2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.3第2课时组合的应用学案含解析北师大版选修2-3

PAGE其次课时组合的应用授课提示：对应学生用书第14页[自主梳理]组合应用题解决组合应用题的基本思想是“化归”，即由实际问题来建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而得出实际问题的解．(1)建立组合模型的第一步是分析该实际问题有无依次，有依次便不是组合问题．(2)解组合应用题的基本方法仍旧是“干脆法”或“间接法”．[双基自测]1．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有()A．27种 B．48种C．21种 D．24种2．4位同学参与某种形式的竞赛，竞赛规则是：每位同学必需从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则4位同学不同得分状况的种数是()A．48 B．36C．24 D．183．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)4．袋中有4个不同的红球、3个不同的黄球，从中选3个球，则至少有一个红球的不同选法有________种．[双基自测]1．D解法一(干脆法)分类解决．明显满意题意的选法有两类，一类是1名女生，1名男生，有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,7)种选法；另一类是2名女生，有Ceq\o\al(2,3)种选法．所以至少有1名女生当选的选法有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(2,3)＝24(种)．故选D.解法二(间接法)先不考虑限制条件，10名学生选2名代表，有Ceq\o\al(2,10)种选法，再去掉不满意条件的，即2名代表全是男生，有Ceq\o\al(2,7)种选法，所以符合条件的选法有Ceq\o\al(2,10)－Ceq\o\al(2,7)＝24(种)，故选D.2．B分三种状况：①都选甲题，必需2人答对，2人答错：Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)＝6；②都选乙题，必需2人答对，2人答错：Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)＝6；③甲乙两题都选，必需2人选甲题且1人答对，1人答错，另2人选乙题，1人答对，1人答错：Ceq\o\al(2,4)×2×2＝24，故共有6＋6＋24＝36(种)．3．210从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有Ceq\o\al(4,10)＝210种分组方法．4．34Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(3,3)＝34(种)．授课提示：对应学生用书第15页探究一无限制条件的组合问题[例1]某人确定投资于8种股票和4种债券，经纪人向他举荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？[解析]需分两步：第一步，依据经纪人的举荐在12种股票中选8种，共有Ceq\o\al(8,12)种选法；其次步，依据经纪人的举荐在7种债券中选4种，共有Ceq\o\al(4,7)种选法．依据分步乘法计数原理，此人有Ceq\o\al(8,12)·Ceq\o\al(4,7)＝17325种不同的投资方式．解简洁的组合应用题时，要先推断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与依次无关则是组合问题；取出元素排成一列，与依次有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应留意两个计数原理的运用，在分类和分步时，留意有无重复或遗漏．1．两个a，三个b，四个c共九个字母排成一排，共有多少种排法？解析：第一步：从9个位子取2个排a，有Ceq\o\al(2,9)种取法．其次步：从余下7个位子取3个排b，有Ceq\o\al(3,7)种取法．第三步：余下4个位子排c，有Ceq\o\al(4,4)种取法．共有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＝1260种排法．探究二与几何图形有关的组合问题[例2]已知平面M内有4个点，平面N内有5个点，问这九个点最多能确定(1)多少个平面？(2)多少个四面体？[解析](1)可分三类：第一类：平面M中取一点，N中取两点最多可确定Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)个；其次类：平面M中取两点，N中取一点最多可确定Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)个；第三类：平面M和平面N共2个．故最多可确定Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋2＝72(个)．(2)(干脆分类法)分三类：第一类：平面M内取一个点，N内取三个点，最多可确定：Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)个；其次类：平面M内取两个点，N内取两个点，最多可确定Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)个；第三类：平面M内取三个点，N内取一个点，最多可确定Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)个．故共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＝120(个)．几何中的计数问题一般为组合问题，要留意分清“对应关系”，解题时可借助图形帮助思索，并擅长利用几何性质于解题之中，但要留意共点、共线、共面等特别状况，避开多算．2．四面体的顶点和各棱的中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？解析：如图，从10个点中任取4个点有Ceq\o\al(4,10)种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类：第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4Ceq\o\al(4,6)种；其次类：4个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有6种；第三类：从6条棱的中点中取4个点时有3种共面．综上所述可知，不同的取法共有：Ceq\o\al(4,10)－(4Ceq\o\al(4,6)＋6＋3)＝141(种)．