全国统考2024高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明7.3归纳与类比学案理含解析北师大版

7.3归纳与类比必备学问预案自诊学问梳理合情推理(1)归纳推理:依据一类事物中具有某种属性,推断该类事物中都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.简言之,归纳推理是由到,由到的推理.

归纳推理的基本模式:a,b,c∈M且a,b,c具有某属性.结论:随意d∈M,d也具有某属性.(2)类比推理:由于两类不同对象具有,在此基础上,依据的其他特征,推断也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.简言之,类比推理是由的推理.

类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d;B:具有属性:a',b',c';结论:B具有属性d'.(a,b,c,d与a',b',c',d'相像或相同)(3)合情推理:依据试验和实践的结果、个人的阅历和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推想出某些结果的推理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)归纳推理得到的结论不肯定正确,类比推理得到的结论肯定正确.()(2)归纳推理与类比推理都是由特别到一般的推理.()(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是an=n(n∈N+).()2.下列说法正确的是()A.合理推理就是类比推理B.合情推理得到的结论肯定是正确的C.合情推理得到的结论不肯定正确D.归纳推理得到的结论肯定是正确的3.如图,依据图中的数构成的规律,a表示的数是()A.12 B.48C.60 D.1444.(2024山东潍坊二模,3)甲、乙、丙三人中,一人是律师,一人是医生,一人是记者.已知丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.依据以上状况,下列推断正确的是()A.甲是律师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者,丙是律师C.甲是医生,乙是律师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是律师5.(2024山西大同一中月考,理6)在等差数列{an}中,若an>0,公差d≠0,则有a4a6>a3a7.类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,公比q≠0,则关于b5,b7,b4,b8的一个不等关系正确的是()A.b5b7>b4b8B.b7b8>b4b5C.b5+b7<b4+b8D.b7+b8<b4+b5关键实力学案突破考点归纳推理(多考向探究)考向1数的归纳【例1】(2024安徽寿县一中,文7)下面的数表为“森德拉姆筛”,其特点是表中的每行每列上的数都成等差数列,则第n行第n个数字是()2345…3579…471013…591317………………A.n2-1 B.(n+1)2+1C.n2+1 D.n2思索归纳推理的步骤是什么?考向2式的归纳【例2】视察下列各式:11+2=13,11+2+11+2+3A.56 B.1112 C.1113思索式的归纳如何实现?考向3形的归纳【例3】(2024湖南高校附中9月摸底,理10)如图所示,在闻名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上:①每次只能移动一个金属片;②在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少须要移动的次数记为f(n),则f(6)=()A.61 B.33 C.63 D.65思索形的归纳有几种?解题心得1.归纳推理的一般步骤:(1)通过视察个别状况发觉某些相同的性质.(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).2.常见的归纳推理分为数、式的归纳和形的归纳两类:(1)与数字有关的等式的推理:视察数字的改变特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与式子有关的归纳推理:①与不等式有关的推理:视察每个不等式的特点,留意是纵向看,找到规律后可解;②与数列有关的推理:通常是先求出几个特别项,采纳不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可.(3)与图形改变有关的推理:合理利用特别图形归纳推理得出结论,采纳赋值检验法验证其真伪性.对点训练1(1)如下分组正整数对:第一组为{(1,2),(2,1)},其次组为{(1,3),(3,1)},第三组为{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第四组为{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},依此规律.则第30组第20个数对是()A.(12,20) B.(20,10) C.(21,11) D.(20,12)(2)对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:2335,337911,4313151719,…,仿此,若m3的“分裂数A.9 B.10 C.11 D.12(3)如图所示,由若干个圆点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N+)个点,每个图形总的点数记为an,则9a2a3+9a3考点类比推理【例4】(1)对于命题:假如O是线段AB上一点,则|OB|·OA+|OA|·OB=0;将它类比到平面的情形是:若O是△ABC内一点,有S△OBC·OA+S△OCA·OB+S△OBA·OC=0;将它类比到空间的情形应当是:若O是四面体ABCD内一点,则有.

(2)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不行割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+11+11+…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+1x=x求得x=1+5A.1 B.2 C.3 D.4思索类比推理的关键是什么?解题心得类比推理的关键及类型(1)类比推理是指依据两类数学对象的相像性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去.一般步骤:①找出两类事物之间的相像性或者一样性.②用一类事物的性质去推想另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).(2)类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;运算类比(加与积,乘与乘方,减与除,除与开方);数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等.对点训练2设an=n(n+1),利用n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3求出数列{an}的前n项和Sn=n(n+1考点生活中的合情推理【例5】(1)(2024北京八中模拟二,10)为协作促销活动,某公司的四个商品派送点如图环形分布,并且公司给A,B,C,D四个派送点打算某种商品各50个.依据平台数据中心统计发觉,须要将发送给A,B,C,D四个派送点的商品数调整为40,45,54,61,但调整只能在相邻派送点进行,每次调动可以调整1件商品.为完成调整,则()A.最少须要16次调动,有2种可行方案B.最少须要15次调动,有1种可行方案C.最少须要16次调动,有1种可行方案D.最少须要15次调动,有2种可行方案(2)(2024湖南长郡中学四模,文14)甲、乙、丙、丁四人进行一项益智嬉戏,方法如下:第一步,先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子(如图所示),甲从中登记某个棋子的坐标;其次步,甲分别告知其他三人:告知乙棋子的横坐标,告知丙棋子的纵坐标,告知丁棋子的横坐标与纵坐标相等;第三步,由乙、丙、丁依次回答.对话如下:乙先说我无法确定,丙接着说我也无法确定.最终丁说我知道.则甲登记的棋子的坐标为.

