 D（二）填空题：11.一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=________.12.某人工作一天出废品的概率为0.2，则工作四天中仅有一天出废品的概率为___________.13.设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P（A）=0.3，P（B）=0.4，则P（A）=__________.14.设随机变量X~N（2，22），则P{0<X≤4}=_____