2024-2025学年重庆十一中教育集团高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆十一中教育集团高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l过P(b+c,b)，Q(a+c,a)(a≠b)两点，则直线l的斜率为(

)A.a+ba−b B.a−ba+b C.1 2.若平面α的法向量为n=(4,−4,−2)，方向向量为(x,2,1)的直线l与平面α垂直，则实数x=(

)A.4 B.−4 C.2 D.−23.圆心为(1,−1)且过原点的圆的一般方程是(

)A.x2+y2+2x−2y+1=0 B.x24.椭圆x2a2+y2A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴5.如图，三棱锥O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点N为BC中点，点M满足AMA.12a−13b−136.若圆C1：x2+y2=4与圆CA.[−22,22] 7.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2A.(0,2−1) B.(0,228.已知x12+y12=xA.42 B.18 C.12 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1：ax+y+1=0，直线l2：x+ay−1=0，则下列说法正确的是(

)A.若l1//l2，则a=1或a=−1

B.若l1⊥l2，则a=0

C.直线l1过定点10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为(x2+y2A.四叶草曲线有四条对称轴

B.设P为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过P作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为18

C.四叶草曲线上的点到原点的最大距离为14

D.11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，动点A.当x=y=0，z=12时，则三棱锥M−ABD的体积为112

B.当x=y=1，z=12时，直线AM⊥平面A1BD

C.当x=y=12，z=1时，直线AM//平面C1BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.两平行线l1：x+2y−1=0与l2：2x+4y+3=0之间的距离为______．13.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是正三角形，E是PC的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值是______．14.已知P，Q为椭圆x225+y216=1上的动点，直线PQ与圆M：(x−2)2+y四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−1,3)，C(2,6)．

(1)求边AB的垂直平分线l的方程；

(2)求三角形ABC的外接圆方程．16.(本小题15分)

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥AC，AB=AC，AA1=2AB，点M在侧棱CC1上，且满足CM=1417.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为23，且点M(2,33)在椭圆E上．

(1)求椭圆E18.(本小题17分)

如图1所示的图形中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，△PAD和△BCQ均为直角三角形，∠PDA=∠QCB=90°，PD=AD=2CQ=2，现沿AD和BC将△PAD和△BCQ进行翻折，使PD//QC(PD,QC在平面ABCD同侧)，如图2(或图3)

(1)证明：BQ//平面PAD；

(2)如图2，若PD⊥平面ABCD，求点Q到平面PBD距离；

(3)如图3，若二面角P−AD−B为120°时，判断平面PBQ与平面PBD是否垂直？并说明理由．

19.(本小题17分)

已知椭圆E：x22+y2b2=1(b>0)的焦点在x轴，离心率e=22，点P在直线x=2上．

(1)求实数b的值；

(2)设F是椭圆E的右焦点，若Q是椭圆E上一点，且满足PF⋅QF=0，设直线PQ和直线OQ(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，证明：k1⋅k2=−12；

(3)若点P的纵坐标为12，过P作直线参考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.B

6.B

7.D

8.D

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.513.1414.50915.解：(1)因为A(−2,4)，B(−1,3)，可得AB的中点D(−32,72)，

AB=(1,−1)，由点法式方程可得AB的中垂线l的方程为：1×(x+32)+(−1)(y−72)=0，

整理可得：x−y+5=0；

(2)BC的中点E(12,92)，BC=(3,3)，

由点法式方程可得BC的中垂线方程为3(x−12)+3(y−92)=0，

16.解：(1)证明：由题得，以A为坐标原点，以AB，AC，AA1方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

如图所示，

设AB=2，则B(2,0,0)，M(0,2,1)，A1(0,0,4)，C(0,2,0)，

BM=(−2,2,1)，A1C=(0,2,−4)，

由BM⋅A1C=2×2−4=0，

∴BM⊥A1C；

(2)由题得AB=(2,0,0)，AM=(0,2,1)，BA1=(−2,0,4)，

设平面ABM的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AB=0n⋅AM=0，即17.解：(1)由题可得：2a=232a2+13b2=1，解得：a=3b=1，

所以椭圆E的方程为：x23+y2=1；

(2)由题，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立y=kx+2x23+y2=1，化简得：(1+3k2)x218.解：(1)证明：由题意，PD//QC，

QC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，

∴QC//平面PAD，

四边形ABCD为菱形，∴BC/​/AD，

又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴BC/​/平面PAD，

又QC∩BC=C，QC、BC⊂平面BCQ，

∴平面PAD/​/平面BCQ，又BQ⊂平面BCQ，

∴BQ//平面PAD；

(2)由题意：PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，

取BC中点E，连接DE，可得DE⊥BC，

以D为坐标原点，以DA,DE,DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(1,3,0)，P(0,0,2)，Q(−1,3,1)，

DB=(1,3,0)，DP=(0,0,2)，DQ=(−1,3,1)，

设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z)，

则由n⋅DB=0n⋅DP=0，可得x+3y=02z=0，

令y=−1，可得n=(3,−1,0)，

∴点Q到平面PBD的距离d=|DQ⋅n||n|=3；

(3)平面PBQ与平面PBD不垂直，理由如下：

由四边形为菱形，∠BAD=60°，

△PAD和△BCQ均为直角三角形，

∠PDA=∠QCB=90°，∴AD⊥PD，

取BC中点E，连接DE，可得DE⊥AD，

∴二面角P−AD−B的平面角为∠PDE，∠PDE=120°，

以D为坐标原点，以DA,DE所在直线分别为x轴，y轴，

过D作垂直于底面ABCD的z轴，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(1,3,0)，P(0,−1,3)，Q(−1,3−12,3219.(1)解：设椭圆E的焦距为2c，长轴长为2a，

由题意知，a=2ca=22b=a2−c2，解得b=1．

(2)证明：由(1)知，椭圆E的方