湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线在轴上的截距为（）A． B．2 C． D．2．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第__________象限．A．四 B．三 C．二 D．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412 451 312 531 224 344 151 254 424 142 435 414 135 432 123 233 314 232 353 442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.554．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（）A． B． C． D．5．现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P点，另一只从B沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q点，则此时线段PQ长（单位：厘米）为（）A． B．12 C． D．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点．现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（）A． B． C． D．8．如图所示，四面体的体积为V，点M为棱BC的中点，点E，F分别为线段DM的三等分点，点N为线段AF的中点，过点N的平面与棱AB，AC，AD分别交于O，P，Q，设四面体的体积为，则的最小值为（）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（）A．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则C．若，则是锐角D．若对空间中任意一点，有，则M，A，B，C四点不共面10．下列命题正确的是（）A．设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件B．若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥有可能同时成立C．若三个事件A，B，C两两相互独立，则满足D．若事件A，B相互独立，，，则11．平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（）A．点的轨迹的方程是B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1C．直线与点的轨迹相离D．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，，，，，，P为所确定的平面内一点，设的最大值是以为自变量的函数，记作．若，则的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A，B，C的概率分别是，，．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知的顶点，边AB上的中线CD所在直线方程为，边AC上的高线BE所在直线方程为．（1）求边BC所在直线的方程；（2）求的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC上分别有一点和且，，其中．（1）求证：，，共面；（2）若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）点轨迹记为曲线，若曲线与轴的交点为M，N两点，Q为直线上的动点，直线MQ，NQ与曲线C的另一个交点分别为E，F，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量，定义“F变换”：，其中，，，．记，．（1）若，求及；（2）证明：对于任意，必存在，使得经过次F变换后，有；（3）已知，，将再经过次F变换后，最小，求的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBADCABADACD12． 13． 14．15．解：（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”．由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率为；（2）设事件，，，表示"第i次被评定为等级A，B，C，D，．（2）设事件，，，表示“”第i次被评定为等级A，B，C，D，．则“两次射击得分之和为8分”为事件，且事件，，互斥，，，所以两次射击得分之和为8分的概率．16．解：（1）因为，所以设直线AC的方程为：，将代入得，所以直线AC的方程为：，联立AC，CD所在直线方程：，解得，设，因为为AB的中点，所以，因为在直线BE上，在CD上，所以，，解得，，所以，，所以BC所在直线的方程为：，即．（2）由（1）知点到直线BC的距离为：，又，所以．17．（1）证明：因为，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．（2）取BC的中点为，在中，，，由余弦定理可得，所以，依题意，均为正三角形，所以，，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以在平面内作，则平面，以OA，OC，Oz所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，设是平面的一个法向量，，，则，即，取得，依题意可知，则．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．18．解：（1）设动点坐标，因为动点满足，且，，所以，化简可得，，即，所以点的轨迹方程为．（2）曲线中，令，可得，解得或，可知，，当直线EF为斜率为0时，即为直径，长度为8，当直线EF为斜率不为0时，设EF的直线方程为，，，联立消去可得：，化简可得；由韦达定理可得，因为，，，，所以EM，FN的斜率为，，又点在曲线上，所以，可得，所以，所以EM，FN的方程为，，令可得，化简可得；，又，在直线上，可得，，所以，化简可得；，又，代入可得，化简可得，，，所以或，当时EF为，必过，不合题意，当时EF为，必过，又为圆的弦长，所以当直径MN时弦长最小，此时半径，圆心到直线EF的距离为，综上，的最小值．19．解：（1）因为，，，所以，，（2）设假设对，，则，，均不为0；所以，即，因为，，所以，与矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意，经过若干次F变换后，必存在，使得．（3）设，因为，所以有或，当时，可得，三式相加