2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.4余弦定理正弦定理应用举例-高度角度问题同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价十四余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题(15分钟30分)1.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面D点20m,则建筑物的高度为()A.20mB.30mC.40m D.60m【解析】选C.如图,设O为顶端在地面上的射影,在Rt△BOD中,∠ODB=30°,B=20,BD=40,OD=20QUOTE,在Rt△AOD中,OA=OD·tan60°=60,所以AB=OA-OB=40(m).2.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时,一根长为2m的竹竿如图所示放置,要使它的影子最长,则竹竿与地面所成的角是()A.150° B.30° C.45° D.60°【解析】选B.设竹竿与地面所成的角为α,影子长为xm.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以x=QUOTEsin(120°-α).因为30°<120°-α<120°,所以当120°-α=90°,即α=30°时,x有最大值.即竹竿与地面所成的角是30°时,影子最长.3.为了测量某塔的高度,某人在一条水平马路C,D两点处进行测量.在C点测得塔底B在南偏西80°,塔顶A仰角为45°,此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点,测得塔顶的仰角为30°,则塔的高度为()A.5米 B.10米C.15米 D.20米【解析】选B.如图,由题意得,AB⊥平面BCD,所以AB⊥BC,AB⊥BD.设塔高AB=x米,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,所以BC=AB=x米,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,所以BD=QUOTE=QUOTEx米,在△BCD中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cos120°,所以(QUOTEx)2=x2+100+10x,解得x=10或x=-5(舍去).4.如图所示,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18km,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1km,参考数据:QUOTE≈1.732)()A.11.4km C.6.5km D.5.6km【解析】选B.因为AB=1000×QUOTE=QUOTE,C=75°-30°=45°,所以BC=QUOTE·sin30°=QUOTE.所以航线离山顶h=QUOTE×sin75°=QUOTE×sin(45°+30°)≈11.4.所以山高为18-11.4=6.6(km).5.如图,某人在地面上C处视察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°,过一分钟后飞机飞到B处再测得仰角为45°,假如该飞机以每小时450km的速度沿水平方向飞行,则飞机的高度为km.

【解析】过C作CD⊥AB于D,∠DCA=60°,∠DCB=45°,设飞机的高度为hkm,则BD=hkm,AD=QUOTEhkm.又AB=450×QUOTE=7.5(km),由AD-BD=AB,得QUOTEh-h=7.5.所以h=QUOTE=QUOTE(km).答案:QUOTE6.在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发觉在北偏东45°方向,相距12nmile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进,若红方侦察艇以每小时14nmile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇(如图所示).若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.依据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2.故AC=28,BC=20.依据正弦定理得QUOTE=QUOTE,解得sinα=QUOTE=QUOTE.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.如图所示,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】选B.依题意可得AD=20QUOTEAC=30QUOTEm,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理的推论得,cos∠CAD=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.2.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60m,则建筑物的高度为()A.15QUOTEm B.20QUOTEmC.25QUOTEm D.30QUOTEm【解析】选D.设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=QUOTEh,PC=QUOTEh,所以在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理的推论,得cos∠PBA=QUOTE,①cos∠PBC=QUOTE.②因为∠PBA+∠PBC=180°,所以cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得h=30QUOTE或h=-30QUOTE(舍去),即建筑物的高度为30QUOTE3.如图所示,在坡度肯定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡对于地平面的坡度为θ,则cosθ等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE-1 D.QUOTE-1【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以AC=100QUOTE.在△ADC中,QUOTE=QUOTE,所以cosθ=sin(θ+90°)=QUOTE=QUOTE-1.【误区警示】解题时留意分清不同的三角形,求值时在不同的三角形中求解.4.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ,接着在地面上前进200QUOTEm以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为()A.200m B.300mC.400m D.100QUOTEm【解析】选B.由题意得如图,则△BED,△BDC均为等腰三角形,BD=ED=600m,BC=DC=200QUOTEm.方法一:在△BCD中,由余弦定理的推论可得cos2θ=QUOTE=QUOTE,又因为0°<2θ<180°,所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=200QUOTE×QUOTE=300(m).方法二:由于△BCD是等腰三角形,QUOTEBD=DCcos2θ,即300=200QUOTEcos2θ,所以cos2θ=QUOTE,又0°<2θ<180°,所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=200QUOTE×QUOTE=300(m).二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°,测得湖中之影的俯角为45°,则云距湖面的高度为m(答案保留根号).

【解析】在△ACE中,tan30°=QUOTE=QUOTE.所以AE=QUOTE(m).在△AED中,tan45°=QUOTE=QUOTE,所以AE=QUOTE(m),所以QUOTE=QUOTE,所以CM=QUOTE=10(2+QUOTE)(m).答案:10(2+QUOTE)【补偿训练】如图,为测量山高MN,选择A点和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°.从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.【解析】可得AC=100QUOTE.在△MAC中∠CMA=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE⇒AM=100QUOTE.在△AMN中,QUOTE=sin60°,所以MN=100QUOTE×QUOTE=150(m).答案:1506.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20km/h;水的流向是正东,流速是20km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东,大小为km/h.

【解析】由题意得如图,∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=20QUOTE(负值舍去),∠COY=30°+30°=60°.答案:60°20QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)7.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.【解析】如图所示,AB为塔高,某人从C处沿CD方向前进,过B作BE⊥CD于E,连接AE,则∠AEB=30°.在△BDC中,CD=40,∠BCD=90°-60°=30°,∠DBC=180°-45°=135°.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE=20QUOTE(米).∠BDE=180°-135°-30°=15°,所以BE=BDsin15°=20QUOTE×QUOTE=10(QUOTE-1)(米).在Rt△ABE中,∠AEB=30°,所以AB=BEtan30°=QUOTE(3-QUOTE)(米).故所求的塔高为QUOTE(3-QUOTE)米.8.如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.【解析】连接BD,如图,则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CDB=QUOTEAB·AD·sinA+QUOTEBC·CD·sinC.因为A+C=180°,所以sinA=sinC,所以S=QUOTE(AB·AD+BC·CD)sinA=QUOTE(8+24)sinA=16sinA.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA.在△CDB中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC=52-48cosC.所以20-16cosA=52-48cosC.因为cosC=-cosA,所以64cosA=-32,所以cosA=-QUOTE,又0°<A<180°,所以A=120°,所以S=16sin120°=8QUOTE.在纪念抗战成功七十周年阅兵式上实行升旗仪式,如图,在坡角为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最终一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最终一排的距离为10QUOTE【解析】如图,设旗杆高为hm,最终一排为点A,第一排为点B,旗杆顶端为点C,则BC=QUOTE=QUOTEh.在△ABC中,AB=10QUOTE,∠CAB=45°,∠ABC=105°,所以∠ACB=30°,由正弦定理,得QUOTE=Q