思索如何解决生活中的合情推理问题?解题心得在进行合情推理时,要依据肯定的“规则”——已知条件、公式、法则、推理等.只有不断地视察、比较、分析、推理,才能得到正确的答案.对点训练3(1)(2024山东济南一模,5)某方舱医院医疗小组有七名护士,每名护士从周一到周日轮番支配一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜班比戊晚两天,乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,则周五值夜班的护士为()A.甲 B.丙 C.戊 D.庚(2)(2024陕西榆林一模,理5)关于甲、乙、丙三人参与高考的结果有下列三个正确的推断:①若甲未被录用,则乙、丙都被录用;②乙与丙中必有一个未被录用;③或者甲未被录用,或者乙被录用.则三人中被录用的是()A.甲B.丙C.甲与丙D.甲与乙1.合情推理(1)归纳推理是由特别到一般的推理;(2)类比推理是由特别到特别的推理;(3)从推理的结论来看,合情推理的结论不肯定正确,有待证明.2.在数学探讨中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助揣测和发觉结论.在证明一个数学结论之前,合情推理经常能为证明供应思路与方向.数学结论的证明主要通过演绎推理来进行.7.3归纳与类比必备学问·预案自诊学问梳理(1)部分事物每一个部分整体个别一般(2)某些类似的特征一类对象另一类对象特别到特别考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.C合情推理包括类比推理和归纳推理,故A错误;由类比推理和归纳推理的概念可知,它们得到的结论不肯定正确,故B,D错误,C正确.故选C.3.D依据题意得,第n行有n个数,且当n≥3时,每一行的第一个数与最终一个数都等于n,中间每个数等于其肩上两个数的积,则a所表示的数是12×12=144.故选D.4.C由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者,从而解除B和D;由丙的年龄比医生大且比乙小,得到乙不是医生,从而乙是律师,甲是医生.故选C.5.C在等差数列{an}中,由4+6=3+7时,有a4a6>a3a7,类比到等比数列{bn}中,由5+7=4+8时,有b4+b8>b5+b7,因为b4+b8-(b5+b7)=b4+b4q4-b4q-b4q3=b4(1-q)+b4q3(q-1)=b4(1-q)(1-q3)=b4(1-q)2(1+q+q2)>0,所以b4+b8>b5+b7成立.故选C.关键实力·学案突破例1C设第n行第n个数字是ann,由题意知,第n行是首项为n+1,公差为n的等差数列,所以ann=(n+1)+(n-1)×n=n2+1,故选C.例2C11+2=13,11+2+1例3C由题设可得f(1)=1,求出f(2)=2×1+1=3,由于每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面,所以f(3)=2f(2)+1=7,f(4)=2f(3)+1=15,推导出f(n+1)=2f(n)+1,所以f(6)=63.故选C.对点训练1(1)C(2)C(3)20182019(1)由题意可知第一组的各个数字和为3,其次组各个数字和为4,第三组各个数字和为5,第四组各个数字和为6,…,第n组各个数字和为n+2,且各个数对无重复数字,可得第30组各个数字和为32,则第30组第20个数对为(21,11).(2)由题意,从23到m3,正好用去从3起先的连续奇数共2+3+4+…+m=(2+m123是从3起先的第123-32+1=61个奇数,当m=10时,用去了当m=11时,用去了(2+11)×(11-(3)每个边有n个点,把每个边的点数相加得3n,这样角上的点数被重复计算了一次,故第n个图形的点数为3n-3,即an=3n-3,令Sn=9a2a3+9a3a4+9a4a5+…+例4(1)VO-BCD·OA+VO-ACD·OB+VO-ABD·OC+VO-ABC·OD=0(2)B(1)线段长度类比到空间为体积,再结合类比到平面的结论,可得空间中的结论为VO-BCD·OA+VO-ACD·OB+VO-ABD·OC+VO-ABC·OD=0.(2)由题知36+36+3因为36+x=x,解得x=2,所以36+3对点训练2n(n+1)(n(n+1)(n+2)=n(则数列{bn}的前n项和Tn=n(例5(1)A(2)(5,5)(1)依据题意A,B两处共需向C,D两处调15个商品,这15个商品应给D处11个商品,C处4个商品,依据调动次数最少的原则,有以下两种方案:方案一:A调动11个给D,B调动1个给A,B调动4个给C,共调动16次;方案二:A调动10个给D,B调动5个给C,C调动1个给D,共调动16次.故选A.(2)由题意,乙只知道棋子的横坐标,又无法确定,所以棋子必落在横坐标为2,5,6,7上,接下来丙知道棋子的纵坐标,又无法确定,所以棋子必落在纵坐标为0,1,3,4,5,7上,这些横纵坐标相等的点只有(5,5),所以丁说棋子的坐标为(5,5).对点训练3(1)D(2)D(1)因为己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,所以乙可能在星期一,二,三,五,六,日,因为乙的夜班比庚早三天,所以乙可