探究三有限制条件的组合问题[例3]“抗震救灾，众志成城”，在我国舟曲泥石流的救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴某灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[解析](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有Ceq\o\al(2,4)种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有Ceq\o\al(4,6)种选法，所以共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，解法一(干脆法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)种选法；②选3名外科专家，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)种选法；③选4名外科专家，共有Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)种选法．依据分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)＝185种抽调方法．解法二(间接法)不考虑是否有外科专家，共有Ceq\o\al(6,10)种选法，考虑选取1名外科专家参与，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)种选法；没有外科专家参与，有Ceq\o\al(6,6)种选法．所以共有Ceq\o\al(6,10)－Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)－Ceq\o\al(6,6)＝185种抽调方法．(3)“至多有2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种状况，分类解答．①没有外科专家参与，有Ceq\o\al(6,6)种选法；②有1名外科专家参与，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)种选法；③有2名外科专家参与，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)种选法．所以共有Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝115种抽调方法．有限制条件组合问题的求解策略(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特别谁优先”的原则，在此前提下，采纳分类或分步法或用间接法．(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的准确含义，正确分类，合理分步．(3)要谨防重复或遗漏，当干脆法中分类较困难时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．3．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中随意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解析：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有Ceq\o\al(3,100)＝eq\f(100×99×98,1×2×3)＝161700种抽法．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有Ceq\o\al(2,98)种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,98)＝9506(种)．(3)解法一从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种状况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,98)种，因此依据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(1,98)＝9604(种)．解法二抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,98)＝161700－152096＝9604(种)．分类探讨思想的应用[典例]从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不重复的数字分别作为a、b、c的值构成二次函数y＝ax2＋bx＋c.试问：(1)共可组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数图像中，以y轴为对称轴的有多少条？经过原点且顶点在第一或第三象限的有多少条？[解析]解法一因为y＝ax2＋bx＋c是二次函数，所以a≠0.因此，可从－3，－2，－1,1,2,3,4中选取一个排在a的位置上，有Ceq\o\al(1,7)种选法．b，c的取值没有特别要求，所以从剩余的6个非零元素加上0共7个元素中选取两个有Ceq\o\al(2,7)种选法，再把它们排在b，c的位置上有Aeq\o\al(2,2)种排法．由分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(2,7)·Aeq\o\al(2,2)＝7×eq\f(7×6,2)×2＝294个不同的二次函数．解法二利用解除法，从全部状况中去掉“0”排在a位置的状况．Ceq\o\al(3,8)·Aeq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(2,7)·Aeq\o\al(2,2)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)×3×2×1－eq\f(7×6,2)×2＝294个不同的二次函数．(2)当对称轴为y轴时，b＝0，这样的抛物线有Aeq\o\al(2,7)＝42(条)．当抛物线过原点时，c＝0，抛物线的顶点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，－\f(b2,4a))).①当顶点在第一象限时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＞0，,－\f(b2,4a)＞0，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b＞0，))这样的抛物线有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,4)＝12(条)；②当顶点在第三象限时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＜0，,－\f(b2,4a)＜0，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b＞0，))这样的抛物线有Aeq\o\al(2,4)＝12(条)．故经过原点且顶点在第一或第三象限的共有24条．[感悟提高]1.二次函数要求a≠0，要优先考虑a的取值；也可以用解除法，结合顶点对a、b、c的符号进行分类探讨是解决本例第(2)问的关键．2．实际问题数学化，文字表述代数化是解决实际背景问题的常见方法．假如一个三位正整数形如“a1a2a3”，满意a1＜a2，且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(120,363,374等)，那么全部的凸数个数为()A．240 B．204C．729 D．920解析：由题意知：a1≠0，a2≥2.下面只需对